截长补短法练习

截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。

截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……

补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例：

B A

在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

方法一（好想不好证）

B A

方法二（好证不好想）

M

B A

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

F

E

（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。

求证：EF=DE+BF

（1）变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形c

D

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC 上∠EDF=45o。DB=DC，∠BDC=120o。

请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

（1）变形

d

F

E

正方形ABCD中，点E在CD上，点F 在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。AD=3

求∆AEF的面积

（1）解：（简单思路）

F

E

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以∆ADG≅∆ABF（SAS）

∠GAD=∠FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD=∠GAF

所以∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAE=∠FAE=45o

又AG=AF

AE=AE

所以∆EAG≅∆EAF（SAS）

EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：（简单思路）

EF= BF-DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADE=∠ABG=90o

AD=AB

又DE=BG

所以∆ADE≅∆ABG（SAS）

∠EAD=∠GAB

AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB

=∠DAG+∠EAD=∠GAE

所以∠GAF=∠GAE-∠EAF

=90o-45o=45o

∠GAF=∠EAF=45o

又AG=AE

AF=AF

所以∆EAF≅∆GAF（SAS）

EF=GF=BF-BG=BF-DE

变形b解：（简单思路）

G

EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

∠ADG=∠ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以∆ADG≅∆ABF（SAS）

∠GAD=∠FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB =∠BAF+∠GAB=∠GAF 所以∠GAE=∠GAF-∠EAF =90o

-45o

=45o

∠GAE=∠FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=EG=ED-GD=DE-BF

变形c 解：（简单思路）

G

F

E A

B

C D

EF=BE+FC

延长AC 到点G ，使得CG=BE ，连接DG 。 由∆ABC 是正三角形得

∠ABC=∠ACB=60o 又DB=DC ，∠BDC=120o 所以∠DBC=∠DCB=30o

∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o +30o =90o ∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o +30o =90o 所以∠GCD=180o -∠ACD=90o

∠DBE=∠DCG=90o 又DB=DC ，BE=CG

所以∆DBE ≅∆DCG （SAS ）

∠EDB=∠GDC DE=DG

又∠DBC=120o =∠EDB+∠EDC =∠GDC+∠EDC=∠EDG 所以∠GDF=∠EDG-∠EDF =120o -60o =60o

∠GDF=∠EDF=60o 又DG=DE

DF=DF

所以∆GDF ≅∆EDF （SAS ） EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d 解：（简单思路）

延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。 过E 作EH ⊥AG.前面如（1）所证， ∆ADG ≅∆ABF ，∆EAG ≅∆EAF

∠GAD=∠FAB=30o ，S ∆EAG=S ∆EAF 在Rt ∆ADG 中，∠GAD=30o ，AD=3

∠AGD=60o

，AG=2

设EH=x

在Rt ∆EGH 中和Rt ∆EHA 中

∠AGD=60

o

，∠HAE=45o

HG=3

3x ，AH=x

AG=2=HG+AH=3

3x+x,EH=x=3-3

S ∆EAF=S ∆EAG=EH ⨯AG ÷2=3-3.