2019年高考全国卷Ⅲ理科数学解析版

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}解析：{}[]{}1,0,11,11|2-=⇒-=⇒≤=B A B x x B ,故选A2． 若(1i)2i z +=，则z =A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：()()()()()()i i i z i i z i i i i z i i z +=-=⇒-=⇒-=-+⇒=+11122121121， 故选D3． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5D ．0.8解析：由韦恩图知 阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为7.0100=故选C4． 24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．24解析：3x 项为3342314121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故选A5． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2解析：由244343224135=⇒=⇒+=⇒+=q q q q a a a 又()1414152121a a S =--=则41151521311=⋅=⇒=⇒=q a a a a ，故选C6．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则A ．e 1a b ==-，B ．e 1a b ==，C ．-1e 1a b ==，D ．-1e 1a b ==-，解析：1|1ln 1+='∴++='=ae y x ae y x x，由题意知121-=∴=+e a ae 则点()ae ,1即为()11，把()11，带入12-=⇒+=b b x y ,故选D 7． 函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为解析：()()x f xx f xx -=+-=--2223，则()x f 为奇函数，故C 错,又当0>x时()0>x f 故D 错，而()64272622262663663>=⨯≈+⨯=-f 故A 错，故选B.8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线解析：N 是正方形ABCD 的中心，则B N D ,,三点共线且NB DN =,MN NB DN MEDM ⇒⎩⎨⎧==是EDB ∆的中位线BE MN //⇒且BE MN 21=EN BM ,∴是相交直线，故C,D 错，若EN BM =则梯形MNBE 为等腰梯形，则DBDC DE DB BN ME =⇒=⇒=矛盾，故A 错，故选B9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-解析：当ε<==1281217x ，676221221121112121211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++=∴ s 故选C. 10．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C||||PO PF =，则△PFO 的面积为A B C ．D 解析：如图由题意知6==c OF ，tan ∠POF 取OF的中点M ,OF PM ⊥∴,22tan ==∠∴OM PM POF 2322=⋅=∴OM PM ,42321=⋅=∴∆PM OF POF S ,故选A 11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>解析：因()x f 是偶函数，则()()()434343413log log log log 1f f f f =-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-又x y 2=是单调递增的函数，1222003223=<<<∴--，又1log log 3343=> 433223log 1220<<<<∴--，()x f 在()+∞,0单调递减，()433223log 22f f f >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴--，即，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4133223log 22f f f 故选C.12．设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[02]π，有且仅有5个零点，下列四个结论：① ()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点② ()f x 在(02)π，有且仅有2个极小值点③ ()f x 在(0)10π，单调递增④ ω在取值范围是1229[)510，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解析：()ωππππω550-=⇒=+⇒=k x k x x f ，由题意知102951256255<≤⇒-<≤-ωωπππωππ故而④正确，在④的条件下，当210049510102951050100πππππωππωπ<=+<+<+<⇒<<x x ，有正弦函数的单调性知()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛100π，单调递增。

故③正确，结合选项知D 正确，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，a b 为单位向量，且0⋅=a b，若2=c a ，则cos =，a c __________.解析：()252=-⋅=⋅b a a c a ，()395544522222=∴=+⋅-=-=c b b a a b a c∴32,cos =⋅⋅=c a c a c a14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S =___________． 解析：11112233a d a d a a a =⇒=+⇒= ，()()()()410404292222521011115110151101510==++=++=++=∴a a d a d a a a a a a a a a S S15．设12F F ，为椭圆C ：2213620x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为___________．解析：如图做21F F MN ⊥与N ，由题意知,362=a ,82161212===⇒=∴c MF F F c 4212=-=∴MF a MF 又余弦定理知87882488cos 22221=⨯⨯-+=∠∴F MF ,()0,3,7cos 2111N F MF MF N F ∴=∠⋅=∴而15,15782221212=∴=-=-=MN N F MF MN ，故M 的坐标为()153，.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图， 该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，6AB BC ==cm ，14AA =cm ．3D 打印所用的原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________ g ．解析：3462131144314661111⨯⨯⨯⋅-=⋅-⨯⨯=-=--h S V V V EFGH EFGH O D C B A ABCD 模型 ∴=，132所需原材料质量为8.1189.0132=⨯三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）． 17．解析：（1）由已知得0.700.200.15a =++，故 0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围．18．解析：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为，故，因此60B =︒．（2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S ∆=．由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2tan 2c A c C a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒．由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S ∆< 因此，△ABC 面积的取值范围是．19．（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，D ，G 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B －CG －A 的大小．19．解析：（1）由已知AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，D ，G 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ，因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BFGC 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得1BH =，．以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则(1,1,0)A -，(1,0,0)C，G，CG =，(2,1,0)AC =-．设平面ACGD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即 cos 02B ≠1sin =22BEH020.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以可取(3,6,=n ．又平面BCGE 的法向量为(0,1,0)=m ． 所以．因此二面角B －CG －A 的大小为30°． 20．（12分）已知32()2f x x ax b =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．20．解析：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或3a x =． 若0a >，则当(,0)(,)3a x ∈-∞+∞时，()0f x '>；当(0,)3ax ∈时，()0f x '<．故()f x 在(,0)-∞，(,)3a +∞单调递增，在(0,)3a单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a <，则当(,)(0,)3a x ∈-∞+∞时，()0f x '>；当(0)3ax ∈，时，()0f x '<．故()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞单调递增，在(,0)3a单调递减．（2）满足题设条件的a ，b 存在．（ⅰ）当0a ≤时，由（1）知，()f x 在[0,1]单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为(0)f b =，最大值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即0a =，1a =-．（ⅱ）当3a ≥时，由（1）知，()f x 在[0,1]单调递减，所以()f x 在[0,1]的最大值为(0)f b =，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =，21a b -+=-，即4a =，1a =．（ⅲ）当03a <<时，由（1）知，()f x 在[0,1]的最小值为3()327a a fb =-+，最大值为b或2a b -+．若3127a b -+=-，1b =，则a =03a <<矛盾．若3127a b -+=-，21ab -+=，则a =a =-或0a =，与03a <<矛盾．综上，当且仅当0a =，1a =-或4a =，1a =时，()f x 在区间[0,1]的最小值为－1，最大值为1． 21．（12分）已知曲线C ：22x y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．cos ,||||⋅<>==m n m n m n（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积．21．解析：（1）设1(,)2D t -，11(,)A x y ，则．由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-． 整理得112210tx y -+=．设22(,)B x y ，同理可得222210tx y -+=． 故直线AB 的方程为．所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，． 设12d d ，分别为D ，E 到直线AB的距离，则1d =．因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 由于EM AB ⊥，而2(,2)E M tt =-，与向量(1,)t 平行，所以，解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，．因此，四边形ADBE 的面积为3或（二）选考题：共10分。