微积分第一章

第一章

习题1-1

1.用区间表示下列不等式的解.

2(1)9;(2)

1;

1(3)(1)(2)0;(4)00.01

1x x x x x ≤>--+<<<+

解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].

(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).

(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1).

(4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨

+≠⎩即 1.010.99

1

x x -<<-⎧⎨≠⎩

用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).

2.用区间表示下列函数的定义域

:

1

(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1

(3).

ln(2) y y x x x

y x =

=-+=-

解 (1)要使函数有意义,必须2

010x x ≠⎧⎨-≥⎩

即0

11x x ≠⎧⎨-≤≤⎩ 所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].

(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即02

10x x x ≤≤⎧⎪

>⎨⎪>⎩

所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].

(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩

即6112

x x x -≤≤⎧⎪

≠⎨⎪<⎩

所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).

3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),f

),f (a )(a 为实数),并作出图形

(1)

1

,0, 2,01 1,12

x

x

y

x x

x

⎧

<

⎪⎪

=⎨

≤<

⎪

⎪<≤

⎩

；(2)y＝

2

2

1,1

1,12

x x

x x

⎧-≤

⎪

⎨

-<<

⎪⎩

解(1)函数的定义域

(){|0}{|01}{|12}

{|112}(,1)(1,2]

或

D f x x x x x x

x x x

=<≤<<≤

=<<≤=-∞

()

1

(0)200,1,()

2201

112

a

a

f f f a

a a

a

⎧

<

⎪⎪

=⨯===⎨

≤<

⎪

⎪<≤

⎩

,

图1-1 图1-2

(2)函数的定义域

(){|1}{|12}{|2}(2,2)

D f x x x

x x x

=≤<<=<=-

2

2

2

2

11

(0)101,11,()

22

112

a a

f f f a

a a

⎧⎪-≤=-==-==⎨

-<<

⎪⎩

4※.设

1,1

()

1,1

x

f x

x

⎧≤

⎪

=⎨

->

⎪⎩

,求f(f(x)).

解当|x|≤1时, f(x)=1, f(f(x))= f(1)=1;

当|x|>1时, f(x)=-1, f(f(x))= f(-1)=1,

综上所述f(f(x))=1(x∈R).

5.判定下列函数的奇偶性：

(1) f(x)＝

2

1

cos

x

x

-

；(2)f(x)＝(x2＋x)sin x；

(3)※f(x)＝

1e,0

e1,0

x

x

x

x

-

⎧-≤

⎨

->

⎩

解 (1) ∵22

1()1()()cos()cos x x f x f x x x

----=

==- ∴f (x )是偶函数.

(2)∵222

()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数. (3) ※

当x <0时,-x >0, ()1(1)()e

e x

x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()

()11(1)()e

e e x x x

f x f x ---=-=-=--=-,

综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数. 6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：

(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+

(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=

所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;

(2)令()()()F x f x f x =--,

(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-

所以()()()F x f x f x =--是奇函数.

7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =±

则 ()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.

(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数: