自动控制原理汇总之判断系统稳定性方法

自动控制原理汇总之判断系统稳定性方法

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判断系稳定性的方法

一、 稳定性判据（时域）

1、 赫尔维茨判据

系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；

21

2

31

4253

10

00000

0000000000a a a a a a a a a a a a a n n

n n n n n n n n n

当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即

00

03

1425

3132

3

1211

n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a

则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。

例；若已知系统的特征方程为05161882

34 s s s s

试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。5181

016800

5

18100168

由△得各阶子行列式；

86900172816

8

518

10

168012818

11680884321

各阶子行列式都大于零，故系统稳定。 2、 劳思判据

（1）劳思判据充要条件：

A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；

B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：

A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：

1

112

124

321343212753116

42w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n

B 、计算劳思表

1

7

61315

41213

211 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b

系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c ，d ，e 等各行的系数。

1

2

121114

171313

151212

1311c c b b c d b b a a b c b b a a b c b b a a b c n n n n n n

（3）劳思判据的两种特殊情况

A 、劳思计算表第一列出现零的情况

因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。 B 、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况

此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对

s 求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。

例1：已知系统特征方程为0126322345 s s s s s

判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。

解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。

列写劳思计算表并计算得：

1

3

6231

36230162

2

310

2

1

2345

s s

s s s s

当ε →0时，

23

3623，3

62

故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。

例2：已知控制系统的特征方程为

0161620128223456 s s s s s s

试判定系统的稳定性。

解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。

列写劳思计算表并计算得：0

0861)16122(8

61)16122(162081344556s s s s s s

因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下：

8624 s s s A

将A(s)对s 求导，得：

s

s s A ds d

1243

再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：

8

318331)124(86186116

20810

1233456s s s s s s s s

从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s 3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。

共轭虚根可通过辅助方程求得 0862

4 s s

其共轭虚根为 j s j s 2；24，32，

1 ，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。

二、 根轨迹法（复域）

系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S 平面的左半平面。

例：已知系统的开环传递函数为G (S )=k

s (s+1)(0.5s+1)，试应用根轨迹

法分析系统的稳定性。

解：G (S )=2k

s (s+1)(s+2)=K ∗

S (S+1)(S+2) (K *=2k)

做根轨迹：

（a ） 有三条根轨迹（n=3 m=0 n-m=3） （b ） 实轴上（0,−1）(−2,−∞)为根轨迹段