数学建模案例之多变量有约束最优化

2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下： 根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max P ( s, t ) = (339 − as − 0.003t ) s + (399 − 0.004 s − 0.01t )t − (400000 + 195 s + 225t ), s.t . s + t ≤ 10000, s ≤ 5000 , t ≤ 8000 , s≥0,t ≥0
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s ≤ 5000, t ≤ 8000 ；
假设３ 假设３：公司年内的生产能力有上限 c=10000 台，即
s + t ≤ 10000 ；
假设４ 据估计， 英寸彩电， 美分， 假设４：据估计，每售出一台 21 英寸彩电，19 英寸的彩电平均售价会下降 0.3 美分， 英寸的彩电， 美分。 而每售出一台 19 英寸的彩电，21 英寸彩电的平均售价会下降 0.4 美分。
144 − 0.02 s − 0.007 t = λ 174 − 0.007 s − 0.02t = λ
与约束方程
s + t = 10000
联立求解， 联立求解，得到
s0 ≈ 3846 t 0 ≈ 6154 λ = 24
P(s,t)可得极大值为 代入目标函数 P(s,t)可得极大值为 P ( s0 , t 0 ) = 532308 。
144 − 2as − 0.007t = λ 174 − 0.007 s − 0.02t = λ
与约束方程
g ( s , t ) = s + t = 10000
联立求解， 联立求解，得到
50000 s( a ) = 1000 a + 3 50000 t ( a ) = 10000 − 1000 a + 3 λ ( a ) = 650 − 26 1000 a + 3
（2）P(s,t)在其它约束直线上的极大值 P(s,t)在其它约束直线上的极 在其它约束直线上的 采用与（ P(s,t)的极大 采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对 P(s,t)的极大 值点，结果如下： 值点，结果如下： 直线段 s = 5000 ：极大值点（5000，5000） 极值为 515000 美元； 极大值点（5000，5000） ，极值为 ， 美元； 极大值点（2000，8000） ，极值为 美元； 直线段 t = 8000 ：极大值点（2000，8000） 极值为 488000 美元； ， 极大值点（ 8000） ，极值为 美元； 直线段 s = 0 ：极大值点（0，8000） 极值为 352000 美元； ， 极大值点（5000， ， ，极值为 美元。 直线段 t = 0 ：极大值点（5000，0） 极值为 70000 美元。 比较边界极大值， 第 4 步：比较边界极大值，求出最大值点 P(s,t)在区域 的五段边界直线上的最大值， P(s,t)在区域上的 比较函数 P(s,t)在区域 S 的五段边界直线上的最大值，可得到 P(s,t)在区域上的 美元，在点(3846,6154)处取得。 (3846,6154)处取得 最大值为 532308 美元，在点(3846,6154)处取得。
P(s,t)在约束直线 上的极 （1）P(s,t)在约束直线 s + t = 10000 上的极大值 此时，需要求解问题 此时，
max P ( s , t ) s .t . g ( s , t ) = s + t = 10000
其 Lagrange 乘子方程为 ∇ P = λ ∇ g ，即
（2.3） 2.3）
（2.5） 2.5）
计算可得
ds da dt da
−50000000 = (1000a + 3)2 ds 50000000 = − da = (1000a + 3)2
s=3846， 从而在点 s=3846，t=6154,a=0.01 处，有
S ( s , a ) = ds ⋅ a = −0.77 da s dt a S ( t , a ) = da ⋅ t = 0.48
（2.4） 2.4）
图 2 可行域及水平集图
P(s,t)的水平集图像 的水平集图像。 上面的图 2 给出了可行域以及 P(s,t)的水平集图像。水平集 P(s,t)=C 为一 簇同心环，这些环与可行域相交， 为最小的环。 簇同心环，这些环与可行域相交，水平集 P(s,t)=532308 为最小的环。这个集 在极值点相切。 合刚刚接触到可行域 S，且与直线 s + t = 10000 在极值点相切。由图 2 还可以 看出， 看出，利用 Lagrange 乘子法在约束直线 s + t = 10000 上找到的临界点就是 P(s,t)在整个可行域上的最大值。 P(s,t)在整个可行域上的最大值。 在整个可行域上的最大值
a=0.01。 这里 a=0.01。
（2.1） 2.1）
3．模型求解
求解方法-------Lagrange 3.1 求解方法----Lagrange 乘子法 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题， 乘子法求解。 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用 Lagrange 乘子法求解。 P(s,t)的可行域 第 1 步：确定目标函数 P(s,t)的可行域 S P(s,t)的可行域 目标函数 P(s,t)的可行域 S（见图 1）为：
变量之间的相互关系确定： 变量之间的相互关系确定： 对每种类型的彩电，每多售出一台， 美分。 假设 1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降 1 美分。 假设２ 对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制， 假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制
数学建模案例之 多变量有约束最优化 多变量有
2010.3.22
我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。 问题 2[1]（续问题 1） 在问题 1 中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现 ： 在我们根据允许的生产能力引入限制条件。 公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白 在我们根据允许的生产能力引入限制条件。 电视机的生产。 这些额外的生产能力就可以用来提高那 电视机的生产。 机的生产 这样装配厂就有了额外的生产能力。 这样装配厂就有了额外的生产能力。 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计， 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每 英寸、 英寸彩色显像管、 年可以生产 10000 台电视 约每周 200 台） 公司有充足的 19 英寸、 英寸彩色显像管、 （ 。 21 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19 英寸彩 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。 电所需要的电路板与 21 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 8000 块 21 英寸彩电的电路板和 5000 块 19 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 彩电公司应该怎样确定其生产量？ 彩电公司应该怎样确定其生产量？
因此， 英寸彩电的销售价格为： 因此，19 英寸彩电的销售价格为： a× 0.03× p=339 - a×s - 0.03×t，此处 a=0.01 21 英寸彩电的销售价格为： 英寸彩电的销售价格为： 0.01× 0.04× q=399 - 0.01×t - 0.04×s 因此，总的销售收入为： 因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t R=p× q× 生产成本为： 生产成本为： 195× 225× C=400000 + 195×s + 225×t 净利润为： 净利润为： P=R-C
（2.7） 2.7）
s(a)和 t(a)， P(a)。 图 3 画出了曲线 s(a)和 t(a)，图 4 画出了曲线 P(a)。
s,t 台 10000 sa 8000 6000 4000 ta 2000 0 a 美美 台 0 0.005 0.01 0.015 0.02
s(a)，t(a)代入 P(s,t)， 将 s(a)，t(a)代入 P(s,t)，经过计算可得
dP da
（2.6） 2.6）
= − s2
a=0.01,P(3846,6154)=532308， 代入数据 a=0.01,P(3846,6154)=532308，可得
a S ( P , a ) = dP ⋅ P = −0.28 da
的内部， 因此，最大值一定在边界上达到。 在可行域 S 的内部， ∇P ≠ 0 ，因此 ，最大值一定在边界上达到。 第 3 步：计算边界上的极大值
（2.2） 2.2）
条直线围成， P(s,t)在每一条边界线段上的 大值， 在每一条边界线段上的极 由于可行域由 5 条直线围成，因此需要分别计算 P(s,t)在每一条边界线段上的极大值，下面 分别计算， P(s,t)在直线 上的最大值。 分别计算，重点介绍如何计算 P(s,t)在直线 s + t = 10000 上的最大值。
S = {( s, t ) : s + t ≤ 10000, 0 ≤ s ≤ 5000, 0 ≤ t ≤ 8000}
10000 8000 6000 4000 2000 2000 4000 6000 8000 10000
可可可
图 1 目标函数的可行域图
第 2 步：计算 ∇P
∇P = ( ∂P , ∂∂P ) = (144 − 0.02 s − 0.007 t ,174 − 0.007 s − 0.02t ) t ∂s
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明 问题分析、
这里涉及的变量和问题１相同： 这里涉及的变量和问题１相同： 英寸彩电的售出数量（ ； s：19 英寸彩电的售出数量（台） 英寸彩电的售出数量（ ； t：21 英寸彩电的售出数量（台） 英寸彩电的售出价格（美元/ ； p：19 英寸彩电的售出价格（美元/台） 英寸彩电的售出价格（美元/ ； q：21 英寸彩电的售出价格（美元/台） ； C：生产彩电的成本（美元） 生产彩电的成本（美元） ； R：彩电销售的收入（美元） 彩电销售的收入（美元） P：彩电销售的利润（美元） 彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量同问题１ 这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为： 美元； 两种彩电的初始定价分别为：339 美元和 399 美元； 每种彩电的生产成本分别为： 美元； 每种彩电的生产成本分别为：195 美元和 225 美元； 每种彩电每多销售一台， 美元（称为价格弹性系数） 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数 a=0.01 美元（称为价格弹性系数） ； 美元； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为 0.04 美元和 0.03 美元； 美元。 固定成本 400000 美元。
3.2 结果解释 英寸彩电， 公司为获得做大利润应生产 3846 台 19 英寸彩电和 6154 台 21 英寸彩电，从而 这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。 每年的总生产量为 10000 台，这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。能够供应的 立体声电路板的资源限制不是关键的。 美元的利润。 立体声电路板的资源限制不是关键的。这样可以得到预计每年 532308 美元的利润。
灵敏性分析与影子价格 4．灵敏性分析与影子价格
的灵敏性， 我们先讨论 19 英寸彩电的价格弹性系数 a 的灵敏性， 即售出量 s,t 和利润 P 关于 a 的 灵敏性，然后讨论最优产量 s,t，利润 P 对可利用生产能力 c=10000 台的灵敏性。 灵敏性， s,t， 台的灵敏性。
4.1 最优解关于 19 英寸彩电的价格弹性系数 a 的灵敏性分析 方法来求解该问题。 仍利用 Lagrange 方法来求解该问题。Lagrange 乘子方程为 ∇P = λ ∇g ，即