概率论知识点总结归纳

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概率论知识点总结

第一章随机事件及其概率

第一节基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件

样本点样本空间包含关系相等关系事件的和记为A ∪事件的积事件的差互斥事件对立事件=⋂B A （1（2（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB ∪AC

（4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃B A B A ⋃=⋂

第二节事件的概率

概率的公理化体系：

（1）非负性：P(A)≥0；

（2）规范性：P(Ω)＝1

（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时

概率的性质：

（1）P(Φ)＝0

（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时

当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)

（3）)(1)(A P A P -=

（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)

（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)

第三节古典概率模型

1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A

的概率为

2落在区域把μ. ，，则称A 、总结：1.3.第二章一维随机变量及其分布

第二节分布函数

分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间],(x -∞内的概率 分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F

第三节离散型随机变量

离散型随机变量的分布律：设k x (k=1,2,…)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称k k p x X P ==}{为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.

当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。

分布律的性质：（1）10≤≤k p ；（2）1=∑k p

离散型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X 的分布律，求X 的分布函数；

（2）已知随机变量X 的分布律,求任意随机事件的概率；

（3）已知随机变量X 的分布函数，求X 的分布律

三种常用离散型随机变量的分布：

1.（0－1

2.p ）

3.（1）（2）⎰+∞∞-（3）P {（4）f (（1（2（3（4）已知随机变量X 的分布函数，求随机事件的概率；)()(}{a F b F b X a P -=<<

三种重要的连续型分布：

1．均匀分布：密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=else b x a a b x f 01)(，记为X ～U[a ，b].

2.指数分布：密度函数⎩⎨⎧≤>=-0

00)(x x e x f x

λλ，记为X ～E （λ）

3.正态分布：密度函数22

2)(21

)(σμσπ--=x e x f ，记为),(~2σμN X

N （0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.

第五节随机变量函数的分布

离散型：在分布律的表格中直接求出；

连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

第三章多维随机变量及其分布

第一节二维随机变量的联合分布函数

的概率。（1（2（3）F(-（1）若（2）根据独立性定义判断)()(),(y F x F y x F Y X =

离散型可用j i ij p p p ••=

连续型可用)()(),(y f x f y x f Y X =

独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布

第四章随机变量的数字特征

离散型随机变量数学期望的计算∑=k k k p x EX ，∑=k

k k p x g X g E )())((

连续型随机变量数学期望的计算⎰=dx x xf EX )(，⎰=dx x f x g X g E )()())(( 方差的计算：2)(EX X E DX -=，)()(22X E X E DX -= 数学期望的性质

（1）E(C)=C

（2）E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（4）当X,Y 独立时，E(XY)=E(X)E(Y) 方差的性质

（1）D(C)=0

（2）（3）若