线性代数第六章向量空间及向量的正交性讲义

一、n 维向量的定义及运算
一、n 维向量的定义及运算二、向量空间
二、向量空间第一节向量空间
第二节向量的正交性
一、向量空间及其维数和基
一、向量空间及其维数和基
二、向量在基下的坐标
二、向量在基下的坐标
例1
设V 是一些n 维实向量的组成的非空集合，如果V 关
于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即
(1) ∀a , b ∈V , 有a +b ∈V .
(2) ∀a ∈V , k ∈R , 有k a ∈V .
则称V 是一个实向量空间.
一、向量空间及其维数和基
定义1全体n 维向量的集合{(x 1, x 2, …, x n )T | x i ∈R ,i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为R n .
特别的
n = 1 时全体实数R 是一个向量空间;
n = 3 时全体三维向量{(x 1, x 2, x 3)T |x i ∈R ,i= 1, 2, 3 } 是一个向量
空间，记为R 3.
n = 2 时全体平面中的向量{(x 1, x 2 )T | x i ∈R ,i=1, 2} 是一个向量空
间，记为R 2.
注：向量空间中必含有零向量。

例3
例2而W = {(a 1, a 2, …, a n )T |}01∑==n
i i a 是一向量空间.
}1|),,,{(1
21∑==…=n
i i T n a a a a S 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.仅含一个n 维零向量0=(0, 0, …, 0)T 的集合{0}构成一
个向量空间，称为零空间.除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。

设V 是一个向量空间，W V
, W ≠∅. 如果W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称W 是V 的子空间.
定义2若W V ，并且V W , 则称两个向量空间相等，记为W=V.
⊆⊆⊆
例5}
1,,2,1,|)0,,,,{(1211−=∈=−n i a a a a W i T n ""R }|),,,,{(2R ∈=a a a a a W T "n 个分量
都是R n 的子空间.
及例6
设a ∈V , 则span {a } = {ka | k ∈R }为V 的子空间，称它为由a 生成的子空间，a 称为这子空间的生成元.
{}}
,,2,1,,|{,,1
1s i k k span i s
i i i s ""=∈==∑=R a a a a a 是V 的由a 1, a 2, …, a s 生成的子空间.
更一般地，设a 1, a 2, …, a s ∈V .例4
V 本身和{0}都是V 的子空间，称它们为V 的平凡子空间.
例7
证明：m×n阶齐次线性方程组Ax=0的解集S组成一个向量空间，称S为齐次方程组Ax=0的解空间.
证明：设u,v为Ax=0的解集S中的任意两个向量，满足
Au=0,Av=0. 设k为任一实数。

那么A(u+v)=Au+Av=0. 并且A(ku)=kAu=0。

因此u+v∈S, ku∈S. 从而S为一个向量空间。

定义3
称向量组V 的极大无关组为向量空间V的一组基底(基)，而V 的秩称为向量空间V 的维数，记为dim(V).
规定：零空间的维数为0, 它没有基.
向量空间的任何一个极大无关组都是一组基，存在而不唯一。

例9
例8
设R n 为全体n 维向量构成的向量空间,证明n 维向量组e 1= ( 1, 0, 0, …, 0 )T , e 2= ( 0, 1, 0, …, 0 )T , …, e n = ( 0, 0, 0, …, 1 )T 是R n 的基, 且dim(R n )=n.
由矩阵判别法知e 1, e 2, …, e n 线性无关. 设 a = (a 1, a 2, …, a n )T
为任一n 维向量, 显然有
a = a 1 e 1+ a 2 e 2+…+ a n e n .
所以a 可由e 1, e 2, …,e n 线性表出,即e 1, e 2, …, e n 是R n 的基,从而dim(R n )= n.
证设V 为一向量空间，且dim V = r , 而a 1, a 2, …, a r 为V 中r 个线性无关的向量，则a 1, a 2, …, a r 必为向量空间V 的一组基.
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例10
证明向量组
a 1 = (1, 2, 1)T , a 2 = (3, 0, −1)T , a 3 = (2, −3, 5)T
为空间R 3的一组基.
由于dim R 3 = 3, 故只要证明a 1, a 2 , a 3 线性无关即可.由于
123132
,, 203
0115
=−≠−a a a 因此a 1, a 2 , a 3 线性无关，从而a 1, a 2 , a 3 可构成空间R 3 的一组基。

证上一页
例11的一组基，则
为若生成的向量空间表示。

的结构可用它的一组基维向量空间V V r r v v ,,1"{}{}111,,|,,1,,.
r r r i V span c c c R i r ===++∈=v v v v v v """从而R 3=span{a 1, a 2, a 3}。

的一组基。

都可扩充为个线性无关向量中的任意维向量空间V n m m V n m v v ,,)(1"<定理1
.
,,
,1,111线性无关个向量使得，因此必存在向量证明：由于+++∈<m m m m V n m v v v v "矛盾。

，这与已知的极大无关组，因此为向量空间线性表示，那么可知必可由向量相关，则都线性个向量使得否则，对任意向量m n V m V V m V m m m >==+∈)dim()dim(,,,,,,,1,111v v v v v v v v v """的一组基，定理证毕。

的一组极大无关组，即为则如果V V n m m m 11,,,,1+=+v v v "组基，定理证毕。

的一的一组极大无关组，即为，
使得，，向量按照如上方法，必存在如果V V V n m n m m n m v v v v v v ,,,,,
,1112"""++∈<+
二、向量在基下的坐标设a 1, a 2, …, a m 是向量空间V 的一组基, ∀b ∈V , b 可由a 1, a 2, …, a m 线性表示:
b = b 1a 1 + b 2a 2 +…+ b m a m ,则组合系数构成的向量(b 1, b 2, …, b m )T 称为向量b 在基a 1, a 2, …, a m 下的坐标向量.而b i 称为坐标。

( b 1, b 2, …, b m ∈R )定义4
注：b 在基a 1, a 2, …, a m 下的坐标向量是唯一的. b = c 1 a 1 + c 2 a 2 +…+ c m a m , 那么可得
(b 1−c 1) a 1 + (b 2−c 2) a 2 +…+ (b m −c m ) a m = 0, 由于a 1, a 2, …, a m 线性无关, 故
b 1−
c 1 = b 2−c 2 =…= b m −c m = 0,即b i = c i ( i = 1, 2, …, m ).事实上, 若还有另一坐标向量(c 1, c 2, …, c m )T , 即。