小学奥数教程-数阵图 (66)(含答案)

5-1-3-2.数阵图
教学目标
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨 .
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
【例 2】 如图 1，圆圈内分别填有 1，2，……，7 这 7 个数。如果 6 个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是 64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
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教师版
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【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 5 题，5 分 【解析】 2 【答案】 2
图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用．
【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 10 题，10 分 【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以 3 的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以 3 的
余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是 根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。
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例题精讲
复合型数阵图
【例 1】 由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有 9 个，老师将这 9 个数写在一个九宫格上，让同学选数， 每个同学可以从中选 5 个数来求和．小刚选的 5 个数的和是 120，小明选的 5 个数的和是 111．如 果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．
【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上 三个数的和.
4
9
8
17
（ 1）
【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），
a
4
8 b
9 17
c
（ 2）
则有 a+4+9=a+b+c（1） b+8+9=a+b+c（2）
11 12 13
21 22 23
31 32 33
【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3 题 【分析】这 9 个数的和：11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33
= （10 + 20 + 30）× 3 +（1 + 2 + 3）× 3= 198 由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这 9 个数全部都取到了，且有一个数取 了两遍．所以他们取的数的总和比这 9 个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是 120 + 111 −198 = 33 ． 【答案】 33
c+17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，
c=28-（17+9）=2 解：见图.
15
源自文库
4
8 11
9 17
2
【答案】
15
4
8 11
9 17
2
【例 4】 请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和 与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？
相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字 1 在同一个面上的应该有较大的数。 尝试最大的三个数 8，7，6，则和 1，8，7 在同一个面上的数应该是 18-1-8-7=2，和 1，8，6 在同一 个面上的数应该是 18-1-8-6=3，和 1，7，6 在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是 18-1-7-6=4，剩下一个 5 填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与 1 相连的三个○的和是
【答案】
【例 6】 将 1 至 8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的 内，并使每个面上的四个 内的 数字之和都相等。求与填入数字 1 的 有线段相连的三个 内的数的和的最大值。
【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 13 题，15 分 【解析】因为 1 到 8 的和为 36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为 18。因为每个面的数字和
【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设 A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k
（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，
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2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为 56+A 为 5 的倍数， 得 A=4，进而推出 k=12，因为在 1、2、3、5、6、7 中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设 B=1，F=5，D=6， 则 C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）
【答案】
7
2
1
6
4
5 3
7
2
1
6
4
5 3
【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有 3 个相邻(即有线段相连的圆圈) 的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为 3 个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。如果左 下图中已有一个数 1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。