【精选】人教版七年级上册数学 代数式专题练习(解析版)
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一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难)
1.从2012年4月1日起厦门市实行新的自来水收费阶梯水价,收费标准如下表所示:
月用水量不超过15吨的部分超过15吨不超过25吨的部分超过25吨的部分
收费标准
2.2
3.3
4.4
(元/吨)
②.以上表中的价格均不包括1元/吨的污水处理费
(1)某用户12月份用水量为20吨,则该用户12月份应缴水费是多少?
(2)若某用户的月用水量为m吨,请用含m的式子表示该用户月所缴水费.
【答案】(1)解:该用户12月份应缴水费是15×2.2+5×3.3+20=69.5(元)
(2)解:①m≤15吨时,所缴水费为2.2m元,
②15<m≤25吨时,所缴水费为2.2×15+(m﹣15)×3.3=(3.3m﹣16.5)元,
③m>25吨时,所缴水费为2.2×15+3.3×(25﹣15)+(m﹣25)×4.4=(4.4m﹣110)元.【解析】【分析】(1)该用户12月份应缴水费三两部分构成:不超过15吨的水费+超过15吨不超过25吨的9吨的水费+20吨的污水处理费,列代数式求解即可。
(2)分①m≤15吨,②15<m≤25吨,③m>25吨三种情况分别根据图表的收费标准列出代数式并计算即可得解。
2.已知A=2x2+3xy-2x-1,B=x2-xy-1
(1)化简:4A-(2B+3A),将结果用含有x、y的式子表示
(2)若式子4A-(2B+3A)的值与字母x的取值无关,求的值
【答案】(1)解:∵A=2x2+3xy-2x-1,B=x2-xy-1,
∴4A-(2B+3A)=A-2B=2x2+3xy-2x-1-2(x2-xy-1)=5xy-2x+1
(2)解:根据(1)得4A-(2B+3A)= 5xy-2x+1;
∵4A-(2B+3A)的值与字母x的取值无关,
∴4A-(2B+3A)=5xy-2x+1=(5y-2)x+1,
5y-2=0,则y= .
则y3+ A- B= y3+ (A-2B)= y3+ ×1= + = = .
【解析】【分析】(1)先将4A-(2B+3A)化简,再将A,B的值分别代入代数式,去括号合并同类项化为最简形式即可;
(2)根据(1)化简的结果,由4A-(2B+3A)的值与字母x的取值无关,得出5y-2=0,求解得出y的值,再将代数式中含A,B的项,逆用乘法分配律最后整体代入即可算出代数式
的值。
3.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收贵的价目表如下(注:水费按月份结算,m3表示立方米)
5m3和8m3,则应收水费分别是________元和________元.
(2)若该户居民3月份用水量am3(其中6<a≤10),则应收水费多少元?(用含a的式子表示,并化简)
(3)若该户层民4、5两个月共用水14m3(5月份用水量超过4月份),设4月份用水xm3,求该户居民4、5两个月共交水费多少元?(用含x的式子表示,并化简)
【答案】(1)10;20
(2)解:由依题意得:6×2+(a﹣6)×4=4a﹣12(元)
答:应收水费(4a﹣12)元。
(3)解:当0<x≤4时,该户居民4、5两个月共缴水费=2x+12+4×4+6(14﹣x﹣10)=52﹣4x;
当4<x≤6,该户居民4、5两个月共缴水费=2x+12+4(14﹣x﹣6)=﹣2x+44;
当6<x<7时,该户居民4、5两个月共缴水费=12+4(x﹣6)+12+4(14﹣x﹣6)=32.【解析】【解答】(1)解:该户居民1月份用水5m3,应缴水费=5×2=10(元);
2月份用水8m3,应缴水费=6×2+2×4=20(元);
故答案是:10;20
【分析】(1)①按照价目表可知,不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解;
②按照价目表可知,超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解;
(2)由题意知,用水量属于第二档,按照(1)中②的方法可求解;
(3)结合(1)的方法,分类可求解.
4.某服装厂生产一种夹克和T恤,夹克每件定价100元,T恤每件定价60元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:
① 买一件夹克送一件T恤;
② 夹克和T恤都按定价的80%付款.
现某客户要到该服装厂购买夹克30件,T恤x件(x >30).
(1)若该客户按方案①购买,夹克需付款________元,T恤需付款________元(用含x的式子表示);
若该客户按方案②购买,夹克需付款________元,T恤需付款________元(用含x的式子表示);
(2)若x=40,通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算?
(3)若两种优惠方案可同时使用,当x=40时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方案,并说明理由.
【答案】(1)3000;;2400;
(2)解:当x=40时,方案①3000+60(40-30)=3600元方案②2400+48×40=4320元因为3600<4320,所以按方案①合算
(3)解:先买30套夹克,此时T恤共有30件,剩下的10件的T恤用方案②购买,此时10件的T恤费用为:10×60×0.8=480,∴此时共花费了:3000+480=3480<3600 所以按方案①买30套夹克和T恤,再按方案②买10件夹克和T恤更省钱
【解析】【解答】解:(1)方案①:夹克的费用:30×100=3000元,T恤的费用为:60(x-30)元;
方案②:夹克的费用:30×100×0.8=2400元,T恤的费用为:60×0.8x=48x元;故答案为:(1)3000,60(x-30),2400,48x;
【分析】(1)夹克每件定价100元,T恤每件定价60元根据向客户提供两种优惠方案,分别列式计算可求解。
(2)根据x=40时,分别求出两种优惠方案所付费用,再比较大小,即可作出判断。
(3)抓住已知:两种优惠方案可同时使用,可以先买30套夹克,此时T恤共有30件,剩下的10件的T恤用方案②购买,计算出所需费用,再比较大小,可得出结论。
5.如图,正方形ABCD与正方形BEFG,且A,B,E在一直线上,已知AB=a,BE=b(b<a).
(1)用a、b的代数式表示△ADE的面积.
(2)用a、b的代数式表示△DCG的面积.
(3)用a、b的代数式表示阴影部分的面积.
【答案】(1)解:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,AB=a,BE=b,A,B,E在一直线上,
∴AB=AD=a,∠A=90°,∠EBG=∠ABC=90°,AE=AB+BE=a+b,
∴S△ADE= AD·AE=
(2)解:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,AB=a,BE=b,
∴AB=DC=BC=a,∠C=90°,BG=BE=b,
∴CG=BC-BG=a-b,
∴S △DCG= DC·CG=
(3)解:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,AB=a,BE=b,
∴S正方形ABCD+S正方形BEFG= .
又∵S△ADE= ,S△DCG= ,S△EFG= EF·FG= ,
∴S阴影= -S△ADE-S△GEF-S△CDG
=
= .
【解析】【分析】(1)根据题意可得△ADE的两直角边AD、AE,再由三角形的面积公式求出即可;
(2)先求出CG=BC-BG=a-b,再根据三角形的面积公式求出即可;
(3)分别求出△ADE、△EFG、△DCG的面积和两个正方形的面积,即可得出阴影部分的面积.
6.如图所示,数轴上有A、B、C、D四个点,分别对应的数为a、b、c、d,且满足a=﹣2,|b|=0,(c﹣12)2与|d﹣18|互为相反数.
(1)b=________;c=________;d=________.
(2)若A、B两点以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时C、D两点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动,并设运动时间为t秒,问t为多少时,A、C两点相遇?
(3)在(2)的条件下,A、B、C、D四点继续运动,当点B运动到点D的右侧时,问是否存在时间t,使得B与D的距离是C与D的距离的3倍?若存在,求时间t;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)0;12;18
(2)解:当运动时间为t秒时,点A对应的数为2t﹣2,点C对应的数为12﹣t,
根据题意得:2t﹣2=12﹣t,
解得:t= .
答:t为时,A、C两点相遇
(3)解:假设存在,当运动时间为t秒时,点B对应的数为2t,点C对应的数为12﹣t,点D对应的数为18﹣t,
∵点B在点D的右侧,且B与D的距离是C与D的距离的3倍,
∴2t﹣(18﹣t)=3[(18﹣t)﹣(12﹣t)],
解得:t=12.
答:存在时间t,使得B与D的距离是C与D的距离的3倍,此时t的值为12
【解析】【分析】(1)∵|b|=0,(c﹣12)2与|d﹣18|互为相反数∴(c﹣12)2+|d﹣18|=0,∴b=0,c=12,d=18.
故答案为:0;12;18;
(2)左减右加,t秒后A表示的数是-2+2t,即2t-2,类似的,C点t秒后表示的数为12-t,相遇时即两个点重合,表示同一个数,即2t﹣2=12﹣t;
(3)两点之间的距离等于表示点的数的差(大减小).
7.已知:a是﹣1,且a、b、c满足(c﹣6)2+|2a+b|=0,请回答问题:
(1)请直接写出b、c的值:b=________,c=________
(2)在数轴上,a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,
①当点P在AB间运动(不包括A、B),试求出P点与A、B、C三点的距离之和.
②当点P从A点出发,向右运动,请根据运动的不同情况,化简式子:|x+1|﹣|x﹣2|+2|x﹣6|(请写出化简过程)
【答案】(1)2;6
(2)解:①∵PA=x﹣(﹣1)=x+1,PB=2﹣x,PC=6﹣x,
∴PA+PB+PC=x+1+2﹣x+6﹣x=9﹣x;|x+1|﹣|x﹣2|+2|x﹣6|
②当﹣1≤x<2时,原式=x+1+x﹣2﹣2(x﹣6)=11;
当2≤x<6时,原式=x+1﹣(x﹣2)﹣2(x﹣6)=﹣2x+15;
当x≥6时,原式=x+1﹣(x﹣2)+2(x﹣6)=2x﹣9
【解析】【解答】解:(1)∵(c﹣6)2+|2a+b|=0,
∴c=6,2a+b=0,即b=﹣2a,
又∵a=﹣1,
∴b=2,
故答案为:2,6;
【分析】(1)根据非负数的性质可得;(2)①根据两点间距离公式列出算式,化简可得;②分别根据﹣1≤x<2、2≤x<6、x≥6结合绝对值性质,去绝对值符号后化简可得.
8.用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米,b厘米,h厘米的长方体有盖木箱(a>b),其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面,乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面,丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。
(1)填空:用含a、b、h的代数式表示以下面积:
甲的面积________;乙的面积________;丙的面积________.
(2)当h=20cm时,若甲的面积比丙的面积大200cm2,乙的面积为1400cm2,求a和b 的值;
(3)现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板(如图①)分割成两个小长方形。
左侧部分刚好分割成两个最大的等圆,和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型(如图②),且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。
问:一个上述长方体木箱中最多可以放________个这样的圆柱体模型。
【答案】(1)ab+ah;ah+bh;ab+bh
(2)解:,
化简得,
解得: .
(3)8
【解析】【解答】(1)甲的面积= ab+ah,乙的面积= ah +bh;丙的面积 =ab+bh;
(3)设圆的直径为d,
∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板(如图①)分割成两个小长方形。
左侧部分刚好分割成两个最大的等圆,和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型,
∴b=2d,a-d=πd,
∴a=(π+1)d
∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等,
∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可,
∴
∴可以放两层,
∴b=2r+πr
∴
∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.
故答案为:8.
【分析】(1)根据矩形的面积公式,分别求出甲,乙,丙的面积即可;
(2)根据甲的面积-丙的面积=200cm2,乙的面积为1400cm2,列出方程组,将h=20cm代入并解出方程组,即可求出a,b的值;
(3)设圆的直径为d,观察图像由已知可得到b=2d,a=(π+1)d,再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等,就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可,因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。
9.阅读材料:我们知道,4x﹣2x+x=(4﹣2+1)x=3x,类似地,我们把(a+b)看成一个整体,则4(a+b)﹣2(a+b)+(a+b)=(4﹣2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1)把(a﹣b)2看成一个整体,合并3(a﹣b)2﹣6(a﹣b)2+2(a﹣b)2的结果是________.
(2)已知x2﹣2y=4,求3x2﹣6y﹣21的值;
拓广探索:
(3)已知a﹣2b=3,2b﹣c=﹣5,c﹣d=10,求(a﹣c)+(2b﹣d)﹣(2b﹣c)的值.【答案】(1)﹣(a﹣b)2
(2)解:∵x2﹣2y=4,
∴原式=3(x2﹣2y)﹣21=12﹣21=﹣9;
(3)解:∵a﹣2b=3,2b﹣c=﹣5,c﹣d=10,
∴a﹣c=﹣2,2b﹣d=5,
∴原式=﹣2+5﹣(﹣5)=8.
【解析】【解答】解:(1)∵3(a﹣b)2﹣6(a﹣b)2+2(a﹣b)2=(3﹣6+2)(a﹣b)2=﹣(a﹣b)2;
故答案为:﹣(a﹣b)2;
【分析】(1)利用整体思想,把(a−b)2看成一个整体,合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2即可得到结果;(2)原式可化为3(x2−2y)−21,把x2−2y=4整体代入即可;(3)依据a−2b=3,2b−c=−5,c−d=10,即可得到a−c=−2,2b−d=5,整体代入进行计算即可.
10.如图所示,图甲由长方形①,长方形②组成,图甲通过移动长方形②得到图乙.
(1)S甲=________,S乙=________(用含a、b的代数式分别表示);
(2)利用(1)的结果,说明a2、b2、(a+b)(a﹣b)的等量关系;
(3)现有一块如图丙尺寸的长方形纸片,请通过对它分割,再对分割的各部分移动,组成新的图形,画出图形,利用图形说明(a+b)2、(a﹣b)2、ab三者的等量关系.
【答案】(1)(a+b)(a-b)
;a2-b2
(2)由两个图形的面积相等可知,(a+b)(a-b)=a2-b2。
(3)
S正方形=(a+b)2, S正方形=(a-b)2+4ab
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab
【解析】【分析】(1)根据图形的面积。
列式得到答案即可;
(2)根据两组图案所表示的面积相等,即可得到等量关系;
(3)同理,首先根据面积列出两种方式表示的面积,得到答案即可。
11.对于三位正整数:121、253、374、495、583、671、880、…,它们都能11整除。
若设百位数字是十位数字是个位数字是
(1)观察这些三位数,根据你的观察、总结, 应满足的关系式是________;
(2)为了说明满足上述关系式的三位正整数都能被11整除,请利用代数式的运算证明你得出的结论的正确性;
(3)除此之外,还有一类三位正整数,例:429、506、528、638、517、759、…,它们也能被11整除。
请观察这组数字的特点,发现有什么规律?再自选一个异于上面3个数字且满足“规律”的三位数,来验证你所发现的“规律”的正确性。
【答案】(1)a+c=b
(2)解:此三位数可表示为:100a+10b+c,
∵a+c=b,
∴100a+10b+c
=100a+10(a+c)+c
=110a+11c
=11(10a+c),
∴满足上述关系式的三位正整数都能被11整除
(3)解:∵429:4+9-11=2、506:5+6-11=0、528:5+8-11=2、638:6+8-11=3、517:5+7-
11=1、759:7+9-11=5、…,
∴a+c-11=b,
如a=3,c=9,则b=3+9-11=1,该三位数是319,
∵319÷11=29,
∴满足该特点的三位数能被11整除.
【解析】【解答】(1)解:∵121:1+1=2、253:2+3=5、374:3+4=7、495:4+5=9、583:5+3=8、671:6+1=7、880:8+0=8、…,
∴应满足的关系式是a+c=b
【分析】(1)根据所给数字可以发现,百位数字+个位数字=十位数字,据此解答即可;(2)根据多位数的表示法写出该三位数,把a+c=b代入即可证明其正确性;(3)根据所给数字可以发现,百位数字+个位数字-11=十位数字,据此解答即可.
12.任何一个整数,可以用一个多项式来表示:
.
例如:.已知是一个三位数.
(1)为________.
(2)小明猜想:“ 与的差一定是的倍数”, 请你帮助小明说明理由.
(3)在一次游戏中,小明算出,,,与这个数和是,请你求出这个三位数.
【答案】(1)
(2)解:
;与的差一定是的倍数.
(3)解:,由已知条件可得
=
= = 即
.是个三位数至少从16开始,经尝试发现,只有满足条件,此时,这个三位数为
【解析】【解答】解:(1)
【分析】(1)根据每个数位上的数字所表示的意义:个位上的数字是几就表示几个1,十位上的数字是几就表示表示几个10,百位上的数字是几就表示几个100…,从而得出答案;
(2)根据(1)所得的方法,将被减数与减数分别改写成一个加法算式,然后根据整式的加法法则,去括号再合并同类项互为最简形式,根据结果判断是否是9的倍数即可;(3)根据,,,与这个数和是及(1)发现的改写规律列出方程,再根据等式的性质在方程的两边都加上,然后化简得出
,是个三位数a+b+c 至少从16开始,经尝试发现,只有满足条件,此时 .。