高等数学专科试卷A卷答案

《高等数学2》答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

注意：请将选择题答案填入以上表格，不填或多填均视为零分！

二、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）

13.已知2||=a ϖ

，10||=b ϖ，且12=⋅b a ϖϖ，求||b a ϖϖ⨯.

解：θcos ||||b a b a ϖ

ϖϖϖ⋅=⋅，即θcos 21012⨯⨯=，解得5

3cos =θ，（3分）

则5

4

cos 1sin 2=-=θθ，（2分）

165

4210sin ||||||=⨯⨯=⋅=⨯θb a b a ϖ

ϖϖϖ（3分）

14.过点(2,0,1)-且与直线⎩⎨⎧=-+-=++-06320

9324z y x z y x 平行的直线方程.

解：}3,2,4{1-=n ，}1,3,2{2-=n （1分）

k j i k j i k

j

i

n n 8273

22

4123413321

3232421-+=--+---=

--=⨯（3分） 令所求直线的方向向量为：}8,2,7{-=s （2分） 则所求直线方程为：

8

1

272-+=

=-z y x （2分） 15.设sin z u v =，u xy =,y x v 2+=，求z

x

∂∂和z y ∂∂． 解：由链式法则：

x

v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂（2分） 1cos sin ⋅+⋅=v u y v （1分）

)2cos()2sin(y x xy y x y +++=（1分） y

v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂（2分）

2cos sin ⋅+⋅=v u x v （1分）

)2cos(2)2sin(y x xy y x x +++=（1分）

16.设(,)z z x y =是由方程23sin 31z z x y +=+确定的隐函数，求全微分dz ． 解：方程变形：013sin 32=--+y x z z （1分） 令13sin ),,(32--+=y x z z z y x F （1分）

则32xy F x -=，223y x F y -=，3cos +=z F z （2分）

3cos 23+=

-=∂∂z xy F F x z z x ，3cos 32

2+=-=∂∂z y x F F y

z z y （2分） dy z y x dx z xy dy x z dx x z dz 3

cos 33cos 22

23+++=∂∂+∂∂=（2分）

17.交换二次积分的积分次序并计算：0

sin y

x

I dy dx x

ππ=⎰⎰

． 解：由题意，D —X 型区域：

}0,0|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=π（2分）

dy x

x

dx I x ⎰

⎰=0

sin π（2分） xdx xdx x

x

sin sin 00

⎰⎰

=⋅=ππ

（2分）

2)11(|cos 0=---=-=πx （2分）

18.求微分方程ln 0dy

x y y dx

-=的通解． 解：分离变量：

dx x

dy y y 1

ln 1=（2分） 两边积分：⎰⎰

=dx x

dy y y 1

ln 1（2分） 化简：||||ln 1x C y =，即x C y 1ln ±=（2分） 令1C C ±=，则通解为：Cx y =ln （2分） 19.求微分方程x y y e -'+=的通解． 解：令1)(=x P ，x e x Q -=)(（2分） 由一阶线性微分方程的通解公式：

])([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P +⎰⎰=⎰-（2分）

)(C dx e e e x x x +=⎰--（2分）

)(C x e x +=-（2分）

三、证明题（本题8分） 20.设)sin(xy x z +=，证明：x y

z

y x z x

=∂∂-∂∂ 证明：

)cos(1xy y x

z

+=∂∂（2分） )cos(xy x y

z

=∂∂（2分） 则左边)cos()]cos(1[xy yx xy y x -+=

)cos()cos(xy yx xy xy x -+=（2分） ==x 右边（2分）