对几何直观的理解

对几何直观的理解

《课标（2011年版）》在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容有关的新的核心概念，怎样理解“几何直观”？它在小学数学学习和教学中有何作用？

一、把握十个核心概念的三个层次

第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念，如：数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；

第二层，体现在不同领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；

第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。

二、对直观的理解

1、直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以描摹，我们拍下照片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。

2、直观含有可视化的意思（英文Visual），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。比如，相较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。

3、直观它是认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础。

三、几何直观的含义

《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”

著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”

也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”

从这些描述中，我们可以有以下的认识：

◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式。

◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.

◆用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义.

例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）几何图形的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力.

四、几何直观与数形结合

在理解几何直观意义的过程中，最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在以前，我们一直将其视为用数形结合思想来解决问题的典型.而如今，这样的观念要调整，数形结合变成了几何直观，这就难免让人产生疑惑：数形结合与几何直观，区别到底在哪里？

什么是数形结合？数形结合，是一种重要的数学思想方法，也是解决数学问题的有效策略.它是指解决数学问题时，可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。

数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的情况就可叫做“以形助数”，在小学数学中，以数解形例子极少。而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转），或计算两点之间的距离等，这样的情况则可叫做“以数解形”。“以形助数”，是在发挥“形”所具有的直观特点，来降低“数”的抽象度；而“以数解形”，则是在利用“数”的精确性，来准确刻画“形”，让“形”得以量化。如此，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互促进的作用.

从几何直观的概念可知，它是指“利用图形描述和分析数学问题”。几何直观就是用“形”来解决数学问题。尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”，可以是“形”或者其他数学问题。但不管怎样，如果与数形结合做个对比，那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已.

几何直观，也是在用“形”，但这个“形”，可以是眼睛见到的，可以是画出的，也可以

是大脑想到的。更重要的是，它是要依托

“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知，即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”

五、几何直观案例

几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”

【案例1】苏教版四年级下册“解决问题的策略（画图）”有这样一题：

小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了 150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？

多数学生画好图后（如右），

这样算：150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）。有的学生因为读题不仔细，同时受此前几题都是求原来面积的干扰，算成了30×20=600（平方米）。只有极少数的学生，根据画的图，直接列式计算：150×3=450（平方米）。对这样的简便算法，很多学生一时还不理解，但经学生或老师的解释，也都能恍然大悟。

考察直接列式计算的学生的思维过程，画图给他提供了直观的刺激：宽是5米的3倍，长不变，面积自然也是减少部分的3倍；更直接的，先看减少的150平方米，以5米作为标尺，根据图形，现在的面积是就是150平方米的3倍。在这个过程中，150÷5=30的计算、长方形的面积公式是可以跳过去的。这体现了几何直观的特点：未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。

【案例2】在北师大版《数学》五年级下册“分数混合运算”的教学中，教师出示题目：小华录入一份稿件，录入了3/4后，还剩700字，小华录入了多少字？

解法（1）：设这份稿件共有X个字，X－ 3/4X=700，X=2800，所以 X=2100。

解法（2）：700÷（1－3/4）×3/4 =2100。

在汇报完上述两种常规算法后，有一男生激动地说：我还有一种解法，700×3=2100。

学生们七嘴八舌，都认为该生的结果是凑出来。这位男生不服气了，说：我可没凑，我有依据的。我是借助线段图来解题的。该生在黑板上画好线段图（如右），