数学建模案例之多变量有约束最优化
第三讲 多变量最优化
如果在求极值时使用函数的梯度，则在目标函数的m-文件 中应有两个输出，第二个输出为目标函数的梯度向量. function [y, g] = tvsell_b(x) y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2)) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2)) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2)); g = [144 - 0.02*x(1) - 0.007*x(2), 174 – 0.007*x(1) – 0.02*x(2))];
144 x 0.01 x 2 174 y 0.01 y 2 0.007 xy 400000
P 求解模型： 144 0.02 x 0.007 y 0 x P 174 0.007 x 0.02 y 0 y
解得全局极大值点
x 4735, y 7043.
h1 7.918, h2 5.367, 3.000
f (h1 , h2 ) 1097.11 (m2 )
模型的敏感性：
拉格朗日乘子的值 3.000, 意思是如果总表面积增加1个单位，水箱的 容积大约增加3m2.
Matlab 的优化函数
约束极小
[x, fval, exitflag, ouput, lambda, grad, hessian] = fmincon(‘objfun’, x0, A, b, A1, b1, LB, UB, ‘nonlcon’, options, p1, p2,…)
Matlab 优化函数
无约束多变量函数极小 1） 建立目标函数的m-文件 function y = tvsell(x) y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2)) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2)) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2)); 2）求解 >> x0 = [0, 0]; >> [x, yval] = fminunc(‘tvsell’, x0) fminunc
第四讲---多变量优化模型
2
函数存在唯一的驻点
(1) A是正定矩阵
对称矩阵
xmin A 1b, f min c bT A 1b
(2) A是负定矩阵
(2) a>0, 抛物线开口向下,
xmax b 4ac b 2 arg max{ f ( x)} , f max x 2a 4a
xmax A 1b, f max c bT A 1b
问题描述的一般形式
可行解集合
S {x n : gi (x) ci , i 1, 2,, m}
min{ f ( x)} n
x
多变量约束优化方法
多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。
这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。
传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。
因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。
一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。
虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。
二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。
常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。
非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。
三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。
遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。
四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。
在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。
粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。
约束条件下的最优化问题
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
多变量非线性约束最优化问题
•这种问题的一般形式为： 这种问题的一般形式为： 这种问题的一般形式为 • 目标函数： 目标函数：
min f ( x)
x
c ( x ) <= 0 •约束条件： ceq 约束条件： 约束条件 ( x ) = 0 A • x <= b Aeq • x = beq lb <= x <= ub
•其中： x 为向量，G（x）为函数向量，F(x)为标量函数， 其中： 为向量， （ ）为函数向量， 为标量函数， 其中 为标量函数 F(x)和G(x)均可以是非线性函数。G(x)可以为等式约束 均可以是非线性函数。 和 均可以是非线性函数 可以为等式约束 也可以为不等式约束。 也可以为不等式约束。 •在matlab中这种一般的约束最优问题的求解要用到的 在 中这种一般的约束最优问题的求解要用到的 命令是： 命令是： FMINCON: •格式:x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
练习
1：目标函数：
•约束方程：
min f ( x) = − x1 x2 x3
− x1 − 2 x 2 − 2 x 3 ≤ 0
x1 + 2 x 2 + 2 x 3 ≤ 72
•2：
min f ( x) = 2 x12 + x2 2 + x3 2 − x1 x2 2 2 x1 + x2 ≤≥ 0 1 2 3
有约束非线性多元函数最优化 问题
考虑如下优化问题： 考虑如下优化问题：
x1 • 目标函数： min f ( x ) = e ( 4 x1 + 2 x 2 + 4 x1 x 2 + 2 x 2 + 1) 目标函数： x 2 2
多变量约束优化方法
第7章 多维约束优化方法Chapter 7 Constrained Several Variables Technique7-1 概述 Summarize工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题，即nR X X f ∈)(m innp v X h m u X g t s v u <===≥,,2,10)(,,2,10)(..约束最优点不仅与目标函数的性质有关，也与约束函数的性质有关。
因此，约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂，求解困难也更大。
根据对约束条件处理方法的不同，解决约束优化问题的方法分成二类: 1) 直接法 Direct Method寻优过程直接在设计空间的可行域D 内进行，但对每一个迭代点)(k X 必须进行可行性()(()01,2,,)k u g X u m ≤= 和下降性))()(()1()(+>k k X f X f 检查。
直接算法简单，直观性强，对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。
但是它的计算量大、收敛速度慢，因此效率低，比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。
这类算法包括随机方向法、复合形法等。
2) 间接法 Indirect Method间接法的主要思路是，首先将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后再用无约束 优化方法来进行求解。
间接解法分很多类，其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。
7-2 惩罚函数法 Penalty Method在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似, 都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。
但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。
因此，用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列，即**2*1,,kX X X ，当k →∞时，**k X X →。
因此，惩罚函数法又称序列无约束最小化技术Sequential Unconstrained Minimization Technique ， 即SUMT 法。
数学建模案例之多变量最优化
数学建模案例之多变量无约束最优化问题1[1]：某家液晶电视机制造商计划推出两种产品：一种47英寸液晶电视机，制造商建议零售价每台7900元。
另一种42英寸液晶电视机，零售价6500元。
公司付出的成本为47英寸液晶电视机每台4500元，42英寸液晶电视机每台3800元，再加上3200000元的固定成本。
在竞争的销售市场中，每年售出的液晶电视机数量会影响液晶电视机的平均售。
据估计，对每种类型的电视，每多售出一台，平均销售价格会下降0.08元。
而且47英寸液晶电视机的销售量会影响42英寸液晶电视机的销售，反之也是如此。
据估计，每售出一台47英寸液晶电视机，42英寸的液晶电视机平均售价会下降0.024元，而每售出一台42英寸的液晶电视机，47英寸液晶电视机的平均售价会下降0.032元。
问：（1）问每种电视应该各生产多少台，使总利润最大？（2）对你在（1）中求出的结果讨论42英寸液晶电视机的价格弹性系数的灵敏性。
1．问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量：s：47英寸液晶电视机的售出数量（台）；t：42英寸液晶电视机的售出数量（台）；p：47英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；q：42英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；C：生产液晶电视机的成本（元）；R：液晶电视机销售的收入（元）；P：液晶电视机销售的利润（元）这里涉及的常量有：两种液晶电视机的初始定价分别为：339元和399元，成本分别为：195元和225元；每种液晶电视机每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01元（称为价格弹性系数）；两种液晶电视机之间的销售相互影响系数分别为0.04元和0.03元；固定成本400000元。
变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的液晶电视机，每多售出一台，平均销售价格会下降1元。
假设2：据估计，每售出一台42英寸液晶电视机，47英寸的液晶电视机平均售价会下降0.3元，而每售出一台47英寸的液晶电视机，42英寸液晶电视机的平均售价会下降0.4元。
数学建模中的优化方法与约束条件
数学建模中的优化方法与约束条件在数学建模中，优化方法与约束条件是两个重要的概念。
优化方法指的是通过对数学模型进行求解，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
而约束条件是指在优化过程中需要考虑的限制条件，使得变量取值满足一定的限制范围。
本文将介绍数学建模中常用的优化方法和约束条件，并探讨它们在实际问题中的应用。
优化方法是数学建模中常用的一种技术，通过对模型进行求解，找到最优解或近似最优解。
常用的优化方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
线性规划适用于目标函数和约束条件均为线性函数的情况，可以通过单纯形法等方法进行求解。
整数规划适用于目标函数和某些或所有变量取整数值的情况，可以通过分枝定界法等方法进行求解。
非线性规划适用于目标函数和（或）约束条件中含有非线性函数的情况，可以通过梯度下降法、牛顿法等方法进行求解。
动态规划适用于多阶段决策问题，通过构建递推关系式，将原问题转化为一系列子问题进行求解。
约束条件是指在优化过程中需要满足的一系列限制条件。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束要求变量取值满足一定的等式关系，常用的方法是拉格朗日乘子法。
不等式约束要求变量取值满足一定的不等式关系，常用的方法是KKT条件或者罚函数法。
在实际问题中，约束条件往往是由问题的实际限制确定的，例如生产能力、资源限制、物理约束等。
对于约束条件的处理，需要根据实际情况选择合适的方法进行建模和求解。
在实际问题中，优化方法和约束条件通常是相互关联的。
优化方法的选择需要根据问题的性质和约束条件的特点来确定。
例如，线性规划适用于目标函数和约束条件均为线性函数的情况，而非线性规划适用于目标函数和（或）约束条件中含有非线性函数的情况。
在建模过程中，需要将问题抽象为数学模型，并根据实际情况选择合适的优化方法和约束条件进行求解。
总而言之，数学建模中的优化方法和约束条件是解决实际问题的基础。
通过选择合适的优化方法和约束条件，可以对问题进行求解并得到最优解或近似最优解。
数学建模最优化模型
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
最优化：在一定的条件下，寻求 使得目标最大（最小）的策略
• 约一半以上的问题与最优化问题有关。如： 飞行管理问题（95A） 最优捕鱼策略（96A） 节水洗衣机（96B） 零件的参数设计(97A) 投资收益和风险(98A) 钢管订购和运输(2000B)
2
min
m i 1
yi
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
xi
x4 a5
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。
非线性最优化：目标函数和约束条件如果含 有非线性的，则称为非线性最优化。
（二）静态最优化：如果可能的方案与时间无关， 则是静态最优化问题。
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
运行结果:
f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
数学建模 最优化方法建模及实现
max Z 400 x1 900 x2 500 x3 200 x4 40 x1 75 x2 30 x3 15 x4 800 300 x 400 x 200 x 100 x 2000 1 2 3 4 s.t. 40 x1 75 x2 500 x1 3, x2 2, 5 x3 10, 5 x4 10
实际问题中的优化模型maxminx决策变量fx目标函数x0约束条件数学规划线性规划lp二次规划qp非线性规划nlp纯整数规划pip混合整数规划mip整数规划ip01整数规划一般整数规划连续规划优化模型的分类线性规划问题的求解在理论上有单纯形法在实际建模中常用以下解法
实验07 最优化方法建模及实现
实验目的
优化模型的分类
实际问题中 Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T 的优化模型 s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m x~决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)~目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0~约束条件
例3： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加 工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900， 三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车 床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。 问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求， 又使加工费用最低？
1、了解最优化问题的基本内容。
2、掌握线性规划及非线性规划建模及其MATLAB实现。 3、基于最优化方法建模及实现、论文写作。
实验内容
1、基础知识、例子。
第四章约束问题的最优化方法
迭代，产生的极值点 xk*(r(k))
4
序列从可行域外部趋向原目标
函数的约束最优点 x* 。
外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二. 惩罚函数的形式：
m
l
( x, r) f ( x) r max[0, gi ( x)]2 r [hj ( x)]2
i1
j1
• 惩罚因子rk 是递增的，rk1 a rk ，a为递增系数，a 1
惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭 代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2
无约束优化问题：min . (x, r1, r2 )
Φ函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2…
其收敛必须满足：
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和 G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多 维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚
六. 举例：盖板问题
设计一个箱形截面的盖板。 已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， h 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
tf ts
b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
f (x) r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]
数学建模案例之多变量有约束最优化
4.3 影子价格
P 的方向向外移动，且 P 导数 dP dc 的几何解释为：因为 P g ，当 c 增加时，在几何上为沿着
的增加速度是 g 的增加速度的 倍。
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max P ( s, t ) (339 as 0.003t ) s (399 0.004 s 0.01t )t (400000 195 s 225t ), s.t . s t 10000, s 5000 , t 8000 , s0,t 0
数学建模案例之 多变量有约束最优化
2010.10
问题 2[1]（续问题 1） ：在问题 1 中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现
在我们根据允许的生产能力引入限制条件。 公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白 电视机的生产。 这样装配厂就有了额外的生产能力。 这些额外的生产能力就可以用来提高那 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每 年可以生产 10000 台电视 （约每周 200 台） 。 公司有充足的 19 英寸、 21 英寸彩色显像管、 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19 英寸彩 电所需要的电路板与 21 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供 8000 块 21 英寸彩电的电路板和 5000 块 19 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 彩电公司应该怎样确定其生产量？
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及的变量和问题１相同： s：19 英寸彩电的售出数量（台） ； t：21 英寸彩电的售出数量（台） ； p：19 英寸彩电的售出价格（美元/台） ； q：21 英寸彩电的售出价格（美元/台） ； C：生产彩电的成本（美元） ； R：彩电销售的收入（美元） ； P：彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为：339 美元和 399 美元； 每种彩电的生产成本分别为：195 美元和 225 美元； 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数 a=0.01 美元（称为价格弹性系数） ； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为 0.04 美元和 0.03 美元； 固定成本 400000 美元。
数学建模飞机运输问题
数学建模飞机运输问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】多变量有约束最优化问题摘要本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。
在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。
对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。
并以此作为公司对三种货物运输安排方式。
对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。
再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。
并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=，x3=50）。
对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。
我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。
再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。
问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。
重量限制仍保持不变。
假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。
根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。
数学建模中的优化问题与约束条件的求解
数学建模中的优化问题与约束条件的求解在数学建模的广阔领域中，优化问题与约束条件的求解是至关重要的组成部分。
优化问题旨在寻找某种最佳的解决方案，而约束条件则限制了可行解的范围。
理解和解决这些问题对于解决实际生活中的各种复杂情况具有深远的意义。
首先，让我们明确什么是优化问题。
简单来说，优化问题就是在给定的一组条件下，寻找能够使某个目标函数达到最大值或最小值的变量取值。
例如，一家工厂在生产多种产品时，需要决定每种产品的产量，以在有限的资源和市场需求的限制下，实现利润最大化。
这里，每种产品的产量就是变量，利润就是目标函数，而资源和市场需求则构成了约束条件。
优化问题的类型多种多样。
常见的有线性规划、非线性规划、整数规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的问题。
非线性规划则涉及到目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
整数规划要求变量取整数值。
每种类型的优化问题都有其特定的求解方法和特点。
接下来谈谈约束条件。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束表示某些变量之间必须满足精确的相等关系，比如在一个物理系统中，能量守恒定律就可以表示为一个等式约束。
不等式约束则限制了变量的取值范围，比如资源的有限性可能导致生产过程中对某些投入的使用不能超过一定的上限。
在实际问题中，约束条件往往是复杂且多样化的。
它们可能来自于物理规律、经济规律、技术限制、政策法规等多个方面。
例如，在交通运输规划中，道路的容量限制、车辆的速度限制等都是约束条件；在投资决策中，资金预算、风险承受能力等也是约束条件。
求解优化问题与约束条件的方法有很多。
经典的方法如单纯形法，适用于线性规划问题。
对于非线性规划问题，常用的方法有梯度下降法、牛顿法等。
此外，还有一些智能算法，如遗传算法、模拟退火算法等，它们在处理复杂的优化问题时表现出了强大的能力。
单纯形法是一种通过在可行域的顶点上进行搜索来找到最优解的方法。
它的基本思想是从一个可行解开始，通过不断地移动到相邻的顶点，逐步改进目标函数的值，直到找到最优解。
数学建模案例分析最优化方法建模动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
数学建模飞机运输问题要点
多变量有约束最优化问题摘要本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。
在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。
对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。
并以此作为公司对三种货物运输安排方式。
对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。
再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。
并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。
对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。
我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。
再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。
问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。
重量限制仍保持不变。
假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。
根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。
关键词：线性规划、mathematica软件的应用、Lindo的软件应用。
数学建模案例之多变量有约束最优化
数学建模案例之多变量有约束最优化多变量有约束最优化是数学建模中常见的问题之一，其目标是在多个变量的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
举个例子，假设我们有一块草地，现在要在上面建设一个矩形花坛，花坛的周长为20米。
我们想要最大化花坛的面积。
如何确定花坛的尺寸才能使得面积最大呢？我们可以设花坛的长为x，宽为y，则花坛的面积为S=xy。
又因为花坛的周长为20米，所以有2x+2y=20。
我们的目标是最大化S。
这是一个多变量有约束最优化问题。
我们可以将其转化为单变量无约束优化问题，通过消元的方式求得一个变量的表达式，然后将其代入目标函数中求解。
具体步骤如下：1.将约束条件与目标函数联立，得到一个包含约束条件和目标函数的方程组。
2x+2y=20S=xy2.将方程组中的一个变量用另一个变量表示，然后代入目标函数中，得到一个只含一个变量的函数。
2x+2y=20 可以化简为 x=10-y，将其代入目标函数S=xy，得到S=y(10-y)=10y-y^23.求解这个只含一个变量的函数的最大值或最小值。
对函数S(y)=10y-y^2求导，得到S'(y)=10-2y。
令导函数为0，即求解方程10-2y=0，得到y=54.将求解得到的变量值代入约束条件中，得到另一个变量的值。
将y=5代入方程x=10-y，得到x=10-5=55.将求解得到的变量值代入目标函数中，得到目标函数的最大值或最小值。
将x=5，y=5代入S=y(10-y)，得到S=5(10-5)=25综上所述，在花坛的周长为20米的约束条件下，使得花坛的面积最大时，花坛的尺寸为5米×5米，面积为25平方米。
多变量有约束最优化问题的解法方法不仅仅局限于上述步骤，还可以利用拉格朗日乘子法、KKT条件等进行求解。
通过适当选择合适的方法，可以高效地解决实际问题中的多变量有约束最优化问题。
总结起来，多变量有约束最优化问题是数学建模中常见的问题之一，通过转化为单变量无约束问题，可以找到目标函数的最大值或最小值。
第四讲---多变量优化模型
4.3 无约束优化问题的求解方法 Matlab库函数及其使用说明
优化向 量的范 围限制
[x, FVAL, EXITFLAG, OUTPUT, GRAD, HESSIAN] =fminunc(FUN,x,options,varargin)
极小 值点
极小 值
迭代次 数等信 息
最优 点梯 度
最优点 Hessian 矩阵
雷达信号处理国防科技重点实验室
4.1 多变量优化建模举例
优化模型
max P( s, t ) (339 0.01s 0.003t s (399 0.004s 0.01t )t (400000 195s 225t )} subject to s 0, t 0
最优的生产方案是:19寸生产4735台,21寸 生产7043台, 最大利润为 553641(美元)
雷达信号处理国防科技重点实验室
4.3 无约束优化问题的求解方法
min{ f ( x)} n
x
n>1情况
f (x) xT Ax 2bT x c, f ( x) 2 Ax 2b 0 x A 1b (A 是可逆的对称矩阵) T T T AA x Ax x x 2
•黑色变量-决策/优化变量 •蓝色变量-中间变量 •红色变量-优化变量
基本假设(变量间相互关系)
p 339 0.01s 0.003t q 399 0.004 s 0.01t R ps qt C 400000 195s 225t P R C s0 t0
数学建模基础
第四讲: 多变量优化模型
---水鹏朗 雷达信号处理国防科技重点实验室
4.1 多变量优化建模举例
数学建模讲座之七---最优化模型
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
2013-8-6 数学建模
2013-8-6
数学建模
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
2013-8-6 数学建模
x
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。 解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，
0.5x1 0.2 x2 8 x1 , x2 0
2013-8-6
数学建模
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
数学建模
s.t.
2013-8-6
问题二： 某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量
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（2.7） 2.7）
s(a)和 t(a)， P(a)。 图 3 画出了曲线 s(a)和 t(a)，图 4 画出了曲线 P(a)。
s,t 台 10000 sa 8000 6000 4000 ta 2000 0 a 美美 台 0 0.005 0.01 0.015 0.02
变量之间的相互关系确定： 变量之间的相互关系确定： 对每种类型的彩电，每多售出一台， 美分。 假设 1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降 1 美分。 假设２ 对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制， 假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制
（2.5） 2.5）
计算可得
ds da dt da
−50000000 = (1000a + 3)2 ds 50000000 = − da = (1000a + 3)2
s=3846， 从而在点 s=3846，t=6154,a=0.01 处，有
S ( s , a ) = ds ⋅ a = −0.77 da s dt a S ( t , a ) = da ⋅ t = 0.48
144 − 2as − 0.007t = λ 174 − 0.007 s − 0.02t = λ
与约束方程
g ( s , t ) = s + t = 10000
联立求解， 联立求解，得到
50000 s( a ) = 1000 a + 3 50000 t ( a ) = 10000 − 1000 a + 3 λ ( a ) = 650 − 26 1000 a + 3
s(a)，t(a)代入 P(s,t)， 将 s(a)，t(a)代入 P(s,t)，经过计算可得
dP da
（2.6） 2.6）
= − s2
a=0.01,P(3846,6154)=532308， 代入数据 a=0.01,P(3846,6154)=532308，可得
a S ( P , a ) = dP ⋅ P = −0.28 da
（2）P(s,t)在其它约束直线上的极大值 P(s,t)在其它约束直线上的极 在其它约束直线上的 采用与（ P(s,t)的极大 采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对 P(s,t)的极大 值点，结果如下： 值点，结果如下： 直线段 s = 5000 ：极大值点（5000，5000） 极值为 515000 美元； 极大值点（5000，5000） ，极值为 ， 美元； 极大值点（2000，8000） ，极值为 美元； 直线段 t = 8000 ：极大值点（2000，8000） 极值为 488000 美元； ， 极大值点（ 8000） ，极值为 美元； 直线段 s = 0 ：极大值点（0，8000） 极值为 352000 美元； ， 极大值点（5000， ， ，极值为 美元。 直线段 t = 0 ：极大值点（5000，0） 极值为 70000 美元。 比较边界极大值， 第 4 步：比较边界极大值，求出最大值点 P(s,t)在区域 的五段边界直线上的最大值， P(s,t)在区域上的 比较函数 P(s,t)在区域 S 的五段边界直线上的最大值，可得到 P(s,t)在区域上的 美元，在点(3846,6154)处取得。 (3846,6154)处取得 最大值为 532308 美元，在点(3846,6154)处取得。
数学建模案例之 多变量有约束最优化 多变量有
2010.3.22
我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。 问题 2[1]（续问题 1） 在问题 1 中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现 ： 在我们根据允许的生产能力引入限制条件。 公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白 在我们根据允许的生产能力引入限制条件。 电视机的生产。 这些额外的生产能力就可以用来提高那 电视机的生产。 机的生产 这样装配厂就有了额外的生产能力。 这样装配厂就有了额外的生产能力。 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计， 些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每 英寸、 英寸彩色显像管、 年可以生产 10000 台电视 约每周 200 台） 公司有充足的 19 英寸、 英寸彩色显像管、 （ 。 21 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。 底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19 英寸彩 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。 电所需要的电路板与 21 英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。 重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 8000 块 21 英寸彩电的电路板和 5000 块 19 英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况， 彩电公司应该怎样确定其生产量？ 彩电公司应该怎样确定其生产量？
P(s,t)在约束直线 上的极 （1）P(s,t)在约束直线 s + t = 10000 上的极大值 此时，需要求解问题 此时，
max P ( s , t ) s .t . g ( s , t ) = s + t = 10000
其 Lagrange 乘子方程为 ∇ P = λ ∇ g ，即
（2.3） 2.3）
灵敏性分析与影子价格 4．灵敏性分析与影子价格
的灵敏性， 我们先讨论 19 英寸彩电的价格弹性系数 a 的灵敏性， 即售出量 s,t 和利润 P 关于 a 的 灵敏性，然后讨论最优产量 s,t，利润 P 对可利用生产能力 c=10000 台的灵敏性。 灵敏性， s,t， 台的灵敏性。
4.1 最优解关于 19 英寸彩电的价格弹性系数 a 的灵敏性分析 方法来求解该问题。 仍利用 Lagrange 方法来求解该问题。Lagrange 乘子方程为 ∇P = λ ∇g ，即
a=0.01。 这里 a=0.01。
（2.1） 2.1）
3．模型求解
求解方法-------Lagrange 3.1 求解方法----Lagrange 乘子法 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题， 乘子法求解。 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用 Lagrange 乘子法求解。 P(s,t)的可行域 第 1 步：确定目标函数 P(s,t)的可行域 S P(s,t)的可行域 目标函数 P(s,t)的可行域 S（见图 1）为：
144 − 0.02 s − 0.007 t = λ 174 − 0.007 s − 0.02t = λ
与约束方程
s + t = 10000
联立求解， 联 λ = 24
P(s,t)可得极大值为 代入目标函数 P(s,t)可得极大值为 P ( s0 , t 0 ) = 532308 。
的内部， 因此，最大值一定在边界上达到。 在可行域 S 的内部， ∇P ≠ 0 ，因此 ，最大值一定在边界上达到。 第 3 步：计算边界上的极大值
（2.2） 2.2）
条直线围成， P(s,t)在每一条边界线段上的 大值， 在每一条边界线段上的极 由于可行域由 5 条直线围成，因此需要分别计算 P(s,t)在每一条边界线段上的极大值，下面 分别计算， P(s,t)在直线 上的最大值。 分别计算，重点介绍如何计算 P(s,t)在直线 s + t = 10000 上的最大值。
3.2 结果解释 英寸彩电， 公司为获得做大利润应生产 3846 台 19 英寸彩电和 6154 台 21 英寸彩电，从而 这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。 每年的总生产量为 10000 台，这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。能够供应的 立体声电路板的资源限制不是关键的。 美元的利润。 立体声电路板的资源限制不是关键的。这样可以得到预计每年 532308 美元的利润。
因此， 英寸彩电的销售价格为： 因此，19 英寸彩电的销售价格为： a× 0.03× p=339 - a×s - 0.03×t，此处 a=0.01 21 英寸彩电的销售价格为： 英寸彩电的销售价格为： 0.01× 0.04× q=399 - 0.01×t - 0.04×s 因此，总的销售收入为： 因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t R=p× q× 生产成本为： 生产成本为： 195× 225× C=400000 + 195×s + 225×t 净利润为： 净利润为： P=R-C
s ≤ 5000, t ≤ 8000 ；
假设３ 假设３：公司年内的生产能力有上限 c=10000 台，即
s + t ≤ 10000 ；
假设４ 据估计， 英寸彩电， 美分， 假设４：据估计，每售出一台 21 英寸彩电，19 英寸的彩电平均售价会下降 0.3 美分， 英寸的彩电， 美分。 而每售出一台 19 英寸的彩电，21 英寸彩电的平均售价会下降 0.4 美分。
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明 问题分析、
这里涉及的变量和问题１相同： 这里涉及的变量和问题１相同： 英寸彩电的售出数量（ ； s：19 英寸彩电的售出数量（台） 英寸彩电的售出数量（ ； t：21 英寸彩电的售出数量（台） 英寸彩电的售出价格（美元/ ； p：19 英寸彩电的售出价格（美元/台） 英寸彩电的售出价格（美元/ ； q：21 英寸彩电的售出价格（美元/台） ； C：生产彩电的成本（美元） 生产彩电的成本（美元） ； R：彩电销售的收入（美元） 彩电销售的收入（美元） P：彩电销售的利润（美元） 彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量同问题１ 这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为： 美元； 两种彩电的初始定价分别为：339 美元和 399 美元； 每种彩电的生产成本分别为： 美元； 每种彩电的生产成本分别为：195 美元和 225 美元； 每种彩电每多销售一台， 美元（称为价格弹性系数） 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数 a=0.01 美元（称为价格弹性系数） ； 美元； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为 0.04 美元和 0.03 美元； 美元。 固定成本 400000 美元。