高等数学 两个重要极限

2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P34 1 (1) (3) (5) (8) (9) (12) ; 2
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练习题
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思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
练习1. 解
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练习2. 解 或
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内容小结
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
n
1 n
)n
e
lim(1
n
1 n1
)n1
?e
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用x代替n,可得 (1) 当x 取实数 对任意正数 x，总有
时情形 n为非负整数，则有
lim (1 1 )x e.
x
x
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(2) 当x 取实数
时情形
lim(1 1 )x e
x
x
令
则
1
此极限也可写为 lim(1 z) z e
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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o
准则Ⅰ′ 如果当 x U (x0, ) (或 | x | X )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
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例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
练习.
sin t 1
t
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例4. 求
解:
原式 =
2 sin 2
lim
x0
x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
2
1 12 2
解: 令 t x , 则 x 时，t
lim (1
t
1t )t
lim
t
1
说明
：若利用
lim (1
( x)
(1x))
(
x)
e, 则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
一般地
lim
x
1
k x
x
ek
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例2 解
e 结论：
lim
x
1
k x
axb
ka
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)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0 x π2)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例1
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
说明: 计算中注意利用
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
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练习. 求下列极限:
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例2. 求
解:
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x x0 x
lim 1 x0 cos x
1
练习.
lim tan(x) 1 (x)0 (x)
例5.
解:
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tan x sin x
例6 求 lim x0
x3
原式
lim
x0
sin
x(1 cos x3 cos x
x)
lim(
x0
sin x
x
1
cos x2
x
1 cos
x
)
1 1 1 1 22
例7 求
解
于是
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二、
lim(1Βιβλιοθήκη Baidu
x
1 x
)x
e
lim(1
那么 lim f ( x)存在, 且等于 A.
x x0 ( x)
A
y h( x)
y f (x)
A
y g(x)
A
（（ 1
x0
x0
）） 2
x0
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首先注意到 函数 sin x 对一切x 0都有定义
x
sin x
设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 x
在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个
第一章
第七节 两个重要极限
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一、 lim sin x 1 x0 x
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ‘.
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
扇形OAB的圆心角为 x ,
2 BD
OAB的高为BC,
作单位圆的切线，得ADO.
1
x O
C
A
sin x BC, x 弧AB, tan x AD,
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当x
(
0,
π 2
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1
x lim 9x x
1 x
1 3x
1 x
1
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
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z0
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利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
1
lim（1 (x)) (x) e
（x )0
lim (1
( x)
) 1 (x)
(x)
e
,
1 型
注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项
是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
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例1. 求
例3 求
lim x
x x
1 1
x
解一 原式 lim(1 2 )x lim(1 2 )x1 (1 2 )
x x 1 x x 1
x 1
lim (1 x
x
2
) 1
x1 2
2
(1
2) x 1
e2
解二
(1 1 )x
原式
lim
x
(1
x 1 )x
x
e e 1
e2
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