高中数学-充分条件与必要条件
高中数学充分条件与必要条件
高中数学充分条件与必要条件在高中数学里，充分条件和必要条件这两个概念就像两个好伙伴，一起帮我们解答各种数学问题。
要是你刚接触这些概念，可能觉得有点抽象，不用担心，我们今天就来聊聊这两个小伙伴，搞清楚它们到底是什么东西，它们怎么合作，给我们的数学学习带来了怎样的帮助。
1. 充分条件与必要条件的基本概念1.1 充分条件首先，什么是充分条件呢？简单来说，充分条件就是“如果这个条件成立，那么结果一定成立”。
换句话说，如果我们满足了这个条件，结果自然就会出现。
举个例子来说，如果你能买得起车票，那么你就能坐车。
这句话的意思是说，买得起车票是你坐车的充分条件，坐车的结果是买得起车票这一条件自动导致的。
1.2 必要条件接下来，必要条件就是“结果要成立，必须满足这个条件”。
这意味着，如果你想要得到某个结果，那么这个条件是必不可少的。
比如说，你想要通过考试，你必须得学过考试的内容。
这里，学习考试内容就是通过考试的必要条件。
如果你不学，那么即使其他条件都满足，也不能保证你能通过考试。
2. 如何判断2.1 判断充分条件判断一个条件是否充分，首先要看这个条件是否能导致结果的必然发生。
如果有一个条件，它的存在能够保证结果一定发生，那它就是充分条件。
比如，某数学题的充分条件可能是“x>2”，而“x>2”能保证方程有解。
这就是充分条件的经典用法。
2.2 判断必要条件判断必要条件则是看这个条件是否是结果发生的前提。
换句话说，没有这个条件，结果就无法出现。
如果你不能满足这个条件，那么结果就无从谈起。
比如，求解方程的必要条件是方程必须有未知数，否则问题就没有意义。
3. 实际应用3.1 解决问题在实际解题过程中，充分条件和必要条件能帮我们明确解题思路。
比如在几何题中，我们常常用到这两个概念。
一个几何图形是否具有某种性质，我们需要知道这个性质的充分条件是什么，以及必要条件是什么。
这能让我们更快、更准确地解决问题。
3.2 提高理解理解这些概念还能够帮助我们提高数学的理解能力。
高中数学讲义：充分条件与必要条件
充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q Þ，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q Þ，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q Û，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q Þ，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
高中数学充分条件和必要条件
第8讲：充分条件和必要条件【知识点梳理】知识点：充分条件与必要条件【考点解析】考点一：充分条件的判断例1．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件变式训练1：“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：2x =是260x x +-=的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件变式训练3：设x ∈R ，则“2230x x --<”是“13x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练4：使得()20x y -=成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．20x y +-= B ．22(2)0x y +-= C ．221x y +=D ．0x =或2y =考点二：必要条件的判断例2．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（ ） A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件 C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件 D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件变式训练1：若a R ∈，则“1=a ”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件变式训练2：“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练3：已知a ，b ，R c ∈，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件变式训练4：使得“1x >”成立的一个必要且不充分的条件是（ ） A ．21x >B ．3 1x >C ．11x> D ．2x >考点三：充分条件与必要条件（一）例3．华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩杀楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练1：老师经常说“努力不一定成功，但是不努力一定不会成功”，若这句话是真命题，则“努力”是“成功”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：为促进离汉人员安全有序流动，统筹推进疫情防控和复工复产复学，国务院联防联控机制日前印发《关于做好离汉人员新冠肺炎检测和健康管理服务工作的通知》，重点人群离汉前按照“应检尽检”原则进行新冠病毒核酸检测，离汉人员到达目的地后满足相应条件即可正常复工复产复学.这里的“相应条件”是“正常复工复产复学”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点四：充分条件与必要条件的应用（二）例4．已知,a b R ∈，那么“1a b +>”是“221a b +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练1：如果2:2,:4,p x q x >->则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式训练2：如果p 是q 的必要不充分条件，q 是r 的充要条件，r 是s 的充分不必要条件，那么p 是s 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件考点五：充分条件与必要条件的应用（三）例5．已知p :1x >或2x <-，q :x a >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{}2a a <- B ．{}2a a >-C ．{}21a a -<≤D ．{}1a a ≥变式训练1：若“14x ≤≤”是“4a x a ≤≤+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a ≤B ．0a ≤或1a ≥C ．01a <<D ．01a ≤≤变式训练2：已知条件12p x +≤：，条件q x a ≤：，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．3a ≤﹣变式训练3：已知:11p m x m -<<+，()():260q x x --<，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．35m <<B ．35m ≤≤C ．5m >或3m <D ．5m >或3m ≤考点六：充分条件与必要条件的应用（四）例6．已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<. （1）当2m =时，求AB ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.变式训练1：已知集合{}12A x x =-<<，{}|1120B x m x m m =-<<+>，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围变式训练2：已知集合{14}M xx =-<<∣，{0}N x x a =->∣． （1）当1a =时，求M N ⋂，M N ⋃;（2）若x M ∈是x ∈N 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【课堂检测】1、“5x =”是“2450x x --=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2、设a R ∈，则“23a <<”是“2560a a --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设R a ∈，则“a >22a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5、“04a <<”是“210ax ax ++>对x ∈R 恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、若“x a >”是“13x<”的一个充分不必要条件，则下列a 的范围满足条件的是（ ） A ．2a > B ．102a <<C ．13a <-D ．13a -<<7、若“2x >”是“x a >”的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a aB ．{}|2a a ≤C ．{}|2a a >D ．{|2}a a ≥8、“三角形ABC 为锐角三角形”是“A ∠为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、设,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的必要不充分条件是（ ） A ．1a b <+B ．1a b <-C ．22a b <D ．33a b <10、设集合{}|2M x x =>，{}|6P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11、使不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x ≥或2x -≤ B ．0x <或2x > C ．1x <-或4x >D ．12x ≤-或3x ≥12、使()f x = ）A ．16x -≤≤B ．13xC ．26x -<<D ．61x -<<13、不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x ≥ B ．0x <或2x > C ．2x <-D ．12x ≤-或3x ≥14、王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15、盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16、唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件17、2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18、2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19、“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分条件D．必要条件20、钱大姐常说“好货不便宜”，她这话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21、除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22、已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥23、已知:12p x +≥，:q x a ≥，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a >C ．3a ≥-D ．3a >-24、若1x a -<成立的充分不必要条件是312x <<，则a 的取值范围（ ） A ．122a <<B ．122a ≤≤ C ．12a ≤或2a ≥D ．12a <或2a >25、已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤ D ．112a -≤<26、设p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．102a <<B ．102a ≤≤C ．102a ≤<D ．102a <≤27、已知条件p ：2230x x --≤，条件q ：x a ≤，若p 是q 的充分非必要条件，利用教材中《子集与推出关系》的方法，求出实数a 的取值范围.28、设{|1A x x =≤或4},{|22}x B x a x a ≥=-<<. （1）若AB R =，求实数a 的取值范围；（2）设:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.。
高中数学必修一课件：充分条件与必要条件
2．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是( A )
A．x>4
B．x>0
C．x>2
D．x<2
解析 若x>4，则x>3.故选A.
3．对于任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( B ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析 ∵a＝b⇒ac＝bc，∴“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件，∴“ac＝ bc”是“a＝b”的必要条件．
【解析】 p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|
－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以3aaa≤ <≥03－ ，2，⇒－23≤a<0，所以a的取值 范围是－23≤a<0.
探究3 记A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则 (1)p是q的充分条件，那么A⊆B. (2)p是q的必要条件，那么B⊆A.
答：等价．
课时学案
题型一 充分条件的判断
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R. (2)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y. (3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. (4)在△ABC中，若A>B，则BC>AC. (5)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形．
探究1 充分条件的两种判断方法： (1)定义法：
(2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若 p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
人教版高中数学课件-充分条件与必要条件
錯解
錯因剖析
(-1,5) 忽略了端點1與a-4重合、a+4與3 重合的情況
【防範措施】 1.集合關係中等號的處理 在已知兩集合間的關係求參數的值或範圍時,等號問題常有以下 兩種處理方法:一是借助數軸分析法,二是假設等號成立求出字 母的值,再驗證其是否符合題意.如本例中a-4≤1,a+4≥3都能夠 取到等號. 2.轉化思想的應用 在由充分和必要條件轉化為集合間的關係時,要分清是包含關係 還是真包含關係,如本例應是Q P.
【微思考】 (1)若p是q的充分條件,p是惟一的嗎? 提示:不一定惟一,凡是能使q成立的條件都是它的充分條件,如 x>3是x>0的充分條件,x>5,x>10等都是x>0的充分條件. (2)“若﹁p,則﹁q”為真命題,則p是q的什麼條件? 提示:“若﹁p,則﹁q”為真命題,則其逆否命題“若q,則p”也為 真命題,即q⇒p,故p是q的必要條件.
1.2 充分條件與必要條件 第1課時 充分條件與必要條件
பைடு நூலகம்
1.充分條件、必要條件的定義是什麼? 問題
2.如何判斷p是q的充分條件,q是p的必要條 引航
件?
充分條件、必要條件 (1)前提:“若p,則q”形式的命題為_真__命__題__. (2)條件:p⇒q. (3)結論:p是q的_充__分__條件,q是p的_必__要__條件.
來判斷充分條件、必要條件為: ①若P⊆Q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件. ②若p是q的充分條件,即p⇒q,相當於P⊆Q,即:要使x∈Q成立, 只要x∈P就足夠了——有它就行;為使x∈P成立,必須要使 x∈Q——缺它不可.
【易錯誤區】弄錯兩個集合間的關係而致誤
【典例】(2014·成都高二檢測)已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1
高中数学新人教A版必修一141充分条件与必要条件课件48张
【加练·固】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的 充分条件? (1)若ab＞0,则a＞0,b＞0. (2)若两个三角形相似,则两个三角形全等.
(3)若x为无理数,则x2为无理数. (4)若x=1,则x2-4x+3=0.
【解析】(1)ab＞0⇒a＞0,b＞0或a＜0,b＜0 a＞0,b＞0 此p q,所以p不是q的充分条件. (2)因为两个三角形相似不一定全等, 因此p q,所以p不是q的充分条件.
A.x＜0
B.x≥0或x≤-1
C.x＞0
D.x≤-1
2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p 的必要条件? 世纪金榜导学号 (1)若|x|=|y|,则x=y; (2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形; (3)p:x=1,q:x-1= x 1 ;
【解析】1.选C.因为x＞4⇒x＞3.14, 所以x＞3.14的一个充分条件是x＞4. 2.(1)由于Q R,所以p⇒q, 所以p是q的充分条件.
(2)由于a＜b,当b＜0时a, ＞1;当b＞0时a , ＜1,
b
b
因此p q,所以p不是q的充分条件.
(3)由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q,
所以p是q的充分条件.
提示:(1)×.因为“x2=9” “x=3”. (2)×.因为“x＞0” “x＞1”. (3)×.不唯一,如x＞3,x＞5,x＞10等都是x＞0的充分条件.
2.x,y∈R,下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条
件? ( )
A.x+y=0
B.x2+y2＞0
C.x-y=0
D.x3+y3≠0
【解析】选B;y2＞0,所以“x2+y2＞0”是“xy≠0” 的必要条件.
高中数学同步教学课件 充分条件、必要条件
同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练 1 判断下列各题中,p是否是q的充分条件:
(1)p:x2=y2,q:x=y;
若x2=y2,则x=y或x=-y,
因此p⇏q,∴p不是q的充分条件.
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0;
思
感
悟
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是
求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集
合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
跟踪训练 3 已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0};p:x∈A,q:x∈B.
C中,因为p⇒q,所以q是p的必要条件;
D中,因为对顶角相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件.
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5.使x>1成立的一个必要条件是
A.x>0
√
B.x>3
C.x>2
D.x<2
只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出.
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随堂演练
1.若p是q的充分条件,则q是p的
A.充分条件
B.必要条件
人教版数学高中2-1课件《充分条件与必要条件》
在数学中的应用
函数关系
在数学中，函数关系是一种重要的概 念。充分条件与必要条件的概念可以 帮助我们更好地理解函数的各种性质 ，例如单调性、奇偶性等。
证明方法
在数学证明中，充分条件与必要条件 的运用是非常常见的。它们可以帮助 我们更加严谨地证明各种数学命题， 确保我们的证明过程严密、准确。
03 充分条件与必要条件的证 明方法
02 充分条件与必要条件的应 用
在逻辑推理中的应用
推理依据
充分条件与必要条件是逻辑推理中的重要概念，它们帮助我 们理解命题之间的逻辑关系，从而进行有效的推理。
逻辑结构
充分条件和必要条件在逻辑结构上有着明确的区别。充分条 件是一个命题的真，能够确保另一个命题的真；而必要条件 则是另一个命题的真，必须要求这个命题的真。
逻辑推理实例
总结词
逻辑推理是充分条件与必要条件的重要应用领域，通过实例解析可以帮助学生更好地理 解概念。
详细描述
在逻辑推理中，充分条件与必要条件的概念经常被使用。例如，在推理“如果天下雨， 那么地面会湿”中，“天下雨”是“地面湿”的充分条件，因为只要下雨就一定会导致 地面湿。而“地面湿”是“天下雨”的必要条件，因为如果地面湿了，那一定是因为之
填空题及解析
填空题1
若``若$p$则$q$''是真命题，则``若非$q$则 非$p$''也是真命题，这两个命题在逻辑上 称为____命题。
解析
根据逆否命题的定义，若``若$p$则$q$''是 真命题，则其逆否命题``若非$q$则非$p$'' 也是真命题，这两个命题在逻辑上称为逆否
命题。
解答题及解析
前下过雨。
生活实例
新人教版高中数学必修一《1 1.4 充分条件与必要条件》课件
p 不是 q 的_充__分___条件 q 不是 p 的__必__要__条件
■名师点拨 对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释 (1)“若 p，则 q”形式的命题为真命题． (2)由条件 p 可以得到结论 q. (3)p 是 q 的充分条件或 q 的充分条件是 p. (4)只要有条件 p，就一定有结论 q，即 p 对于 q 是充分的． (5)q 是 p 的必要条件或 p 的必要条件是 q. (6)为得到结论 q，具备条件 p 就可以推出． 显然，“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”表述的是 同一个逻辑关系，即 p⇒q，只是说法不同．
1.4 充分条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
考点 充分条件、必要
条件的概念
充分条件、必要 条件的判断
充分条件、必要 条件的应用
学习目标 理解充分条件、必要条 件、充要条件的概念 结合具体命题掌握判 断充分条件、必要条 件、充要条件的方法
掌握证明充要 条件的一般方法
核心素养 数学抽象 逻辑推理 逻辑推理
(2)集合法 对于集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，具体情 况如下： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件．
设 p：x＜3，q：－1＜x＜3，则 p 是 q 成立的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.因为x|－1<x<3 {x|x<3}，所以 p 是 q 成立的必要
不充分条件．
设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 D.若 a＋b>0，取 a＝3，b＝－2，则 ab>0 不成立；反 之，若 ab>0，取 a＝－2，b＝－3，则 a＋b>0 也不成立，因此 “a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
高中数学 常用逻辑用语 充分条件与必要条件
必要不充分 7．如果 p⇒ / q 且 q⇒p，则称 p 是 q 的_______________
条件．
牛刀小试 4．(2012· 福建文，3)已知向量 a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则 a ⊥b 的充要条件是( 1 A．x＝－2 C．x＝5
[答案] D [解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算．
“a＋b>2c”的一个充分条件是( A．a>c或b>c C．a>c且b<c [答案] D [ 解析] B．a>c或b<c D．a>c且b>c
)
a>c 且 b>c⇒a＋b>2c，
a＋b>2c⇒ / a>c 且 b>c，故选 D.
必要条件
下列命题中是真命题的是( ①“x>3”是“x>4”的必要条件； ②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件； ③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件； ④“函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数 f(x)为奇 函数”的必要条件． A．①② C．②④ B．②③ D．①④ )
) B．x＝－1 D．x＝0
∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，
∴a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2＝2x＝0，即x＝0.
[点评] a与b垂直和共线对应的坐标之间的关系不要混淆． 即a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
5．(2014·甘肃临夏中学期中)已知函数f(x)＝x＋bcosx，其中b
牛刀小试
1．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是( A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 [gt;bc ac>bc ⇒a<b； ∵ ⇒a>b， c>0 c<0
【高中数学课件】充分条件与必要条件
从集合的观点上，首先建立与p、q相应的集 合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.
例：请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充
要”、“既不充分也不必要”填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分＿条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的充_要________条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿ 条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形” 的既＿不＿充＿分＿也＿不＿必＿要＿＿ 条件.
1 0<m<3.
2、关于x的不等式x2+ax+1≤0成立的充 分非必要条件为x2-3x+2≤0,求实数a的 取值范围。[-5/2,2)
[证明过程] (1)充分性：若 0<m<13，则 Δ＝4－12m>0， ∴方程有两个不相等的实数根.2 分 设两个不相等的实数根为 x1，x2， ∴x1＋x2＝m2 >0，x1·x2＝m3 >0， ∴x1 与 x2 同号，∴0<m<13⇒方程 mx2－2x＋3＝0(m≠0) 有两个同号且不相等的实根.5 分
解、选C,要注意a<0是一个充要条件
1、已知条件p:|4x-3|≤1； q: x2-（2a+1)x+a(a+1)≤0 若p是q的 必要非充分条件,求a的取值范围____ 解、p:1/2 ≤x≤1 ;p: x>1 或 x<1/2 q: a≤x≤a+1 q: x<a 或x>a+1 ∴0≤a≤1/2为所求
充要条件
(9“) a 1且b 1”是“a b 2且ab 1”的
充分不必要条件
10.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
1.4.1充分条件与必要条件(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册
(4)平行四边形的两组对边分别相等； 提示 若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等. (5)平行四边形的一组对边平行且相等； 提示 若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等. (6)平行四边形的两条对角线互相平分. 提示 若四边形是平行四边形，则四边形的两条对角线互相平分. 由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给 出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一.
1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. (3)充分条件、必要条件的判断. (4)充分条件与必要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围时能否取到端点值.
4、4种命题及命题的否定的真假性关系
命题
真假 对应 关系
原命题命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
注：逆命题和否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题真 假相同。
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)实数的平方是非负数；
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
知识梳理
充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
推出关系
p⇒q
p是q的 充分条件 条件关系
q是p的 必要条件
“若p，则q”为假命题 p⇏q
p不是q的 充分 条件 q不是p的 必要 条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
注意点：
(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件. (3)“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q的一个充分条 件是p”，“p的一个必要条件是q”，说的是同一个意思.
高中数学 充分条件与必要条件 PPT课件 图文
⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .
如何正确理解p是q的充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成
立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此
要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成
立的充分条件。
pq
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不 成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使 p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要 条件。
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
四、作业
课本P12习题1.2－A组2T、3T 课本P13习题1.2－B组1T
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份，
《充分条件和必要条件》课件
二、新课
复习
新课
小结
作业
练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的充分条件？ (1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2) 若x > 5，则x > 10。
3 若x2 y 2 0, 则x 0, 或y 0.
解：命题（1）（3）是真命题，命题（2）是假命题 所以命题（1）（3）中的p是q的充分条件。
一、复习引入
3、例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
复习
新课
小结
作业
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 得到 x>2ab 。
2ab，所以可以
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。 假命题
二、新课
复习
新课
小结
作业
练习4，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sin =sin 是 = 的充分条件； （4）ab = 0是a = 0的充分条件。
答：命题（1）为真命题：
命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
二、新课
复习
新课
小结
作业
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。 此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件。 2、如果命题“若p则q”为假，则记作p q。
此时称p是q的不充分条件，q是p的不必要条件。
练习1 用符号 （1） x2=y2 （2）内错角相等 （3）整数a能被6整除
1.4.1充分条件与必要条件+课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
所以 m≥4.
第22页
新教材•数学(RA) 必修•第一册
参数的范围
[误区警示] 不能正确利用充分条件或必要条件求
[示例] 已知 P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要 条件，则实数 a 的取值范围是_－__1_≤__a_≤__5___．
第16页
新教材•数学(RA) 必修•第一册
重效果·学业测试速达标
第17页
新教材•数学(RA) 必修•第一册
1．(多选题)下列命题中真命题是( AD ) A．若 xy＝1，则 x，y 互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若 ac2>bc2，则 a>b 解析：A，D 是真命题，B．平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方 形，C．平行四边形不是梯形．
真假
推出 关系
p___⇒_____q
p____⇒_/ ___q
条件 p 是 q 的__充__分____条件 p 不是 q 的__充__分____条件 关系 q 是 p 的__必__要____条件 q 不是 p 的__必__要____条件
第3页
新教材•数学(RA) 必修•第一册
对充分条件、必要条件的理解： (1)对于命题“若 p，则 q”的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号“⇒”的 推出方向，“⇒”前面是后面的充分条件，“⇒”后面是前面的必要条件． (2)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件．所谓充分，也就是说条件是充足的，条件是足够 的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若 p⇒q，则 q 是 p 的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的， 缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．
高中数学知识点：充分条件和必要条件
高中数学知识点：充分条件和必要条件一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判定法1.定义法：判定B是A的条件，实际上确实是判定B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判定即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判定。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判定有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。
若AB，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，明白得其关系（专门是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也能够叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题确实是原先命题的逆命题；单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
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（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的充分
条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 的 充分 条件。
四、作业
复习 新课 小结 作业
1、课本P14练习2（1）（2） 2、课本P14习题1.2 A组 2(1)(2) 3(1)(3)(5) B组 1
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件
二、新课
复习 新课 小结 作业
练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的充分条件？
(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
(2) 若x > 5，则x > 10。
解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 所以命题（1）中的p是q的充分条件。
二、新课
复习 新课 小结 作业
判别充分条件 与必要条件
4、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
5.判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
二、新课
复习 新课 小结 作业
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？
3.判别技巧：
q和q
p的真假。
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
能力测试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0<x <5”是“ x – 2 <3”的充分 条件。
（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形 为正方形”的 必要 条件。
一、复习引入
复习 新课 小结 作业
3、例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
得到 x>2ab 。
真命题
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。
所以并不能得到a一定为0。
③ p q，相当于P=Q ，即 P、Q
同一事物
二、新课
复习 新课 小结 作业
3.简化定义： 如果已知p q，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？
（1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
高中选修《数学2-1》（新教材）
1.2.1充分条件与 必要条件
一、复习引入
复习 新课 小结 作业
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系：
原命题
互逆
若p则q
逆命题 若q则p
互 否 互为 逆否 互 否
否命题 若 p则 q 互逆
逆否命题 若 q则 p
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
1、定义1：如果已知p q，则说p是q的充分条件。 定义2：如果已知q p，则说p是q的必要条件。 定义3：如果既有p q，又有q p，就记作 p q， 则说p是q的充要条件。
2.从集合角度理解：
① p q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q 有它就行
② q p，相当于Q P ，即 Q P 或 P、Q 缺它不行
假命题
二、新课
复习 新课 小结 作业
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。 2、如果命题“若p则q”为假，则记作p q 。
练习1 用符号
与 填空。
（1） x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
（3）整数a能被6整除
（4）ac=bc
a=b
两直线平行； a的个位数字为偶数；
二、新课
复习 新课 小结 作业
(1) 若x=y，则x2=y2。
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
(3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
二、新课
复习 新课 小结 作业
练习3 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的必要条件？
（3）sin =sin 是 = 的充分条件；
（4）ab = 0是a = 0的充分条件。
答：命题（1）为真命题：
命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
三、小结
复习 新课 小结 作业
1、定义： 2.判别步骤：
如果已知p q，则说p是q的结论。 ② 考察p
(1) 若a+5是无理数，则a是无理数。
(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
二、新课
复习 新课 小结 作业
练习4，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；