对几何直观的理解
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对几何直观的理解
《课标(2011年版)》在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容有关的新的核心概念,怎样理解“几何直观”?它在小学数学学习和教学中有何作用?
一、把握十个核心概念的三个层次
第一层,主要体现在某一内容领域的核心概念,如:数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域,空间观念主要体现在图形与几何领域,数据分析观念主要体现在统计与概率领域;
第二层,体现在不同领域的核心概念,包括几何直观、推理能力和模型思想;
第三层,超越课程内容,整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。
二、对直观的理解
1、直观是相对的,有不同的层面和表现。眼前的美景难以描摹,我们拍下照片,这是一种直观;抽象的道理难以领悟,我们讲了一个故事,这是直观;复杂的逻辑关系难以梳理,我们画了一个流程图,这也是直观。
2、直观含有可视化的意思(英文Visual),作为一个隐喻,直观意味着是感官可以直接感知的,但并不局限于视觉。比如,相较于文字的描绘,声音、颜色、气味、图形、味道,可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。
3、直观它是认识的浅层次阶段,是进一步抽象的基础。
三、几何直观的含义
《标准》指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”
著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述:“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系,产生对数量关系的直接感知.”
也有学者这么描述:“几何直观是一种思维活动,是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”
从这些描述中,我们可以有以下的认识:
◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力,或者说是一种解决数学问题的思维方式。
◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法,这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.
◆用这种方法解决问题,不是运用几何中常用的论证方法,而是通过经验、观察、想象等途径,直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义.
例如,三年级学生要学习同分子分数大小比较,这个知识相对比较抽象,学生较难理解.此时,学生如果能主动地采取画出(或想到)几何图形的方式,然后通过观察(或想象)图形的特点及联系,那么就能直观地解决问题,并理解“分子相同的分数,分母小的反而大”的道理。学生如果具备这种解决问题的思维方式,掌握这样的方法,我们就可以说学生有几何直观的能力.
四、几何直观与数形结合
在理解几何直观意义的过程中,最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。比如说,上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子,在以前,我们一直将其视为用数形结合思想来解决问题的典型.而如今,这样的观念要调整,数形结合变成了几何直观,这就难免让人产生疑惑:数形结合与几何直观,区别到底在哪里?
什么是数形结合?数形结合,是一种重要的数学思想方法,也是解决数学问题的有效策略.它是指解决数学问题时,可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”,或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。
数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。如小学数学中的分数应用题,我们运用画线段图来分析其中的数量关系,这样的情况就可叫做“以形助数”,在小学数学中,以数解形例子极少。而我们在直角坐标系中,用数对来描述图形的变化(如平移、旋转),或计算两点之间的距离等,这样的情况则可叫做“以数解形”。“以形助数”,是在发挥“形”所具有的直观特点,来降低“数”的抽象度;而“以数解形”,则是在利用“数”的精确性,来准确刻画“形”,让“形”得以量化。如此,直观与抽象相互配合,取长补短,从而顺利、有效地解决问题。如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点,它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道,起着由此及彼、相互促进的作用.
从几何直观的概念可知,它是指“利用图形描述和分析数学问题”。几何直观就是用“形”来解决数学问题。尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”,可以是“形”或者其他数学问题。但不管怎样,如果与数形结合做个对比,那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已.
几何直观,也是在用“形”,但这个“形”,可以是眼睛见到的,可以是画出的,也可以
是大脑想到的。更重要的是,它是要依托
“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知,即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识。”
五、几何直观案例
几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式,它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”
【案例1】苏教版四年级下册“解决问题的策略(画图)”有这样一题:
小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路,鱼池的宽减少了5米,这样鱼池的面积就减少了 150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米?
多数学生画好图后(如右),
这样算:150÷5=30(米),30×(20-5)=450(平方米)。有的学生因为读题不仔细,同时受此前几题都是求原来面积的干扰,算成了30×20=600(平方米)。只有极少数的学生,根据画的图,直接列式计算:150×3=450(平方米)。对这样的简便算法,很多学生一时还不理解,但经学生或老师的解释,也都能恍然大悟。
考察直接列式计算的学生的思维过程,画图给他提供了直观的刺激:宽是5米的3倍,长不变,面积自然也是减少部分的3倍;更直接的,先看减少的150平方米,以5米作为标尺,根据图形,现在的面积是就是150平方米的3倍。在这个过程中,150÷5=30的计算、长方形的面积公式是可以跳过去的。这体现了几何直观的特点:未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识。
【案例2】在北师大版《数学》五年级下册“分数混合运算”的教学中,教师出示题目:小华录入一份稿件,录入了3/4后,还剩700字,小华录入了多少字?
解法(1):设这份稿件共有X个字,X- 3/4X=700,X=2800,所以 X=2100。
解法(2):700÷(1-3/4)×3/4 =2100。
在汇报完上述两种常规算法后,有一男生激动地说:我还有一种解法,700×3=2100。
学生们七嘴八舌,都认为该生的结果是凑出来。这位男生不服气了,说:我可没凑,我有依据的。我是借助线段图来解题的。该生在黑板上画好线段图(如右),