第十九章多元函数积分学基础PPT课件
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多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元微积分基础-22页PPT资料
闭区域
D不连通
闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。
E 2 x ,y 1 x 2 y 2 4 及 E 3x ,y xy 0 为闭区域。
5
有界点集与无界点集： 对于点集E , 若 K0, 使得 PE, P与某一定点 A间的距离 APK, 则称 E为有界点集，否则称为 无界点集。
例如, E 1 x ,y 1 x 2 y 2 4有界的开区域。 E 2 x ,y 1 x 2 y 2 4有界的闭区域。
若存在 UP,E,称点 P为点集 E的内点。
显然内点 PE.
P•
开集：若点集 E的点都是内点, 则称点集 E E
为开集.
例如 E 1 x ,y 1 x 2 y 2 4是开集。
边界点：若点 P的任一邻域内既有属于E的点,
•P
也有不属于 E的点, 称 P为 E的边界点.
边界：边界点的全体称为 E的边界.
U P 0, P P0 P
称为点 P 0 的 邻域。
P•0
即
U P 0, x ,yxx 02yy02 .
若不需要强调邻域半径 , 用 UP0 表示点 P 0 的 邻域。
U P 0,P0|P0P | 称为点 P 0 的 去心邻域.
P•0
3
2．区域
内点：设 E是平面上一个点集, P是平面上一点，
解 1x2y21;
2x
x
y
0
; 0
3x2y21.
y
y
y
xy0
O
x
O
x
O
x
(1)
(２)
(３)
9
二元函数的几何意义：
zfx,y在几何上表示空间曲面.
如, zax b yc
高等数学教学课件PPT
注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
多元积分摘要PPT课件
I
2
D1
f
(x,
y)d
2 D2
f
(x,
y)d ,
当f (x, y) f (x, y)时
(4)若 D关于y x对称,则
① f (x, y)d f (y, x)d
D
D
(轮换对称性)
② f (x, y)d f ( y, x)d
D1
D2
(1) 以上前三种情况类似于奇偶函数在对称区 间上的定积分性质, 第(4)种情况则是多元积分 的特殊性质. (2) 利用对称性简化计算十分有效,但对称性在 使用时,必须要兼顾被积函数和积分区域两个 方面,即对称性要相匹配才能利用. (3) 三重积分,曲线积分,曲面积分同样可以利 用与二重积分类似的对称性简化计算.
1
x
2
2x
0 dx0 f (x, y)dy 1 dx0 f (x, y)dy
分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定
积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给
的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新
确立积分限，得到二次积分.
解 将所给积分限还原成D的图形，由 D D1 D2
其中 D1 : 0 y x, 0 x 1 D2 : 0 y 2 x,1 x 2
（曲面）
（空间区域） （空间曲线）
如果
n
lim f
0 i1
pi gi
（ mai x{gi}）存在，
则称这个极限为函数 f ( p) 在几何形体G上的积
分,记为
f p dg
G
即
n
G
f
p dg
lim 0
i1
f
pi gi
为了便于今后讨论，当G为不同的几何形 体时，对应的积分都给出了固定的名称和符 号
多元函数的基本概念 PPT
属于E 的点(点P 本身能够属于E,也能够不属于E ), 则称P 为E 的边界点、
E 的边界点的全体为E 的边界、
•P
E
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说明: E 的边界点估计属于E,也估计不属于E、
例如,关于集合 E {( x, y) | 1 x2 y2 4}
E 的边界为 D {( x, y) | x2 y2 1或 x2 y2 4} 其中边界点 {( x, y) | x2 y2 1} 都不属于E, 而边界点 {( x, y) | x2 y2 4} 都属于E、
(x, y) 1 x2 y2 4
y
开区域 y
o
x
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
o
o 1 2x
y o 1 x2 x
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整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域;
点集( x, y ) x 1是开集,
但非区域 、
y
1o 1 x
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三、二元函数的极限
定义: 设二元函数 f ( P )=f (x,y)的定义域为D,P0 (x0 , y0 )
为 D 的聚点,若 D 中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时,
函数f (x,y)总趋向于某个确定的数值A,则称 A 为函数
f (x,y) 当
时的极限(二重极限),
记作
y
o12 x
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(3)连通
设D是点集,假如关于D内任何两点,都可用折线连
接起来,且该折线上的点都属于D,则称点集D是连通
的。 (4)开区域与闭区域
• •
D
连通的开集称为区域或开区域、
E 的边界点的全体为E 的边界、
•P
E
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说明: E 的边界点估计属于E,也估计不属于E、
例如,关于集合 E {( x, y) | 1 x2 y2 4}
E 的边界为 D {( x, y) | x2 y2 1或 x2 y2 4} 其中边界点 {( x, y) | x2 y2 1} 都不属于E, 而边界点 {( x, y) | x2 y2 4} 都属于E、
(x, y) 1 x2 y2 4
y
开区域 y
o
x
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
o
o 1 2x
y o 1 x2 x
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整个平面 是最大的开区域 , 也是最大的闭区域;
点集( x, y ) x 1是开集,
但非区域 、
y
1o 1 x
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三、二元函数的极限
定义: 设二元函数 f ( P )=f (x,y)的定义域为D,P0 (x0 , y0 )
为 D 的聚点,若 D 中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时,
函数f (x,y)总趋向于某个确定的数值A,则称 A 为函数
f (x,y) 当
时的极限(二重极限),
记作
y
o12 x
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(3)连通
设D是点集,假如关于D内任何两点,都可用折线连
接起来,且该折线上的点都属于D,则称点集D是连通
的。 (4)开区域与闭区域
• •
D
连通的开集称为区域或开区域、
第十九章-多元函数积分学基础省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
D i
x
P(xi yi )
图19-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi ) i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i
i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密,
f
(
xi
,
yi
)
就越来越
i
i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
V
b
A(x)dx
a
b a
2 ( x) 1 ( x )
f
(x,
y )dy dx
即有
b
b 2 ( x)
f (x, y)d dx
f (x, y)dy
a
a 1 ( x )
D
上式表明, 计算二重积分时, 可以化为先对y, 再对x的二次积分 来计算.先对y积分时,把x看作常量, f (x, y)只看作y的函数,并对y
z
z f (x, y)
O
y
x
D
图19-1 曲顶柱体
由于曲顶柱体的高f (x, y)是变动的,因此它的体积不能直接用公式 体积=底面积 高
来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱 体的体积
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数的微积分PPT课件
曲线的一般方程为
z
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
x2 y2 1 如
z 2
o
y
x
x2 y2 1
z y, z 0
第9页/共29页
二次曲面及截痕法 椭球面（几何演示）
抛物面（几何演示）
双曲面（几何演示）
第10页/共29页
曲面在坐标平面内的投影
例 求上半球面 z 2 x与2上半锥y面2 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。
第2页/共29页
空间解析几何简介
空间直角坐标系（三维直角坐标系）
z（竖轴）
O
x（横轴）
y （纵轴）
右手原则
第3页/共29页
O O O
z 空间直角坐标系
z
z
y
y
x
y
x
x
三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示）
z
八个卦限
三个坐标平面
Ⅲ
Ⅱ
xoy 平面
Ⅳ
Ⅰ
xoz 平面
O
y
yoz 平面
x
第4页/共29页
Ⅶ
Ⅵ
∙ Px0, y0
第18页/共29页
二元函数的极限计算
6 lim x y
x0 x y
y0
×x 2 y 3y lim 3 y0 y
事实上，设 x ky k 1
x y
x y 换元时 与 不能相互制约
则 lim
x0 x y
y0
lim
y0
yk yk
1 1
k k
1 1
∙ Px0, y0
结果与 k 有关，故原极限不存在。
多元函数的基本概念课件
曲线积分的计算公式为：∫L f(x,y,z) ds， 其中L是积分曲线。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
多元函数微分学基础PPT课件
rhvrhvrhrh这里是随着的变化而变化的当在一定范围内内取定一对数值时的对应值就随之确定611三角形面积见图其面积依赖于三角形的两条边及其夹角图611例2示意图xyzxy设有变量如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时变量按照一定法则总有惟一确定的数值与之对应则称是的二元函数记作xy式中叫作自变量叫作因变量
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．
《多元函数积分学》课件
物理应用
重积分在物理中有广泛的应用，如计 算物体的质量、质心、转动惯量等物 理量，还可以用来解决流体动力学、 弹性力学等领域的问题。
数值分析应用
重积分在数值分析中有重要的应用， 如数值积分、数值微分等计算方法的 实现都需要用到重积分的知识。
04 曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
总结词
理解曲线积分的定义和计算方法，掌握其在几何和物理问题中的应用。
总结词
掌握多元函数的可积性和积分的基本性 质是理解多元函数积分学的重要环节。
VS
详细描述
可积性的判定条件和积分的基本性质（如 线性性质、可加性、不等式性质等）是多 元函数积分学中的核心知识点，对于理解 和应用积分具有重要意义。
多元函数积分的计算方法
总结词
掌握多元函数积分的计算方法是学习多元函数积分学的关键。
《多元函数积分学》ppt课件
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的基本概念 • 重积分 • 曲线积分与曲面积分 • 多元函数积分学的应用
01 多元函数积分学概述
多元函数积分学的定义
定义
多元函数积分学是研究多元函数 的积分、微分和微积分基本定理 的一门学科。
多元函数
一个数学函数，其中自变量不止 一个，即函数的输入和输出都是 向量或更高维度的几何对象。
计算多维工程结构的热传导和流 体流动
在工程中，很多问题需要考虑多维工程结构的热传导和 流体流动，如热力管道、流体机械等。多元函数积分学 可以用来计算这些结构的热传导和流体流动。
THANKS 感谢观看
积分
对一个函数在某个区域上的所有 点的值进行加权求和，权值由该 点的坐标决定。
多元函数积分学的重要性
解决实际问题
《数学分析》第19章 含参量积分ppt课件
c xx0
这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 fx) y d( x) ,a x b}上连续, 其
三、含参量正常积分的可微性
定理19.3 ( I( x) 的可微性 ) 若函数 f ( x, y)与其偏导
数 fx ( x, y) 都在矩形区域 R [a, b][c, d]上连续,
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c f ( x, y)dy c fx ( x, y)dy .
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
二元函数.当 x取[ a, b]上的定值时,函数 f ( x, y) 是
定义在[ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在[ c, d ]上可积, 则其积分值
d
I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
Oa
bx
图 19 1
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5、在计算二重积分时，当积分区域关于坐标轴具有对称性， 且函数具有奇、偶性时，应先简化再计算。
6、对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关，对坐标曲线积 分与积分路线的方向有关，如果积分路线反向，则积分值
反号。 7、在计算沿封闭曲线的对坐标的曲线积分时，应先考查在包
含积分曲线C的单连通区域内，被积函数是否满足积分与路 径无关的条件，如果满足则积分为零；如果不满足，再选 择适当的计算方法计算。
I
x2 y2
dxdy
x2 y2 dxdy
D1
D2
2
dy
1
y2xy22dx
1
dy
1
2x2 1 y2dx
2y
12 38 y23 y dy1 2 1 38 y238 y5 dy
9 . 4
例 2计 算 二 重 积 分 I f(x,y)d xd y。 其 中 D 是 由 曲 线 D y 1 x2 ， y 1 ， ylnx所 围 成 。y
1 2 y
横 坐 标 为y和2y.于 是 Id y f(x ,y )d x 积 分 次 序 0y
得 到 改 变 .
1 1 4 y 2
对 于 D 1 ， 0y 2 ， I1d y 2 f(x ,y )d x； 0 y 1
1 1 4 y
积分次序的确定和积分区域 D 的形状有关，但实际应用
时也需考察两次定积分的难易(甚至按某种次序积不出) 而定.
③ 从内到外依次计算两个定积分。
例 1 计 算 二 重 积 分I x y2 2d.其 中 D是 由 x2， yx D
及 双 曲 线 y1围 成 的 区 域 。 x
画 出 D 如 图 1 9 - 3 所 示 .
00
10
积 分 次 序 。
y
解 由已知得
0 0
x y
1x，10xy22
x
yx
y 2x
画 出 D 如 图 1 9 - 6 所 示 . 将D投 影 到y轴 得 到 O
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)，
1
2x
图19-6 例4积分区域 D
过 点y 平 行 于x 轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 其
积分的计算方法、格林公式。
二、本章的重点
二重积分的计算。
三、对学习的建议
1、二重积分是本章的重点内容。曲线积分可根据学时数及
专业的要求选学。
关于本章的概念，应理解二重积分、曲线积分都与定积
分一样，都属于特殊的和式极限问题。
2、重积分的几何意义
当 f(x ,y ) 0时 ， 二 重 积 分 f(x ,y )d表 示 以分区域 D 的图形.
② 将 D 投影到某个坐标轴，使之将来的二次积分次序与已 知的不同.
③ 将二重积分化为另一种次序的二次积分.
1x
2 2 x
例 4改 变 二 重 积 分 d x f(x ,y )d yd x f(x ,y )d y的
线 ， 从 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 横 坐 标 为1y， ey.
1
ey
I dy f(x,y)dx.
0
1y
I
1
dx
x sinxdy
1sinx(xx2)dx
0
x x2
0x
1
(sinxxsinx)dx 1sin1. 0
二、改换二重积分的积分次序
若已知以某种次序积分的二重积分，改变积分次序步骤如下。
1
2x
例1积分区域 D
x
解法二 将D投影到y 轴上，得12,2，任取y12,2，
过点y 作平行于x 轴的直线，当1y1时，从左至右交 2
D的边界于两点，横坐标为1 和2 .当 1y2 时，从左至 y
右 交 D 的 边 界 于 两 点 横 坐 标 为 y和 2 . 表 达 形 式 不 一 样 ，
则 需 分 割 D ， 用 直 线 y 1 将 D 分 为 上 下 两 部 分 ： D 1 ， D 2 .
四、本章关键词
二重积分 曲线积分
取 一 点y， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 左
边 界 和 右 边 界 于 两 点 ， 其 横 坐 标 分 别 为1(y)， 2(y)， 这 就
是 对x积 分 的 下 限 和 上 限 .(若 交 点 的 横 坐 标 表 达 形 式 与 点y 的 位 置 有 关 ， 则D需 分 割 ).
解法一 将 D 投 影 到 x 轴 上 ，
y
2
得 到 投 影 闭 区 间[1, 2 ]， 任 取
yx
x (1, 2 )， 过 点 x 作 和 y 轴 平 行
1
的直线交D 的下边界和上边界于
两 点 ， 其 纵 坐 标 为 1 ， x.
1
y 1
2
x
x O
I12dx1 xx y2 2dy12(x3x)dx9 4； 图19-3
第七章 多 元 函 数 积 分 学 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、主要内容
1、二重积分的概念与性质。 2、二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的计算方法。 3、二重积分的应用。 *4、曲线积分的概念、性质，对弧长曲线积分与对坐标曲线
D
域 D 为 底 ， 以 曲 面 z f(x ,y )为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积 。
当 f ( x ,y ) 1 时 ， d就 等 于 平 面 区 域 D 的 面 积 。
D
3、在直角坐标系下化二重积分为二次积分关键在于选择积
分次序和确定积分限，注意选择适当的积分次序使积分
易于计算。
解 画 出 D 的 图 形 如 图 1 9 - 4 所 示 .
1
观察积分区域 D，若先对 y
积分后对x 积分，需将D分成
y 1 x2
y ln x
左右两部分.
O
选 择 先 对x积 分 ， 后 对y
积 分 .将D向y轴 投 影 ， 得 到
1
x
图19-4 例2积分区域 D
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直
4、在极坐标系下计算二重积分的要点是(1) 根据变换式
xrcos，yrsin，把积分区域D 的边界曲线用极坐 标表示；并把被积表达式写成f(rcos,rsin)rdrd；
(2) 用不等式表示积分区域，根据区域的特点选用相应计
算公式把二重积分化成关于r， 的二重积分，一般总是 先对r 积分后对 积分。
6、对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关，对坐标曲线积 分与积分路线的方向有关，如果积分路线反向，则积分值
反号。 7、在计算沿封闭曲线的对坐标的曲线积分时，应先考查在包
含积分曲线C的单连通区域内，被积函数是否满足积分与路 径无关的条件，如果满足则积分为零；如果不满足，再选 择适当的计算方法计算。
I
x2 y2
dxdy
x2 y2 dxdy
D1
D2
2
dy
1
y2xy22dx
1
dy
1
2x2 1 y2dx
2y
12 38 y23 y dy1 2 1 38 y238 y5 dy
9 . 4
例 2计 算 二 重 积 分 I f(x,y)d xd y。 其 中 D 是 由 曲 线 D y 1 x2 ， y 1 ， ylnx所 围 成 。y
1 2 y
横 坐 标 为y和2y.于 是 Id y f(x ,y )d x 积 分 次 序 0y
得 到 改 变 .
1 1 4 y 2
对 于 D 1 ， 0y 2 ， I1d y 2 f(x ,y )d x； 0 y 1
1 1 4 y
积分次序的确定和积分区域 D 的形状有关，但实际应用
时也需考察两次定积分的难易(甚至按某种次序积不出) 而定.
③ 从内到外依次计算两个定积分。
例 1 计 算 二 重 积 分I x y2 2d.其 中 D是 由 x2， yx D
及 双 曲 线 y1围 成 的 区 域 。 x
画 出 D 如 图 1 9 - 3 所 示 .
00
10
积 分 次 序 。
y
解 由已知得
0 0
x y
1x，10xy22
x
yx
y 2x
画 出 D 如 图 1 9 - 6 所 示 . 将D投 影 到y轴 得 到 O
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)，
1
2x
图19-6 例4积分区域 D
过 点y 平 行 于x 轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 其
积分的计算方法、格林公式。
二、本章的重点
二重积分的计算。
三、对学习的建议
1、二重积分是本章的重点内容。曲线积分可根据学时数及
专业的要求选学。
关于本章的概念，应理解二重积分、曲线积分都与定积
分一样，都属于特殊的和式极限问题。
2、重积分的几何意义
当 f(x ,y ) 0时 ， 二 重 积 分 f(x ,y )d表 示 以分区域 D 的图形.
② 将 D 投影到某个坐标轴，使之将来的二次积分次序与已 知的不同.
③ 将二重积分化为另一种次序的二次积分.
1x
2 2 x
例 4改 变 二 重 积 分 d x f(x ,y )d yd x f(x ,y )d y的
线 ， 从 左 至 右 交D的 边 界 于 两 点 ， 横 坐 标 为1y， ey.
1
ey
I dy f(x,y)dx.
0
1y
I
1
dx
x sinxdy
1sinx(xx2)dx
0
x x2
0x
1
(sinxxsinx)dx 1sin1. 0
二、改换二重积分的积分次序
若已知以某种次序积分的二重积分，改变积分次序步骤如下。
1
2x
例1积分区域 D
x
解法二 将D投影到y 轴上，得12,2，任取y12,2，
过点y 作平行于x 轴的直线，当1y1时，从左至右交 2
D的边界于两点，横坐标为1 和2 .当 1y2 时，从左至 y
右 交 D 的 边 界 于 两 点 横 坐 标 为 y和 2 . 表 达 形 式 不 一 样 ，
则 需 分 割 D ， 用 直 线 y 1 将 D 分 为 上 下 两 部 分 ： D 1 ， D 2 .
四、本章关键词
二重积分 曲线积分
取 一 点y， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直 线 自 左 至 右 交D的 左
边 界 和 右 边 界 于 两 点 ， 其 横 坐 标 分 别 为1(y)， 2(y)， 这 就
是 对x积 分 的 下 限 和 上 限 .(若 交 点 的 横 坐 标 表 达 形 式 与 点y 的 位 置 有 关 ， 则D需 分 割 ).
解法一 将 D 投 影 到 x 轴 上 ，
y
2
得 到 投 影 闭 区 间[1, 2 ]， 任 取
yx
x (1, 2 )， 过 点 x 作 和 y 轴 平 行
1
的直线交D 的下边界和上边界于
两 点 ， 其 纵 坐 标 为 1 ， x.
1
y 1
2
x
x O
I12dx1 xx y2 2dy12(x3x)dx9 4； 图19-3
第七章 多 元 函 数 积 分 学 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、主要内容
1、二重积分的概念与性质。 2、二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的计算方法。 3、二重积分的应用。 *4、曲线积分的概念、性质，对弧长曲线积分与对坐标曲线
D
域 D 为 底 ， 以 曲 面 z f(x ,y )为 顶 的 曲 顶 柱 体 的 体 积 。
当 f ( x ,y ) 1 时 ， d就 等 于 平 面 区 域 D 的 面 积 。
D
3、在直角坐标系下化二重积分为二次积分关键在于选择积
分次序和确定积分限，注意选择适当的积分次序使积分
易于计算。
解 画 出 D 的 图 形 如 图 1 9 - 4 所 示 .
1
观察积分区域 D，若先对 y
积分后对x 积分，需将D分成
y 1 x2
y ln x
左右两部分.
O
选 择 先 对x积 分 ， 后 对y
积 分 .将D向y轴 投 影 ， 得 到
1
x
图19-4 例2积分区域 D
投 影 闭 区 间 [0,1]， 任 取y(0,1)， 过 点y作 平 行 于x轴 的 直
4、在极坐标系下计算二重积分的要点是(1) 根据变换式
xrcos，yrsin，把积分区域D 的边界曲线用极坐 标表示；并把被积表达式写成f(rcos,rsin)rdrd；
(2) 用不等式表示积分区域，根据区域的特点选用相应计
算公式把二重积分化成关于r， 的二重积分，一般总是 先对r 积分后对 积分。