平行线的证明(讲义及答案)
第七章 平行线的证明讲解
180°；（2）若两条直线不平行，则同位角就不相等；（3）a2 ＝b2，a与b可能相等，也可能互为相反数．
解： （1）假命题．如图1所示，l1∥l2，则∠1＋∠2＝180°，但
∠1与∠2不是邻补角． （2）假命题．如图2所示，l1与l2不平行，∠1和∠2是同位角
行”或“同旁内角互补，两直线平行”证明．
证法1： ∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＋∠2＝180°（已知）， ∴∠3＋∠2＝180°（等量代换）． ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
证法2： ∵∠1＋∠4＝180°（平角定义），∠1＋∠2＝180°（已知）
， ∴∠2＝∠4（同角的补角相等）． ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
6、公理、证明、定理的概念 （1）公认的真命题称为公理，即在长期的实践中，
人们总结出来的一些基本事实.如“两点确定一条直线 ”；“两点之间，线段最短”等等．
（2）除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推 理的方法进行判断﹒演绎推理的过程称为证明，
（3）经过证明的真命题称为定理．定理只能用公理 、定义和已经证明为真命题的命题来证明﹒
依据的方式，写出证明过程．
注意：通常文字证明题要有以上三个步骤，而在我们所接触到的证 明题中，有相当一部分不是文字证明题﹒题目已经明确用字母、符 号把命题表示出来，甚至也画出了示意图，对于不是文字证明的题， 我们只需从第三步开始写即可．
随堂演练
例1、如图所示，若∠B＝35°，∠CDF＝145°， 问AB是否与CE平行？
方法归纳： 解答文字叙述类证明题的关键是正确理解文字信息
，把文字表示的命题“翻译”成用图形和符号表示（ 即画图形，写出已知、求证），最后再写出证明过程 ．
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案：平行线、平行线的构造（含答案）
四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：平行线、平行线的构造）知识梳理 一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则Ð1=Ð2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则Ð2=Ð3． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则Ð3+Ð4=180°． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若Ð1=Ð2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若Ð2=Ð3，则a//b ． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若Ð3+Ð4=180°，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则Ð1=Ð2+Ð3 2．如图5，若a//b ，则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解 一、平行线下列说法中：下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理．（1）如图2-1，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125Ð=°，则2Ð的度数是（的度数是（ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°（2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB Ð=50°，MG 平分BM BMF F Ð，交CD 于G ，MGN Ð的度数为__________．FE AMBC N G D12图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】（1）D ；（2）65°；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B Ð1=Ð，C Ð2=Ð（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°．（平角的定义） 所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°（等量代换）． 即三角形三个内角的和等于180°． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A Ð1=Ð（两直线平行，内错角相等），B Ð2=Ð（两直线平行，同位角相等）．又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°， ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°， 即三角形三个内角的和等于180°．【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充，这个结论和平行公理是等价的．平行公理是等价的．另外，另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后然后再证明，重点强调格式．（1）根据图在（）根据图在（ ）内填注理由：）内填注理由： ①∵B CEF Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ②∵B BED Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ③∵B CEB Ð+Ð=180°（已知），（已知），l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD （ ）．）．（2）已知：如图所示，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，AED EDC Ð=Ð．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知）（已知）∴EDC Ð=__________ADC Ð，FBA Ð=__________ABC Ð（ ）， 又∵ADC ABC Ð=Ð（已知），（已知）， ∴Ð__________FBA =Ð（等量代换）．（等量代换）． 又∵AED EDC Ð=Ð（已知），（已知），∴Ð__________=Ð__________（等量代换），（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定，这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型．如图，已知EF BC ^，C Ð1=Ð，Ð2+Ð3=180°．证明：AD BC ^．【解析】C Ð1=ÐQ ，（已知）\GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） \CAD Ð=Ð2．（两直线平行，内错角相等）A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ，（已知）\CAD Ð3+=Ð180°．（等量代换）\AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） \ADC EFC Ð=Ð．（两直线平行，同位角相等）EF BC ^Q ，（已知） ADC \Ð=90°，\AD BC ^．【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点．请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð，相交于点O ．求证：MG NH ^．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE Ð=Ð，又∵MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð，∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22，∴MG//NH ， 从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE Ð+Ð=180°，又∵MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð， ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22，∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°，∴MG NH ^．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角．二、平行线的构造（1）如图6-1，已知直线a//b ，Ð1=40°，Ð2=60°，则Ð3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，Ð1=120°，=Ð2100°，则Ð3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE Ð=120°，ECD Ð=25°，则E Ð=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100°；（2）40°；（3）85°．321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型．（1）如图7-1，AB//CD ，BAFEAF 1Ð=Ð3，FCD ECF 1Ð=Ð3，AEC Ð=128°，则AFC Ð的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ，ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ，BFD Ð=54°，则BPD Ð=________，BED Ð=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58°；（2）144°；108°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合．（1）如图8-1，AB//CD ，A Ð=32°，C Ð=70°，则F Ð=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E Ð=37°，C Ð=20°，则EAB Ð的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38°；（2）57°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形．EF A BPCDFD CBEAED CBA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点当动点P 落在某个部分时，落在某个部分时，连结连结P A 、PB ，构成PAC Ð，APB Ð，PBD Ð三个角。
平行线的性质与判定_讲义
一、授课目的与分析：一、授课目的与分析：教学目标：1. 了解平行线的概念和两条直线的位置关系了解平行线的概念和两条直线的位置关系2. 掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质重 点：平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用 难 点：平行的性质和判定的综合应用二、授课内容：二、授课内容： 平行线的性质与判定教学过程：【知识点】【知识点】1、平行线的概念：、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 2、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5、 平行线的判定与性质平行线的判定与性质 平行线的判定平行线的判定 平行线的性质平行线的性质 1、 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 2、 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 3、 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行，同位角相等、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同旁内角互补 4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行知直线平行 6两条平行线的距离两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
第48讲、直线、平面平行的判定与性质(教师版)2025高考数学一轮复习讲义
第48讲直线、平面平行的判定与性质知识梳理知识点一：直线和平面平行1、定义直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平行，记作l ∥α2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线⇒线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行11l l ll l ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥面∥面⇒线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面⇒线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行l l l l l αβαβ⎫⎪'⊂⇒⎬⎪'=⎭∥∥知识点二：两个平面平行1、定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面α和β，若αβφ= ，则α∥β2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面⇒面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行,,a b a b Pαα⊂⊂= a b ββαβ⇒∥，∥∥线⊥面⇒面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行l l ααβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥β3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面⇒线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒线面平行”）////.a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭面//面⇒线⊥面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//l l αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭【解题方法总结】线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；必考题型全归纳题型一：平行的判定例1．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则//αβ；②设α、β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则//lα；以上说法中成立的有（）个．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①，设12,l l ⊂平面α，且12l l A ⋂=，由直线与平面平行的判定定理可知1//l β，2//l β，再由平面与平面平行的判定定理可知//αβ，则①正确；对于②，设α、β交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α、β可能垂直也可能不垂直，则②错误；对于③，由直线与平面平行的判定定理可知//l α，则③正确，故选：C ．例2．（2024·全国·高三对口高考）过直线l 外两点作与l 平行的平面，那么这样的平面（）A ．不存在B ．只有一个C ．有无数个D ．不能确定【答案】D【解析】过直线l 外两点作与l 平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．因此只有D 正确．故选：D ．例3．（2024·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C．D．【答案】DMN EF AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，【解析】对于A，由正方体的性质可得////MN平面ABC，能满足；所以直线//MN AD，MN⊄平面ABC，AD⊂对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MN平面ABC，能满足；平面ABC，所以直线//MN，MN⊄平面ABC，BD⊂对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BD平面ABC，MN平面ABC，能满足；所以直线//对于D ，作出完整的截面，如下图ABNMHC ，可得MN 在平面ABC 内，不能得出平行，不能满足．故选：D ．变式1．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①a c ∥，b c ∥，则a b ∥；②若a γ∥，b γ∥，则a b ∥；③c α∥，c β∥，则αβ∥；④若αγ∥，βγ∥，则αβ∥；⑤若c α∥，a c ∥，则a αP ；⑥若a γ∥，αγ∥，则a αP ．其中真命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，①a c ∥，b c ∥，则a b ∥，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；②a γ∥，b γ∥，则a ，b 可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；③c α∥，c β∥，则α，β可能平行，也可能相交，所以③不正确；④αγ∥，βγ∥，则αβ∥，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；⑤c α∥，a c ∥，则a αP 或a α⊂，所以⑤不正确；⑥a γ∥，αγ∥，则a αP 或a α⊂，所以⑥不正确；故选：C ．变式2．（2024·全国·高三专题练习）设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β垂直于同一个平面C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一条直线【答案】D【解析】对于A ：α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能推出，故A 错误；对于B ：α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α与β相交，故B 错误；对于C ：α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线可得α∥β，故：D 正确．故选：D【解题方法总结】排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．题型二：线面平行构造之三角形中位线法例4．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别为,PD PB 的中点，连接EF ．（1）当G 为PC 上不与点,P C 重合的一点时，证明：//EF 平面BDG ；【解析】（1）因为,E F 分别为,PD PB 的中点，所以EF BD ∥，因为EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ，所以EF //平面BDG ．例5．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12,(2)AB AA AC t t ===>，1120A AB ∠=︒,E F 分别为棱11,A B BC 的中点，G 为线段CF 的中点．（1）证明：1//A G 平面AEF ．（2）若三棱锥A GEF -的体积为1，求t ．【解析】（1）连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E 为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE 与BOA △相似，且相似比为12，∴112A O OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，所以1//OF AG ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，所以1//A G 平面AEF ．（2）由A GEF G AEFV V --=由（1）1//A G 平面AEF ，则点1A 与G 到平面AEF 的距离相等．所以11A GEF G AEF A AEF F AA E V V V V ----===，由侧面11ACC A 是矩形，则1AC AA ⊥，又AC AB ⊥，且1AA AB A = ，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以AC ⊥平面11ABB A ，F 是BC 的中点，所以F 到平面11ABB A 的距离为12AC ，又1120A AB ∠=︒，则1160B A A ∠=︒，所以11111111121sin 601223232F AA E C AA E AA E V V S AC t --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⋅=oV ，所以t =例6．（2024·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的中心为O ，PD 边上的垂线BE 交线段PO 于点F ，2PF FO =．（1）证明：EO //平面PBC ；【解析】（1）证明：如图，延长FO 至点M ，使FO OM =，连接MD ，∵底面ABCD 的中心为O ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO BD ⊥，∵BO OD =，FOB DOM ∠=∠，∴FOB DOM ≌，∴FBO MDO ∠=∠，∴FB DM ∥，∴EF DM ∥，∴PF PEFM ED=而2PF FO FM ==，∴PE ED =，∴EO PB ∥，∵PB ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，∴//EO 平面PBC ；变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，AD AB ⊥，24AB AP DC ===，2PB AD ==PD =M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：直线//MN 平面ABCD ；【解析】（1）连接BD ， M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴//MN BD ，又 MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD∴直线//MN 平面ABCD变式4．（2024·陕西汉中·高三统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且12AA AB BC AC ====，点E 是棱AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1A CE ；（2）求三棱锥11E ACC -的体积．【解析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，E 是AB 的中点，F 是1AC 的中点，∴1EF BC ∥，EF ⊂ 平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，∴1//BC 平面1A CE ；（2）过E 作EG AC ⊥于G ，1AA ⊥ 平面ABC ，EG ⊂平面ABC ，1AA EG ∴⊥，又11,AC AA A AC AA ⊂=∩，平面11AAC C ，EG ∴⊥平面11AAC C ，在等边ABC 中，E 是AB 的中点，,2EG AC AB ⊥=，2EG ∴=．所以三棱锥11E ACC -的体积为11111112233223E A CC A CC V S EG -=⋅=⨯⨯⨯⨯△．变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，1PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱PC 的中点，点F 是棱PB 上的一点，且EF PB ⊥．（1）求证：//PA 平面EDB ；（2）求点F 到平面EDB 的距离．【解析】（1）连接AC 交BD 于G ，连接EG ，如图所示．因为四边形ABCD 是正方形，所以G 是AC 的中点，又点E 是棱PC 的中点，所以EG 是PAC △的中位线，所以//PA EG ，又PA ⊄平面EDB ，EG ⊂平面EDB ，所以//PA 平面EDB ．（2）因为PD ⊥平面ABCD ，DC ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD DC ⊥，PD BC ⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，CD ，PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，又PC ，DE ⊂平面PCD ，所以PC BC ⊥，DE BC ⊥．在PDC △中，PD DC ⊥，1PD CD ==，E 是PC 的中点，所以2PE EC DE ===，DE PC ⊥，又DE BC ⊥，BC PC C ⋂=，BC ，PC ⊂平面PBC ，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE 是三棱锥D BEF -的高．在PBC 中，PC BC ⊥，PC =1BC =，所以PB 所以Rt Rt BCP EFP ，所以PC BP BC PF EP EF ==，得3PC EP PF BP ⋅==，6BC EP EF BP ⋅==，BF 111133218D BEF BEF V S DE BF EF DE -=⋅=⨯⨯⋅⋅= ．在BDE △中，BD =，22DE =，2BE =，所以222BD DE BE =+，所以DE BE ⊥，所以124BDE S DE BE =⋅= ．设点F 到平面EDB 的距离为h ，所以11318F BDE BDE D BEF V S h h V --=== ，解得h =即点F 到平面EDB 变式6．（2024·新疆昌吉·高三校考学业考试）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．（1）证明：1//BD 平面AEC ；（2）若正方体棱长为2，求三棱锥D AEC -的体积．【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE ，如图，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，则O 是BD 的中点，又E 是1DD 的中点，则OE 是1BDD 的中位线，故1//OE BD ，又OE ⊂面AEC ，1BD ⊄面AEC ，所以1//BD 平面AEC ．（2）因为正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，所以111112122332323D AEC A DEC DEC V V S AD DE CD AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ．【解题方法总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在PB 位置（与PB 平齐），如图一；（2）然后把直尺平行往平面ACE 方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE 内停止，如图二；（3）此时刚好经过点E （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点E ），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与AC 相交于点F ，连接EF ，如图三；（4）此时PB EF 、长度有长有短，连接PB EF 、并延长刚好交于一点D ，刚好构成A 型模型（E 为PD 中点，则F 也为BD 中点，若E 为等分点，则F 也为BD 对应等分点），PB EF ∥，如图四．图一图二图三图四题型三：线面平行构造之平行四边形法例7．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，6AB =，5DP AP ==，60BAD ∠=︒．（1）求证：//EF 平面PAD ；【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG ，因为,F G 分别是,PC PD 的中点，所以1,2FG CD FG CD =∥，又因为底面ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，所以1,2AE CD AE CD =∥，所以,FG AE FG AE =∥，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF AG ∥，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱台ABCD EFGH -的底面是菱形，且π3BAD ∠=，DH ⊥平面ABCD ，2EH =，3DH =，4=AD ．（1）求证：//AE 平面BDG ；（2）求三棱锥F BDG -的体积．【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接,EG GO ，几何体ABCD EFGH -为四棱台，,,,A C G E ∴四点共面，且EG ⊂平面EFGH ，AC ⊂平面ABCD ，平面//EFGH 平面ABCD ，//EG AC ∴；四边形EFGH 和ABCD 均为菱形，π3BAD ∠=，2EH =，4=AD ，12EG AC AO ∴===∴四边形AOGE 为平行四边形，//AE GO ∴，又GO ⊂平面BDG ，AE ⊄平面BDG ，//AE ∴平面BDG ．（2）连接GE 交FH 于K ，DH ⊥Q 平面ABCD ，平面//ABCD 平面EFGH ，DH ∴⊥平面EFGH ，又GE Ì平面EFGH ，GE DH ∴⊥，GE FH ⊥ ，DH FH H ⋂=，,DH FH ⊂平面BDHF ，GE ∴⊥平面BDHF ；四边形EFGH 为菱形，π3FEH BAD ∠=∠=，2EF =，GK ∴=11143332F BDG G BDF BDF V V S GK --∴==⋅=⨯⨯⨯=例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1,,D D F 分别是BC ，11B C ，11A B 的中点，4BC BE =，ABC 的边长为2．（1）求证：：//EF 平面11ADD A ；【解析】（1）证明：取11A D 的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得11//FG B D ，且1112FG B D =，12DE BD =，由三棱柱得性质知11//BD B D ，所以//FG BD ，则四边形DGEF 是平行四边形，所以//EF DG ，因为EF ⊄面11ADD A ，DG ⊂面11ADD A ，所以//EF 面11ADD A ．变式7．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ==2BC =，1AA D 、E 分别为棱BC 、11A B 的中点，12A P PB = ，12C Q QE = ．（1）求证：//PQ 平面1C AD ；【解析】（1）证明：取11B C 中点F ，连接1A F 、FB ．因为E 是11A B 的中点，且12C Q QE = ，故Q 为111A B C △的重心，所以1A 、Q 、F 共线，且12AQ QF=，又12A P PB = ，故11AQ A P QF PB =，所以//PQ BF ，因为11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，故11//BC B C 且11BC B C =，因为D 、F 分别为BC 、11B C 的中点，所以，1//C F BD 且1C F BD =，则四边形1FC DB 为平行四边形，所以1//BF DC ，所以1//PQ DC ，又PQ ⊄平面1C AD ，1DC ⊂平面1C AD ，所以//PQ 面1C AD ．变式8．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点．（1）求证：BC AD ∥；（2）求证：CE 平面PAB ；（3）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN 平面PAB ？说明理由．【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以BC AD ∥；（2）如下图，取F 为AP 中点，连接,EF BF ，由E 是PD 的中点，所以EF AD ∥且12EF AD =，由（1）知BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥且EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形，故CE BF ∥，而CE ⊂平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，则CE 平面PAB ．（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，因为E ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以EN PA ∥，因为EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB ，线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ，理由如下：由（2）知：CE 平面PAB ，又CE EN E = ，CE ⊂平面CEN ，EN ⊂平面CEN ，所以平面CEN 平面PAB ，又M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，所以MN 平面PAB ，所以线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ．【解题方法总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在EF 位置，如图一；（2）然后把直尺平行往平面PAB 方向移动，直到直尺第一次落在平面PAB 内停止，如图二；（3）此时刚好经过点B （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点B ），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与PA 相交于点O ，连接BO ，如图三；（4）此时PB EF 、长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A 型的平行），连接OE ，刚好构成平行四边形BFEO 型模型（E 为PD 中点，O 也为PA 中点，OE 为三角形PAD 中位线），OB EF ∥，如图四．图一图二图三图四题型四：线面平行转化为面面平行例10．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点．（1）求证：//PE 平面BFG ；（2）若2AB =，求点C 到平面BFG 的距离．【解析】（1）连接DE ，∵ABCD 是正方形，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，∴DF BE =，//DF BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴//DE BF ，∵G 是PA 的中点，∴//FG PD ，∵,PD DE ⊄平面BFG ，,FG BF ⊂平面BFG ，∴//PD 平面BFG ，//DE 平面BFG ，∵PD DE D =I ，直线,PD DE 在平面PDE 内，∴平面//PDE 平面BFG ，∵PE ⊂平面PDE ，∴//PE 平面BFG ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，//FG PD ，∴FG ⊥平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作CM BF ⊥，垂足为M ，则FG CM ⊥，∵FG BF F =I ，又直线FG ，BF 在平面BFG 内，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 的长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF △中，FB CF =∴由等面积可得CM ==∴点C 到平面BFG例11．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDMP 中，四边形ABCD 是菱形，且有60DAB ∠=︒，1AB DM ==，2PB =，PB ⊥平面ABCD ，PB DM ∥．（1）求证：//AM 平面PBC ；【解析】（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD BC ∥，又AD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，因为PB DM ∥，PB ⊂平面PBC ，DM ⊄平面PBC ，所以//DM 平面PBC ，又因为AD MD D =I ，,AD MD ⊂平面ADM ，所以平面//ADM 平面PBC ，又AM ⊂平面AMD ，所以//AM 平面PBC ．例12．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是矩形，侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠= ，D 、E 分别为棱AB 、11B C 的中点，F 为线段1C E 的中点．（1）证明：//AF 平面1A DE ；【解析】（1）证明：取11AC 的中点M ，连接AM 、EM 、FM ，因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//AB A B 且11AB A B =，因为D 为AB 的中点，则11//AD A B 且1112AD A B =，因为M 、E 分别为11AC 、11B C 的中点，所以，11//EM A B 且1112EM A B =，所以，//AD EM 且AD EM =，故四边形ADEM 为平行四边形，所以，//AM DE ，因为AM ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以，//AM 平面1A DE ，因为M 、F 分别为11AC 、1C E 的中点，所以，1//FM A E ，因为FM ⊄平面1A DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以，//FM 平面1A DE ，因为⋂=AM FM M ，AM 、FM ⊂平面AFM ，所以，平面//AFM 平面1A DE ，因为AF ⊂平面AFM ，故//AF 平面1A DE ．变式9．（2024·上海·模拟预测）直四棱柱1111ABCD A B C D -，AB DC ，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝3，DC ＝4（1）求证：11//A B DCC D 面；【解析】（1）由题意得11//A A D D ，//AB CD ，1,A A AB ⊄平面1D CD ，1,D D CD ⊂平面1D CD ，∴1//A A 平面1D CD ，//AB 平面1D CD而1A A AB A = ，∴平面1//A AB 平面1D CD ，又1A B ⊂ 平面1,A AB 1//A B ∴平面1DCC D变式10．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --的大小为45 ，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DC =．（1）求证：//BF 平面ADE ；【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以，//BC AD ，因为BC ⊂平面BCF ，AD ⊄平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，因为//DE CF ，CF ⊂平面BCF ，DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，因为AD DE D ⋂=，AD 、DE ⊂平面ADE ，则平面//BCF 平面ADE ，因为BF ⊂平面BCF ，所以，//BF 平面ADE ．变式11．（2024·全国·高三对口高考）已知正方形ABCD 和正方形ABEF ，如图所示，N 、M 分别是对角线AE 、BD 上的点，且EN BM AN MD=．求证：//MN 平面EBC ．【解析】证明：过点N 作//NF BE 交AB 于点F ，连接FM ，因为//NF BE ，则EN BF AN AF =，又因为EN BM AN MD =，则BF BM AF DM=，所以，//FM AD ，因为四边形ABCD 为矩形，则//BC AD ，所以，//FM BC ，因为//NF BE ，NF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以，//NF 平面BCE ，因为//FM BC ，FM ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以，//FM 平面BCE ，因为NF FM F = ，NF 、FM ⊂平面MNF ，所以，平面//MNF 平面BCE ，因为MN ⊂平面MNF ，所以，//MN 平面MNF ．【解题方法总结】本法原理：已知平面α∥平面β，则平面β里的任意直线均与平面α平行题型五：利用线面平行的性质证明线线平行例13．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P ABCD -，底面为菱形,ABCD PD ⊥平面ABCD ，2,,3PD AD CD BAD E π===∠=为PC 上一点．（1）平面PAD ⋂平面PBC l =，证明：BC l ∥；【解析】（1）证明：因为,BC AD BC ⊄∥平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，又因为平面PAD ⋂平面PBC l =，所以BC l ∥．例14．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD CD ===，π3BAD ∠=，E 为PC 上一点．（1）平面PAD ⋂平面PBC l =，证明：//BC l ．（2）当直线BE 与平面BCD 的夹角为π6时，求三棱锥P BDE -的体积．【解析】（1）因为//,BC AD BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以BC //平面PAD ，BC ⊂平面PBC ，又因为平面PAD ⋂平面PBC l =，所以//BC l ．（2）过点E 作CD 的垂线，垂足为M ，则//PD EM ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以EM ⊥平面BCD ，若点E 为PC 中点，则点M 为CD 的中点，此时11,,2EM PD BM CD BM ==⊥=，所以直线BE 与平面BCD 的夹角为π6EBM ∠=，即点E 为PC 中点时满足题意，因为PD ⊥平面ABCD ，所以BM ⊂平面ABCD ，所以PD BM ⊥，又因为BM CD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BM ⊥平面PCD ，所以点B 到平面PCD 的距离为BM =故11.33P BDE B PDE V V --==⨯例15．（2024·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，E 为BC 上一点，22AE BE AD CD ====，CE AECD 沿AE 折起，使得BC =，得到如图2所示的四棱锥．（1）若平面BCD 平面ABE l =，证明：//CD l ；【解析】（1）在图1中，因为BC CD ⊥，CE 1CD =，所以2DE =，sin 2CDE ∠=，又π0,2CDE ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3∠=CDE ，因为2DE =，2AE AD ==，所以π3DEA ∠=，故//CD AE ，在图2中，因为//CD AE ，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ，因为CD ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABE l =，所以//CD l ；变式12．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 、E 分别为棱11AC 、11B C 的中点，点F 是线段1BB 上的点（不包括两个端点）．（1）设平面DEF 与平面ABC 相交于直线m ，求证：11A B m //；【解析】（1）证明：因为点D 、E 分别为棱11AC 、11B C 的中点，则11//DE A B ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//A B AB ，则//DE AB ，因为DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以，//DE 平面ABC ，因为DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面ABC m =，所以，//m DE ，故11//m A B ．变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P ABCD -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为点,,,G E F H 分别是棱,,,PB AB CD PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，//BC 平面GEFH ．证明：//GH EF ．【解析】因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ⋂平面GEFH GH =，所以GH ∥BC ，因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ⋂平面GEFH EF =，所以EF ∥BC ，所以GH ∥EF ．变式14．（2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，三棱台ABC DEF -中，2AB DE =，M 是EF 的中点，点N 在线段AB 上，4AB AN =，平面DMN ⋂平面ADFC l =．（1）证明：MN l ∥；【解析】（1）证明：取FD 的中点G ，连接GM ，AG ，因为M 是EF 的中点，所以GM DE ∥，12GM DE =，因为三棱台ABC DEF -中，DE AB ∥，12DE AB =，4AB AN =，所以GM AN ∥，GM AN =，即四边形ANMG 为平行四边形，所以MN GA ∥，因为MN ⊂平面ADFC ，GA ⊂平面ADFC ，所以//MN 平面ADFC ，因为MN ⊂平面DMN ，平面DMN ⋂平面ADFC l =，所以MN l ∥．【解题方法总结】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行题型六：面面平行的证明例16．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（1）证明：平面BMN∥平面PCD；【解析】（1）证明：连接BD，如图∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵M为AD的中点，∴BM⊥AD，∵AD⊥CD，又CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD，又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD，∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD，又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．例17．（2024·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2AB =，DE BF =，//BF DE ，M 为棱AE 的中点．（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；【解析】（1）连AC 交BD 于N ，则N 为AC 的中点，因为M 为AE 的中点，所以//MN CE ，因为MN ⊄平面EFC ，CE ⊂平面EFC ，所以//MN 平面EFC ，因为//BF DE ，BF DE =，所以四边形BDEF 是平行四边形，所以//BD EF ，因为BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，所以//BD 平面EFC ，因为BD MN N = ，,BD MN ⊂平面BMD ，所以平面//BMD 平面EFC ．32．（2024·河北·统考模拟预测）在圆柱12O O 中，等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，且1AD DC BC ===，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，1CG =．（1）求证：平面1O CG ∥平面ADE ；【解析】（1）在圆柱12O O 中，AE CG ∥，AE ⊄平面1O CG ，CG ⊂平面1O CG ，故AE ∥平面1O CG ；连接1DO ，因为等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，1AD DC BC ===，故111π3AO D CO D BO C ∠=∠=∠=，则1AO D 为正三角形，故11π3O AD CO B ∠=∠=，则1AD O C ∥，AD ⊄平面1O CG ，1O C ⊂平面1O CG ，故AD ∥平面1O CG ；又,,AE AD A AE AD ⋂=⊂平面ADE ，故平面ADE ∥平面1O CG ．例18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，OP =E ，F 分别是棱PA ，PB 的中点，连接OE ，OF ，EF ．（1）求证：平面//OEF 平面PCD ；（2）求三棱锥O PEF -的体积．【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O所以O 为AC 中点，点E 是棱PA 的中点，F 分别是棱PB 的中点，所以OE 为三角形ACP 的中位线，OF 为三角形BDP 的中位线，所以//OE PC ，//OF DP ，OE ⊄ 平面DCP ，PC ⊂平面DCP ，//OE ∴平面DCP ，OF ⊄Q 平面DCP ，DP ⊂平面DCP ，//OF ∴平面DCP ，而OE OF O ⋂=，OE ⊂平面OEF ，OF ⊂平面OEF ，∴平面//OEF 平面PCD ．（2）因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，所以BAD 为等边三角形，所以1,OB OA ==因为OP ⊥底面ABCD ，OA ⊂底面ABCD ，OB ⊂底面ABCD ，所以OP OA ⊥，OP OB ⊥，所以POA 和POB 均为直角三角形，所以PA =，2PB ==，所以22222cosPAB +-∠==所以sin 4PAB ∠=，所以1222PAB S PAB =⨯∠ ，设点O 到平面PEF 的距离为h ，根据体积相等法可知O PAB P OAB V V --=，所以1111332h =⨯⨯，所以5h =．111111334348O PEF PEF PAB V S h S -⎛⎫=⋅⋅=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故三棱锥O PEF -的体积为18．变式15．（2024·四川南充·统考三模）如图所示，已知,AC BD 是圆锥SO 底面的两条直径，M 为劣弧 BC的中点．（1）证明：SM AD ⊥；（2）若2π3BOC ∠=，E 为线段SM 上的一点，且2SE EM =，求证：平面BCE 平面SAD ．【解析】（1）连接MO 并延长交AD 于N ，如图所示，M 为劣弧 BC的中点，MO ∴是BOC ∠的角平分线，MN ∴平分AOD ∠，OA OD = ，MN AD ∴⊥，又 在圆锥SO 中，SO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，SO AD ∴⊥，MN ，SO ⊂平面SMN ，且MN SO O ⋂=，AD ∴⊥平面SMN ，又SM ⊂ 平面SMN ，AD SM ∴⊥．（2）设MO 交BC 于F ，显然OF 平分BOC ∠，且OF BC ⊥，又2π3BOC ∠=，π3COF ∠∴=，∴在COF 中，12OF CO =，F ∴为OM 的中点，同理12ON OD =，2NF FM ∴=，又2SE EM = ，12ME MF SE NF ∴==，EF SN ∴∥，SN ⊂ 平面SAD ，且EF ⊄平面SAD ，EF ∴ 平面SAD ，又 在平面ABCD 中，,BC MN AD MN ⊥⊥，BC AD ∴∥，又AD ⊂平面SAD ，且BC ⊄平面SAD ，BC ∴ 平面SAD ，又EF ，BC ⊂平面BCE ，且EF BC F ⋂=，∴平面BCE 平面SAD ．【解题方法总结】常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．题型七：面面平行的性质例19．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，平面1A DCE 与1BB 交于点E ．求证：1//EC A D ．【解析】由四棱柱1111ABCD A B C D -可知，1//BE AA ，1AA ⊂平面1AA D ，BE ⊄平面1AA D ，所以//BE 平面1AA D ；又//AD BC ，AD ⊂平面1AA D ，BC ⊄平面1AA D ，所以//BC 平面1AA D ；又BC BE B = ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ；所以平面//BCE 平面1AA D ，又平面1A DCE ⋂平面BCE EC =，平面1A DCE ⋂平面11AA D A D =，所以1//EC A D ．例20．（2024·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -被平面α所截，截面为CDEF ，且EF DC =，1242DC AD A E ===，π3ADC ∠=，平面EFCD与平面ABCD ．（1）证明：//AD BC ；【解析】（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面//ABCD CD α= ，平面1111A B C D EF α⋂=，则//EF CD ，而1111//,C D CD C D CD =，又EF CD =，因此1111//,C D EF C D EF =，则四边形11EFC D 是平行四边形，1111//A D B C ，所以//AD BC ．例21．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形．AB BC =，点D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面B 1BD 与棱A 1C 1交于点E ．（1）求证：1BB DE //；【解析】（1）11//BB CC ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1CC ⊂平面11AAC C ，1//BB ∴平面11AAC C ，又1BB ⊂ 平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，1//BB DE ∴；变式16．（2024·北京·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，平面//ABF 平面CDE ，A ，D ，E ，F 四点共面，2AB DE ==，1AF =．（1）求证：//AF DE ；【解析】（1）因为平面//ABF 平面CDE ，A ，D ，E ，F 四点共面，且平面ABF 平面ADEF AF =，平面CDE ⋂平面ADEF DE =，所以//AF DE ．变式17．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中，AB ，CD 分别是下底面圆O ，上底面圆1O 的直径，AD ，BC 是圆柱的母线，E 为圆O 上一点，P 为DE 上一点，且OP ∥平面BCE ．（1）求证：DP PE =；【解析】（1）如图，连接1O P ，1O O ，因为BC 为母线，所以1OO BC ∥，又BC ⊂平面BCE ，所以1OO ∥平面BCE ．因为OP ∥平面BCE ，所以平面1OPO 平面BCE ．又因为平面DCE 平面11OPO O P =，平面DCE 平面BCE CE =，所以1O P CE ，因为1O 是CD 的中点，所以P 是DE 的中点，即DP PE =．【解题方法总结】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒线面平行”）题型八：平行关系的综合应用例22．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．【解析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==，又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==，所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB 的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA．证明：因为35AR AB =，即有23BR RA =，故BR BP RA PD=．所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．例23．（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 垂直于底面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，1=3AA ，点D 在线段1A B 上且12A D DB =，点E 是线段11B C 上的动点．当11B E EC 为多少时，直线//DE 平面11ACC A？【解析】当点E 是线段11B C 上靠近点1B 的三等分点，即1112B E EC =时，//DE 平面11ACC A ．过点D 作1//DF A A 交11AB 于点F ，过点F 作11//EF AC 交11B C 于点E ，连接DE，11//,EF AC EF ⊄ 平面11ACC A ，11AC ⊂平面11ACC A，//EF ∴平面11ACC A ，1//FD A A ，FD ⊄面11ACC A ，1A A ⊂平面11ACC A ，。
平行线证明题专讲二-含答案
平行线专题二一．解答题（共19小题）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，F为AB边上一点，且∠ADF＝∠CDB，射线DF、CB相交于点E，∠BFE＝∠CBD，求证：AB∥CD．2．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°（1）求证：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度数．（用α表示）．3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．4．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．5．如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝．②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论（提示：作EF∥AB）．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E 是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．6．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n的度数？7．思考：填空，并探究规律如图1，图2，OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，则图1中∠CED＝°；图2中∠CED＝°；用一句话概括你发现的规律证明：请利用图1，图2证明你发现的规律；应用：已知∠AOB＝80°，∠CED＝x°，OA∥CE，OB∥ED，则x的值为（直接写出答案）．8．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°，（1）问AD与EC平行吗？试说明理由；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1＝70°，试求∠F AB的度数．9．如图，在四边形ABCD中，分别取AB，CD延长线上的一点E和F，连接EF，分别交BC，AD于点G和H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．10．如图，在三角形ABC中，点D、G分别为边BC、AB上的点，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接FG，且∠BFG+∠BDE＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）猜想∠AGF与∠ABC的数量关系，并证明你的猜想．11．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．12．完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．13．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由；（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么．14．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．15．如图1，已知l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE 分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠1＝70°，∠2＝30°．（1）求∠AEC的度数；（2）如图2，将线段AD沿线段CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．16．如图，∠C＝∠1，∠2与∠D互余，BE⊥DF，垂足为G．求证：AB∥CD．17．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，AE与DF平行吗？为什么？18．如图，已知：∠C＝∠DAE，∠B＝∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．19．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，BF与CF相交于F （1）如图①，若∠F＝30°，求∠E的度数；（2）如图②，若设∠F＝α，∠E＝β，请你猜想α与β之间的关系（直接写出结果不用说明理由）；（3）在图③中，（2）中α与β之间的关系是否仍然成立？若成立说明理由，若不成立写出它们之间的关系，并说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，F为AB边上一点，且∠ADF＝∠CDB，射线DF、CB相交于点E，∠BFE＝∠CBD，求证：AB∥CD．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠E，∵∠ADF＝∠CDB，∴∠E＝∠CDB，∵在△CBD中，∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，在△EFB中，∠E+∠EBF+∠EFB＝180°，∵∠CBD＝∠EFB，∴∠EBF＝∠C，∴AB∥CD．2．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°（1）求证：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度数．（用α表示）．【解答】解：（1）∵∠3+∠DFE＝180°，∠1+∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2+∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°﹣α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝∠BDE＝（180°﹣α）∴∠3＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．【解答】证明：（1）∠D═∠C+∠E（图）∠D═∠C+∠DEC（图2）过点E作MN∥AC，∴∠C═∠CEN．又∵AC∥BD，∴MN∥BD，∴∠D═∠DEN又∵∠DEN═∠DEC+∠CEN，．∴∠D═∠C+∠DEC（2）如图所示，AP与CD，CD与BM分别相交于点E、F两点，∵BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP，∴∠MBD＝∠MBA＝∠ABD，∠MCP＝∠MCD═∠PCE．又∵AB∥CD，∴∠D+∠DBA＝180°．又∵AP∥BD，∴∠AED+∠D＝180°，∵∠DBA＝∠AED，又∵∠AED＝∠PEC∴∠CEP＝∠DBA∴∠MBA═∠CEP．又∵∠ABF＝∠BFD，∠BFD＝∠CFM，∴∠ABF＝∠CFM＝∠ABD＝∠CEP．又∵△CEP中，∠P＝100°∴∠PCE+∠PEC＝180°﹣100°＝80°，∴∠CEP+∠PCE＝（∠PCE+∠PEC）＝×80°＝40°，∴∠MCF+∠MFC＝40°，∴∠M＝180°﹣（∠MCF+∠MFC）＝180°﹣40°＝140°．4．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE＝30°，∴∠COF＝90°+30°＝120°，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠COF＝60°，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；②CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，∴∠POE＝∠BOP；（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∵PO平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，∴∠POE＝∠BOP；②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，∴∠POE+∠DOP＝270°．5．如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝70°．②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝65°．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论（提示：作EF∥AB）．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E 是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．【解答】解：（1）①如图1，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A＝20°，∠C＝50°，∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；故答案为：70°；②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；故答案为：65°；③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．理由：如图1，过点E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（两直线平行，内错角相等），∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代换）．（2）当点E位于区域Ⅰ时，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，理由：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB+∠END＝∠MEN，理由：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．6．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n的度数？【解答】解：（1）如图①，过E1作E1F∥AB，则E1F∥CD，∴∠B+∠1＝180°①，∠D+∠1＝180°②，①+②得∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠D+∠E1＝360°；（2）如图②，分别过E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D＝540°＝3×180°；（3）如图③，分别过E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，∴∠B+∠BE1E2＝180°，∠E2E1F1+∠E1E2F2＝180°，∠E3E2F2+∠E2E3F3＝180°，∠DE3F3+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）•180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n＝（n+1）•180°．7．思考：填空，并探究规律如图1，图2，OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，则图1中∠CED＝30°；图2中∠CED＝150°；用一句话概括你发现的规律两直线平行，同位角相等证明：请利用图1，图2证明你发现的规律；应用：已知∠AOB＝80°，∠CED＝x°，OA∥CE，OB∥ED，则x的值为80或100（直接写出答案）．【解答】解：思考：∵OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°∴图1中∠CED＝30°∴图2中∠CED＝150°故可得到：两直线平行，同位角相等应用：∵∠AOB＝80°，OA∥CE，OB∥ED，设∠CED＝x°，∴x的值为80或100．故答案为：30，150，两直线平行，同位角相等，80或100．8．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°，（1）问AD与EC平行吗？试说明理由；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1＝70°，试求∠F AB的度数．【解答】解：（1）AD∥EC．理由如下：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥EC；（2）∵DA平分∠BDC∴∠ADC＝∠BDC＝∠1＝×70°＝35°，∴∠2＝∠ADC＝35°，又∵CE⊥AE，AD∥EC，∴∠F AD＝∠AEC＝90°，∴∠F AB＝∠F AD﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．9．如图，在四边形ABCD中，分别取AB，CD延长线上的一点E和F，连接EF，分别交BC，AD于点G和H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．【解答】证明：∵∠1＝∠AHE，∠1＝∠2∴∠AHE＝∠2∴AD∥BC∴∠ADF＝∠C∵∠A＝∠C∴∠A＝∠ADF∴AB∥CD∴∠E＝∠F10．如图，在三角形ABC中，点D、G分别为边BC、AB上的点，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接FG，且∠BFG+∠BDE＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）猜想∠AGF与∠ABC的数量关系，并证明你的猜想．【解答】证明：（1）∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠CED＝∠EFB＝90°，∴DE∥BF；（2）∠AGF＝∠ABC，理由如下：∵DE∥BF，∴∠BDE+∠DBF＝180°，∵∠BFG+∠BDE＝180°．∴∠BFG＝∠DBF，∴FG∥BC，∴∠AGF＝∠ABC11．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．【解答】解：（1）如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAG＝∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BDG+∠PBG＝90°，∴∠MAG+∠PBG＝90°；（2）2∠AHB﹣∠CBG＝90°或2∠AHB+∠CBG＝90°，证明：①如图，当点C在AG上时，∵MN∥PQ，∴∠MAC＝∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB＝∠BDC+∠DBC＝∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC＝2∠MAH，∠DBC＝2∠DBH，∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH），同理可得，∠AHB＝∠MAH+∠DBH，∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH）＝2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB＝∠CBG+90°，∴2∠AHB＝∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG＝90°；②如图，当点C在DG上时，同理可得，∠ACB＝2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB＝90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝90°；（3）（2）中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG＝270°；2∠AHB﹣∠CBG＝270°．①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣∠PBC＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB＝∠MAH+∠PBH，∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB＝90°+∠CBG，∴360°﹣2∠AHB＝90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝270°；②如图，当C在DG上时，同理可得，∠ACB＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB＝∠MAH+∠PBH，∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴360°﹣2∠AHB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB﹣∠CBG＝270°．12．完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分线的定义）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分线的定义）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．13．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由；（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么．【解答】解：（1）平行．理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义），∴∠1＝∠CDB，∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）；（2）平行．理由如下：∵AE∥CF，∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），又∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠CBE，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；（3）平分．理由如下：∵DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠ADB，∵AE∥CF，AD∥BC，∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，∴∠EBC＝∠CBD，∴BC平分∠DBE．14．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．15．如图1，已知l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE 分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠1＝70°，∠2＝30°．（1）求∠AEC的度数；（2）如图2，将线段AD沿线段CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD＝∠α，∵∠1＝70°，∴∠BCD＝70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD＝×70°＝35°，∵EF∥l2，∴∠FEC＝∠ECD＝35°，∵l1∥l2，∴∠BAD+∠2＝180°，∵∠2＝30°，∴∠BAD＝150°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝×150°＝75°，∵EF∥l1，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝105°，∴∠AEC＝105°+35°＝140°；（2）如图2，过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD＝∠1，∵∠1＝70°，∴∠BCD＝70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD＝×70°＝35°，∵EF∥l2，∴∠FEC＝∠ECD＝35°，同理可求∠AEF＝15°，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝50°．16．如图，∠C＝∠1，∠2与∠D互余，BE⊥DF，垂足为G．求证：AB∥CD．【解答】证明：∵∠C＝∠1，∴CF∥BE，∴∠3＝∠EGD，∵BE⊥DF，∴∠EGD＝90°，∴∠3＝90°，∴∠C+∠D＝90°，∵∠2+∠D＝90°，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD．17．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，AE与DF平行吗？为什么？【解答】解：AE∥DF，理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠BAD﹣∠1＝∠ADC﹣∠2，即∠EAD＝∠ADF（等式的性质），∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）．18．如图，已知：∠C＝∠DAE，∠B＝∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．【解答】解：AB∥DF（2分）理由：∵∠C＝∠DAE，（已知）∴AD∥BC，（内错角相等，两直线平行）（2分）∴∠D＝∠DFC，（两直线平行，内错角相等）∴∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝∠DFC，（2分）∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．（2分）19．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，BF与CF相交于F （1）如图①，若∠F＝30°，求∠E的度数；（2）如图②，若设∠F＝α，∠E＝β，请你猜想α与β之间的关系（直接写出结果不用说明理由）；（3）在图③中，（2）中α与β之间的关系是否仍然成立？若成立说明理由，若不成立写出它们之间的关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图①过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB．∵AB∥DC，∴FM∥CD，EN∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∠ABE＝∠5，∠DCE＝∠6∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠3+∠4＝∠1+∠2＝（∠5+∠6），即∠BFC＝∠BEC．∵∠BFC＝30°，∴∠BEC＝60°；（2）β＝2α．理由：如图②，过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB．同（1）可得∠BFC＝∠BEC，∵∠BFC＝α，∴∠BEC＝2∠BFC＝2α，即β＝2α；（3）不成立．如图③，过点F作FM∥AB，∵AB∥DC，∴FM∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，∴∠EBF＝∠1＝∠3，∠ECF＝∠2＝∠4，∴∠EBF+∠ECF＝∠1+∠2＝α，∵α+β+（∠EBF+∠ECF）＝360°，∴α+β+α＝360°，即2α+β＝360°．。
北师大版八年级数学上册-第七章平行线的证明(同步+复习)精品讲义课件
【例题】∠AOB是直角,∠BOC是一任意 角,OE平分∠AOC,OD平分∠BOC,则 ∠DOE的度数是一个常数,这个结论正确吗? 为什么? A
E O D 设∠BOC=α,证明∠DOE的大小与α无关即可. C B
【练习】
1 1 2 a1 1 2 3 2 3 1 1 3 a2 2 3 4 3 8 1 1 4 a3 3 4 5 4 15 依上述规律，a99 ? an呢？你能验证你的结论吗？
① ② 三角形一个外角等于不相邻两内角的和。 三角形一个外角大于任何一个不相邻的内角。
【例2】△ABC中，∠ABC的平分线与 △ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D， 且∠D=30°，求∠A的度数。
A D
B
每个定理的文字、符号、图形语言。 用来证明两直线平行。 补充：两直线都和第三条直线平行，这 两条直线平行。 定理1、2的证明。
【例题】
【练习1】
【练习2】
第四单元：平行线的性质
平行线的性质
性质与判定的区别—— 性质
公理：两直线平行，同位角相等。 定理1：两直线平行，内错角相等。 定理2：两直线平行，同旁内角互补。
第二单元：定义与命题
一．定义与命题
1. 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给出它们的定义。叫做 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。 命题的条件和结论：一般地，每个命题都由 条件和结论两部分组成。条件是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项。 命题可以写成“如果---那么---”的形式，其 中如果引出的部分是条件，那么引出的部分 是结论。 命题有正确的也有错误的。命题改写要熟练。
【练习】△ABC中，∠A=50°，高BE和CF 所在的直线相交于O点，求∠BOC的度数。
初二数学平行线的证明讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理知识点一:命题、公理、证明1、定义：证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.2、命题：判断一件事情的句子，叫做命题.3、条件和结论：一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.(1)正确的命题称为真命题；(2)不正确的命题称为假命题；(3)要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.5、公理、证明、定理(1)公认的真命题称为公理；(2)演绎推理的过程称为证明；(3)经过证明的真命题称为定理.6、几个常用的定理（1）同角（等角）的补角相等；（2）同角（等角）的余角相等；（3）三角形的任意两边之和大于第三边；（4）对顶角相等.知识点二：平行线的判定与性质1、平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行定理2：内错角相等，两直线平行.定理3：同旁内角互补，两直线平行.定理4：平行于同一条直线的两条直线平行.2、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等.性质2：两直线平行，内错角相等.性质3：两直线平行，同旁内角互补.知识点三：三角形内角和与外角和定理1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.2、外角：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.3、定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4、三角形外角和定理：三角形外角和是360°5、多边形及其内角和（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）n边形的内角和公式：180（n－2）；任何n（大于3）边形的外角和等于360。
直线、平面平行的判定及性质及详细答案
直线、平面平行的判定及性质1．直线和平面平行的判定定理2．直线和平面平行的性质定理3．两个平面平行的判定定理4．两个平面平行的性质定理5．与垂直相关的平行的判定定理例1如图所示，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.例2.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC上一点，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.例4如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.练习题：1．(课本习题改编)给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．2．(2014·合肥一检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．(2013·浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析A项中，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D 项中，m也可能平行于β.故选C项．4．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是()A ．α⊥β且m ⊥βB ．α∩β＝n 且m ∥nC ．m ∥n 且n ∥αD ．α∥β且m ⊂β答案 D解析 若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.5．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为( )A ．10B ．20C ．8D ．4答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .7．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③8. 棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF.在△PCD中，EF綊12CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝12CD且CD＝2AB.∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面P AD，AF⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.9. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案22 3a解析 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .10．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.11．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .12．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB1A 1平行，故符合题意的直线共6条．13. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.14. 如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A∥平面EFG；(2)求三棱锥P—EFG的体积．答案(1)略(2)1 6解析(1)如图所示，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵G，H分别是BC，AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴P A∥FH.∵P A⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴P A∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD，∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12. 又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.15．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF .又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2.∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.16. 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?答案当M为AC中点时，BM∥平面AEF.解析方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC 于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ. ∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．17. (2013·福建)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D －PBC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)8 3解析 方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD .从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2) 取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD .∴四边形MNCD 为平行四边形．∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2) 取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE∥平面PBC.又在△P AB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)同方法一．。
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明
,
∴AD∥BE(
).
,即∠
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=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
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6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
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解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
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3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
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解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .
第二节 平行线的性质和判定(含答案)...七年级数学 学而思
第二节 平行线的性质和判定1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a∥b； 注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，注：点必须在直线外，而不能在直线上； (3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即“平行于同一条直线的两直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行，注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行． 3．两直线平行的判定方法 (1)平行线的定义； (2)平行公理的推论；(3)同位角相等，两直线平行； (4)内错角相等，两直线平行； (5)同旁内角互补，两直线平行． 4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．1.平行的判定和证明：证明平行一般从寻找相等的同位角，内错角或互补的同旁内角 出发，而这些角关系的获得条件一般有： ①已知平行条件； ②三角形内角和； ③角平分线； ④垂直；⑤互余互补关系．例1．如图5-2-1所示，如果,//,//CD EF EF AB 请写出一个关于3,2,1∠∠∠的等量关系125-- 225-- 325--检测1．如图5-2-2所示，已知a ‖b,0701=∠,,402ο=∠则=∠3 例2．如图5-2-3所示，已知,9021ο=∠+∠,,//AG CD FC DE ⊥求证：.//FH AG检测2．如图5-2-4所示，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件能使b a //的是;61∠=∠①;62∠=∠②;31∠=∠③;75∠=∠④+∠2⑤;1807ο=∠.71∠=∠⑥例3．（江西兴国县期末）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m 外一点P 画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．525--观察图5-2-5所示，经两次折叠展开后折痕CD 所在的直线即为过点P 的已知直线m 的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A.①② B．②③ C ．③④ D ．①④425--检测3．如图5-2-6所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置，若,60ο=∠EFB 则=∠AED例4．已知，,100,//ο=∠=∠A B OA BC 试回答下列问题：725-- 825-- 925--(1)如图5-2-7所示，求证：;//AC OB(2)如图5-2-8所示，若点E ，F 在线段BC 上，且满足，AOC FOC ∠=∠并且OE 平分.BOF ∠则EOC ∠的度数等于 （在横线上填上答案即可）；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC ，如图5-2-9，那么OFB OCB ∠∠:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； (4)在(3)的条件下，如果平行移动AC 的过程中，若使,OCA OEB ∠=∠此时OCA ∠度数等于 （在横线上填上答案即可）．检测4．（广东澄海区期末）如图5 -2 -10所示，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补．(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由； (2)如图5-2 -11所示，BEF ∠与FFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ．点H 是MN 上一点，且GHlEG ，求证：;//GH PF(3)如图5-2 -12所示，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使=∠PHK ,HPK ∠作PQ 平分EPK ∠问HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由，625---122-5-5--1110225-第二节平行线的性质和判定（建议用时 35分钟）实战演练1．（浙江绍兴期末）如图5-2-1所示，,//,////DB EG DC EF AB 则图中与1∠相等的角(1∠除外）共有( )6.A 个 5.B 个 4.C 个 3.D 个2．（浙江金华中考）以下四种沿AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线以，6互相平行的是( )125-- 225-- 325-- 425-- 525--A ．如图5-2-2所示，展开后测得21∠=∠B ．如图5-2-3所示，展开后测得4321∠=∠∠=∠且C ．如图5-2-4所示，测得21∠=∠D ．如图5-2-5所示，展开后再沿CD 折叠，两条折痕的交点为0，测得,OB OA =OD =OC3．如图5-2-6所示是五条胡同的路线图，),(F F D C B A →--→→→经过测量得到C B ∠=∠,70ο=,110ο=∠=∠E D 则图中互相平行的线有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对625-- 725-- 825-- 925--4．（山东聊城中考）如图5-2-7所示，,//CD AB ,68ο=∠B ,20ο=∠E 则D ∠的度数为（ ）ο28.A o B 38. ο48.C ο88.D5．如图5-2-8所示，HG EF BC AD ,,//交于点HI P ,平分,GHF ∠PM 平分EPH ∠HI 交PM 的反向延长线于Q ，//PN,HI 下列结论：,GEP EGP ∠=∠①若则;//AD PM 2=∠GEP ②;MPN ∠,2Q FPN ∠=∠③其中正确的是( )①②③.A ①③.B ②③.C ①②.D6，（山东聊城模拟）如图5-2-9所示，在四边形ABCD 中，=∠B ,120ο,50oD =∠将C ∠向内折出一个,PRC ∆恰好使,//AB CP //CR ,AD 则C ∠的度数是( )ο80.A ο85.B ο95.C o D 110.7．如图5 -2 - 10所示，已知,AB GF ⊥,21∠=∠,B AGH ∠=∠则下列结论：;//BC GH ①;HGM D ∠=∠②;//FG DE ③,AB HE ⊥④其中正确的是( )①②⋅A ③ ②③④⋅B ①③④⋅C ①②③④⋅D1125-- 1225--8．（广西玉州区期末）如图5 -2 - 11所示，已知BAD CD AB ∠,//和BCD ∠的平分线交于点E ．,1001ο=∠,m BAD =∠ο则EC A ∠的度数为9，如图5 -2 - 12所示，直线,//21l l 若,125ο=∠A ,85ο=∠B 则=∠+∠21 10．如图 5 -2 - 13所示，已知,180ο=∠+∠BCD B .D B ∠=∠求证：.DFE E ∠=∠证明：οΘ180=∠+∠BCD B （ ）CD AB //∴（ ）=∠∴B （两直线平行，同位角相等）， D B ∠=∠Θ（已知）， D DCE ∠=∠∴（等量代换）， BF AD //∴（ ）DFE E ∠=∠∴（ ）11．如图5 -2 - 14所示，直线AB ，CD 被EF 所截，,21∠=∠,BME CNF ∠=∠求证：AB ,//CD .//NQ MP12.（山东招远市期耒）如图5-2 -15所示，点D ，E 分别在ABC ∆的边AB ，AC 上，点F 在DC 上，且,18021ο=∠+∠.3B ∠=∠求证：.//BC DE1325--1425--1525--13.小明将一直角三角板(ο30=∠A )放在如图5 -2 - 16所示的位置，且.21C ∠=∠+∠ (1)证明：;//b a(2)经测量知,1A ∠=∠求;2∠(3)如图5-2 - 17所示，将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEH CEM ∠=∠给出下列结论：BDFMEG∠∠①的值不变：BDF MEG ∠-∠②的值不变，可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并直接写出此值，1625-- 1725--14.如图5-2-18所示，.F D B E C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠求证：.//CD AF15.问题情景：如图5-2 - 19所示，,//CD AB ,130oPAB =∠,120ο=∠PCD 求APC ∠的度数． (1)天天同学看过图形后立即口答出：,110oAPC =∠请你补全他的推理依据．如图5 -2 - 20所示，过点P 作,//AB PE,//CD AB ΘCD AB PE ////∴（ .180ο=∠+∠∴APE Aο180=∠+∠CPE C （ ）,120,130οΘ=∠=∠PCD PAB O.60.50ο=∠=∴⊥CPE APE o1825--ο110=∠+∠=∠∴CPE APE APC （ ）问题迁移：(2)如图5-2- 21所示，,//BC AD 当点P 在A ，B 两点之间运动时，,α∠=∠ADP ,β∠=∠BCP 求βα∠∠∠,与CPD 之间有何数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，0三点不重合），请你直接写出CPD ∠与βα∠∠,之间的数量关系．1925-- 2025-- 2125--拓展创新16.（辽宁鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图5 -2 - 22所示，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被6反射出的光线n 与光线m 平行，且,381ο=∠则=∠2 ;=∠3(2)在(1)中，若ο551=∠则=∠3 ;若,401ο=∠则=∠3(3)由(1)．(2)猜想：当两平面镜a ，b 的夹角=∠3 时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a ，b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗？拓展1．有一款灯，内有两面镜子AB ，BC ，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图5 -2 - 23、图5-2 -24中的.43,21∠=∠∠=∠2225--2325-- 2425--(1)如图5 -2 - 23所示，当BC AB ⊥时，说明为什么进入灯内的光线EF 与离开灯的光线GH 互相平行； (2)如图5-2 - 24所示，若两面镜子的夹角为)900(οο<<αα时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为),900(οο<<ββ试探索α与β的数量关系；(3)若两面镜子的夹角为),18090(οο<<αα进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为).900(οο<<ββ直接写出α与β的数量关系．拓展2．（湖北武昌区期末）一个长方形台球桌面ABCD )90,//,//(ο=∠A BC AD DC AB 如图5 -2 - 25所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，即.21∠=∠(1)台球经过如图5 -2 - 26所示的两次反弹后，撞击线路EF ，第二次反弹线路GH ， 求证：;//GH EF(2)台球经过如图5 -2 - 27所示的两次反弹后，撞击线路EF 和第二次反弹线路GH 是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．2525-- 2625-- 2725--极限挑战17．平面上有100条直线，其中有20条是互相平行的，问这100条直线最多能将平面分成部分，课堂答案培优答案。
平行线及其判定(讲义)(含答案)
平行线及其判定（讲义）➢ 课前预习1. 回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题： （1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______； （2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______； （3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________．2. 在同一平面内，_________________________叫做平行线．3. 如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b ，c ，转动木条a ，当转动到a ∥b 时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“＞”、“＜”或“=”）cc➢ 知识点睛1. 同位角、内错角、同旁内角：ab 12345678cabc412385672. 平行的两个基本事实：___________________________________________________； ___________________________________________________．3.平行线的判定：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；简称为：____________相等，两直线平行；②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；简称为：____________相等，两直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；简称为：____________互补，两直线平行．数学表达：如图，∵∠1=∠8∴a∥b（___________________，___________________）∵∠4=∠5∴a∥b（___________________，___________________）∵∠4+∠8=180°∴a∥b（___________________，___________________）➢精讲精练1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（4）∠6和∠4是同位角吗？（5）∠1和∠4是内错角吗？（6）∠5和∠6是同位角吗？2.如图所示：c15732684ba第1题图123456abcdPBOAN（1）∠NOP 和∠OMD 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（2）∠BON 和∠DMN 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（3）∠AOM 和∠CMO 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角．3. 如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1是（ ） A ．∠4，∠2 B ．∠2，∠6 C ．∠5，∠4D ．∠2，∠44. 如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角； （ ） ②∠1和∠5是同位角；（ ） ③∠1和∠3是内错角；（ ）④∠1和∠2是同旁内角． （ ）5. 如图，若∠1=∠A ，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠1=∠DFE ，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠DEC +∠C =180°，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠ADE =_________，则DE ∥BC ，理由是：___________________________________________．6. 如图，下列条件可以判定AB ∥CD 的是（ ）654321A BC D EF54321E 1DAA ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠D =∠5D ．∠BAD +∠B =180°54321EDCBA4321c ba第6题图 第7题图 7. 如图，下列条件不能判定直线a ∥b 的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠3C ．∠1+∠4=180°D ．∠2+∠4=180°8. 如图，∠1=50°，∠2=70°，∠3=60°，下列条件能得到DE ∥BC 的是（ ） A ．∠B =60° B ．∠C =60° C ．∠B =70° D ．∠C =70°9. 推理是由一个或几个已知条件出发，推导出一个未知结论的思维过程．以下是一个题目及完整的推理过程，请填写推理的依据．（1）已知：如图，∠1=∠ADC ，∠DAB +∠ABC =180°． 求证：①AB ∥CD ；②AD ∥B C ．（2）如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2． 求证：AB ∥CD ． 证明：如图，∵∠3=∠2 （________________________________） ∠1=∠2 （________________________________） ∴∠1=∠3 （________________________________） ∴AB ∥CD （________________________________） 10. 如图，直线a 和直线b 被直线c 所截，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判断a ∥b 的条件是（ ）B C EAD 123第5题图1D CBA FH DBE ACG13251cA ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④11. 已知：如图，点E 在AB 上，且CE 平分∠ACD ，∠1=∠2．求证：AB ∥CD ．BCEAD 12证明：如图，∵CE 平分∠ACD （_____________________________） ∴∠2=∠_____ （_____________________________） ∵∠1=∠2 （_____________________________） ∴∠1=∠_____ （_____________________________） ∴AB ∥CD （_____________________________）12. 如图，已知AB ⊥BC ，若∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，求证：BE ∥DF ．FBCEAD 132413. 下列说法中正确的个数为（ ）①在同一平面内不相交的两条线段叫做平行线； ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14. 下列推理中，错误的是（ ）A ．在m ，n ，p 三个量中，如果m =n ，n =p ，那么m =pB ．在∠A ，∠B ，∠C ，∠D 四个角中，若∠A =∠B ， ∠C =∠D ，∠A =∠D ，则∠B =∠CC ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cD ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c15. 如图，∠1=∠A ，∠2=∠B ，则图中有（ ）对直线平行．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2F BC E A D1【参考答案】➢课前预习1.（1）90°；（2）180°；（3）∠1=∠2．2.不相交的两条直线．3.=．➢知识点睛2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行于同一条直线的两条直线互相平行3.①同位角；②内错角；③同旁内角．同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行➢精讲精练1.（1）a，b，c，同位；（2）a，b，d，内错；（3）c，d，a，同旁内；（4）不是；（5）不是；（6）是．2.（1）OP，CD，NQ，同位；（2）AB，CD，NQ，同位；（3）AB，CD，NQ，同旁内．3. B4.①×②√③√④√5.AB，EF，同位角相等，两直线平行．DF，AC，内错角相等，两直线平行．DE，BC，同旁内角互补，两直线平行．∠B，同位角相等，两直线平行．6. B7. C8. B9.（1）证明：①∵∠1=∠ADC（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）②∵∠DAB+∠ABC=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（2）对顶角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行10.D11.已知ECD，角平分线的定义已知ECD，等量代换内错角相等，两直线平行12.证明略13.B14.D15.C。
平行线的判定与性质(含答案)-
22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。
当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1.由角定角 已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线 已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断。
解：3个 提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手。
解：选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。
解：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折；或改变E 点位置、•或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。
平行线证明2
平行线证明2第一篇：平行线证明 2第九讲平行线的证明1、定义的概念：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。
例子：下列语句属于定义的是（）A、明天是晴天B、长方形的四个角都是直角C、等角的补角相等D、平行四边形是两组对边分别平行的四边形2、命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
注意：（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句，包括肯定句和否定句。
（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。
（3）错误的判断性语句也是命题。
(4)一般命题都可以写成“如果....那么.....”的形式。
例子：下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？（1）相等的角不是对顶角（2）同位角相等，两直线平行（3）过点O作直线AB的平行线（4）若x2=y2，则x=y（5）老师今天表扬你了吗？3、正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
4、公认的真命题称为真理。
5、演绎推理的过程称为证明。
6、经过证明的真命题称为定理。
7、平行线的判定（1）同位角相等两直线平行。
（2）同旁内角互补两直线平行。
（3）内错角相等两直线平行。
8、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补基础练习一、选择题1、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A B A BCD D C 22、如图，直线A． LB C．D．1∥L2 ,则∠α为（）.A.1500B.1400C.1300D.12003、下列命题：1①不相交的两条直线平行；②梯形的两底互相平行；③同垂直于一条直线的两直线平行；④同旁内角相等，两直线平行.（第2题图）其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、下列命题：①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数.其中假命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 A5、如图，AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD =（）A.1800B.2700C.3600D.54006、下列说法中，正确的是（）A．经过证明为正确的真命题叫公理B．假命题不是命题ECDC．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可.7、下列选项中，真命题是（）.A．a＞b，a＞c，则b=cB．相等的角为对顶角C．过直线l外一点，有且只有一条直线与直线l平行D．三角形中至少有一个钝角8、下列命题中，是假命题的是（）A．互补的两个角不能都是锐角B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角C．乘积为1的两个数互为倒数D．全等三角形的对应角相等，对应边相等.9、下列命题中，真命题是（）A．任何数的绝对值都是正数B．任何数的零次幂都等于1C．互为倒数的两个数的和为零D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大10、如图所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD二、填空题11、观察如图所示的三棱柱.用符号表示下列线段的位置关系：ACCC1 ,BCB1C1 ；CB（第13题图）（第12题图）（第11题图）12、如图三角形ABC中，∠C = 900，AC=23,BC=32,把AC、BC、AB的大小关系用“>”号连接：.13、如图，直线AB、CD相交于点E ,DF∥AB，若∠AEC=1000，则∠D的度数等于.D （第14题图）14、如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠15、图中有对对顶角.三.解答题16、如图，AB∥CD,AD∥BC,∠A﹦∠B.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.DC17、如图，AB∥CD,直线EF交AB、CD于点G、H.如果GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？为什么？EA BCHF 0018、如图，AB∥CD，∠BAE=30,∠ECD=60,那么∠AEC度数为多少？AED C19、如图，B处在A处的南偏西450方向，C处在B处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD∥AB，D处应在C处的什么方向？（12分）D20、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a 与c平行吗?•为什么?（13分）deabc参考答案一、1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.B9.D10.D二、11.（1）⊥12.AB >BC >AC13.80014.115015.9三、16.1350,450,1350,450提示：可以用方程.设∠B=x0 ,根据AD∥BC，得x+3x=180（两直线平行，同旁内角互补）,解得x=45.以下略.17.GM∥HN.理由：因为GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，所以∠MGF= ∠BGF，∠NHE=∠CHE,又因为AB∥CD，所以∠BGF=∠CHE（两直线平行，内错角相等），所以∠MGF=2∠NHE.所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.18.如图，过E 作EF∥AB，则∠1=∠A=300（……）；因为AB∥CD，所以EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）,C 所以∠2=∠C=600（……）,那么∠AEC=∠1＋∠2=300＋600=900.19.（1）∠ABC=800－450=350.（2）要使CD∥AB，D处应在C处的南偏西450方向.20.解:平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b,又∵∠3+∠4=180°, ∴b∥c, ∴a∥c.D第二篇：平行线证明基础训练例1、已知，如图，EF//BC,∠A=∠D,∠AOB=70，∠1+∠C=150,求∠B 的度数．解：ΘEF∏BC,∠A=∠D(已知)∴AB∏CD（内错角相等，两直线平行）ο∠COE+∠1=180（两直线平行，同旁内角互补）οΘ∠AOB=∠COE=70（对顶角相等）οοο∴∠1=180-70=110（等式的性质）οΘ∠1+∠C=150（已知）οοο∴∠C=150-110=40（等式的性质）οοΘ∠C=∠B（两直线平行，内错角相等）ο∴∠B=40（等量代换）例2、已知：如图，AC//BD,∠A=∠D，求证：∠E=∠F.证明：ΘAC∏BD(已知)οο∴∠ABD+∠BAC=180，∠BOC+∠ACD=180（两直线平行，同旁内角互补）∠1=∠（两直线平行，内错角相等）2Θ∠A=∠O（已知）∴∠ABD=∠ACD（等式的性质）οΘ∠1+∠A+∠E=180ο∠2+∠D+∠F=180（三角形内角和定理）∴∠E=∠F（等式的性质）练习：1、如右图,AB //CD ,AD // BE ,试说明∠ABE=∠D.∵ AB∥CD(已知)∴ ∠ABE=___________(两直线平行,内错角相等)∵ AD∥BE(已知)∴ ∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代换)2、已知：如图，AB∥CD，EF为直线，∠1=67°，∠2=23°，求证：EF⊥CD．证明：因为AB∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因为∠2=23°（），所以∠2+∠3=90°故EF⊥CD（垂直的定义）．3、已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：EF∥CD．证明：因为AB∥CD（），所以∠A=∠）．又因为∠1=∠A（），所以∠1=∠FCD （）．故EF∥CD（）．EAB2C3DF.cnEOFD.cnA例1、如图，（1）根据同位角相等，两直线平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；（2）根据内错角相等，两直线平行，由∠4=∠，可得EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；（3）根据同旁内角互补，两直线平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥；由∠4+∠=1800，可得ED∥；ο例2、如图所示，由下列条件∠，∠，∠，可以判定那两条直线平行，BEDB+∠=180A=∠AODACB=∠F并说明判定的依据。
(完整版)七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明练习题温故而知新：1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行互补.例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．解析：在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.举一反三：1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）A.60°B. 72°C. 90°D. 100°2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．求证：∠B=∠E．例4如图2-6，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.5.如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点，连接PC 、PD 。
平行线的证明(讲义及答案)
5. （2020 张家界）如图，∠AOB 的一边 OA 为平面镜，∠AOB=38°，一束光线（与水 平线 OB 平行）从点 C 射入经平面镜反射后，反射光线落在 OB 上的点 E 处，则 ∠DEB=_________． A A
D
C
F
D
E
B
O
E
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
GH
第 5 题图
第 6 题图
6. 已知：如图，在△ABC 中，DE∥BC，F 是 AB 上一点，FE 的延长线交 BC 的延长线
P
CB
M TC
B
C
图3
图4
图5
知识点睛
1. 对名称和术语的_______加以描述，作出明确的_______，就是给出它们的定义．
2. _______一件事情的句子叫做命题．一般地，每个命题都是由______和______两部分
组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，命题可以写成“如果……
（2）平行于同一条直线的两条直线平行．
2
4. 指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题．如果是假命题，举 出一个反例． （1）如果 x2＞0，那么 x＞0；
（2）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角 形全等；
（3）两直线平行，同位角相等；
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平行线的证明（讲义）
➢知识点睛
1.对名称和术语的_______加以描述，作出明确的_______，就是给出它们的定义．
2._______一件事情的句子叫做命题．一般地，每个命题都是由______和______两部
分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
3.正确的命题称为________，不正确的命题称为________．
4.要证明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不
具备命题的结论，这种例子称为反例．
5.三角形____________________组成的角，叫做三角形的外角．
6.三角形外角定理：三角形的一个外角等于_______________
_____________________．
➢精讲精练
1.下列语句属于命题的是（）
A．你吃过午饭了吗？B．过点A作直线MN
C．同角的余角相等D．红扑扑的脸蛋
2.下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②全等三角形的面积相等；③实数和数轴上的点是一一对应的；④如果a2=b2，那
么a=b；⑤若a≠b，b≠c，则a≠c．其中是真命题的是___________．（填序号）
3.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）对顶角相等；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行．
4.指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题．如果是假命题，
举出一个反例．
（1）如果x2>0，那么x>0；
（2）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）两个锐角之和一定是钝角．
5. 如图，∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于点E ，若∠ABC =40°，∠
ACE =50°，则∠A -∠E =____________．
E
D C B A
A
F
D
B
C E
G
H
第5题图 第6题图
6. 已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长
线于点G ．若∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =____________． 7. 如图，CE 平分∠ACD ，F 为CA 延长线上一点，FG ∥CE 交AB 于点G ，∠
ACD =100°，∠AGF =20°，则∠B =_________．
A
B
C
D
E F G
8. 如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠C =60°，AD ，AE 分别是角平分线和高．求∠
DAE 的度数．
A
B
C D E
9. 如图，∠CAB =90°，点D 在射线AC 上移动，连接BD ，过点A 作BD 的平行线与∠
CDB 的平分线DE 的反向延长线交于点F ． （1）当∠B =60°，则∠F =______°．
（2）在点D 移动的过程中，∠B 与∠F 有怎样的数量关系？请说明理由．
F
E
D
C
B A 10. 如图，已知∠MON =100°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，∠OAB 的平分
线与△OBA 的外角平分线所在的直线相交于点C ． （1）当∠OBA =30°，则∠C =______°．
（2）随着点A ，B 的移动，∠C 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若
不变化，求出∠C 的度数．
N M
C
B
A
11. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ．
（1）若P 为线段AD 上的一个点，过点P 作PE ⊥AD 交线段BC 的延长线于点E ． ①若∠B =34°，∠ACB =86°，则∠E =________°；
②猜想∠E 与∠B ，∠ACB 之间的数量关系，并给出证明． （2）若P 在线段AD 的延长线上，过点P 作PE ⊥AD 交直 线BC 于点E ．请你直接写出∠PED 与∠ABC ，∠ACB 的数 量关系．
A B C D E
P
12. （1）问题引入：
①如图1，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A =α，则∠BOC =________（用含α的代数式表示），并说明理由；
②如图2，点O 是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 平分线的交点，若∠A =α，则∠BOC =________（用含α的代数式表示）． （2）拓展研究：
①如图3，在△ABC中，∠CBO=1
3
∠ABC，∠BCO=
1
3
∠ACB，∠A=α，则∠
BOC=_______（用含α的代数式表示）；
②如图4，∠CBO=1
3
∠DBC，∠BCO=
1
3
∠ECB，∠A=α，则∠BOC=__________（用
含α的代数式表示）．
图1C
B
A
O
C
B
A
O
图2
E
D
图3
C
B
A
O
D E
图4
O
A
B C
【参考答案】
➢ 知识点睛 1. 含义，规定
2. 判断，条件，结论
3. 真命题，假命题
5. 一边与另一边的延长线
6. 和它不相邻的两个内角的和 ➢ 精讲精练 1. C 2. ②③
3.
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 4. （1）条件：x 2>0； 结论：x >0；假命题；反例略（合理即可）
（2）条件：两个三角形中，两边分别相等且其中一组等边的对角相等； 结论：这两个三角形全等 假命题；反例略（合理即可） （3）条件：两直线平行
结论：这两条直线被同一条直线截出的同位角相等； 真命题
（4）条件：一个角是两个锐角之和 结论：这个角一定是钝角 假命题；反例略（合理即可） 5. 30° 6. 145° 7. 30°
8. ∠DAE 的度数为10° 9. （1）75
（2）∠F =45°+1
2
∠B ；理由略
10. （1）50
（2）∠C 的度数不变，为50°；理由略
11. （1）①26；②∠E =1
2(∠ACB -∠B )，证明略；
（2）∠PED =1
2(∠ACB -∠ABC )
12. （1）①902α︒+；②902α
︒-；
（2）①1203α︒+；②1203
α
︒-。