线性变换练习题

线性变换习题

一、填空题

1. 设σ是3P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=

2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为

_______________，又3

123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。

2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=，

n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。

3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220

1121-⎛⎫

⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。

4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。

5. 设A =⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡211121112，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。

6. 若n n

A P

⨯∈，且2

A E =，则A 的特征值为 。

7. 在[]n P x 中，线性变换D(()f x )'()f x =，则D 在基21

1,,,,n x x x -L 下的矩阵

为 。 8. 在22

P

⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→

⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫

= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。

9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ，

1λ2λ3λ= 。

10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，

它与 同构。

11. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。 12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则=||A 。

13. 设σ为数域P 上的线性空间V 的线性变换,若σ是单射,则1

(0)σ-= 。

14. 设三阶方阵A 的特征值为1,2,-2,则|2|A = 。

15. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基21

1,2,3,,n x x nx

-L 下的矩阵

为 。

16. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为11121321

222331

32

33a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。

17. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220

1121-⎛⎫

⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

，则σ 在基213,,ααα下的矩阵是 。

18. 设线性变换σ在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1011，线性变换τ在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1101，那么στ+在基21,εε下的矩阵为 . 19. 已知n 阶方阵A 满足2

A A =，则A 的特征值为 。

20. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为11

121321

222331

32

33a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，则σ在基321,,εεε下的 矩阵为 。

21. 在3

R 中，若向量组1(1,1,0)t α=+，2(1,2,0)α=，23(0,0,1)t α=+线性相关，则

t = 。

22. 若线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为211011121-⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，则σ在基321,,εεε下的矩阵为

矩阵为 。

23. 若n n A P ⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。

二、选择题

1. 下列哪种变换一定是向量空间[]n F x 的线性变换（ ）。

A ．()()()x x f x f +=δ

B ．()()()dx x f x f ⎰=δ

C ．()()()x f x f '=δ

D ．()()()()x f x f

x f +=2

δ

2. 当n 阶矩阵A 适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。

A ．A 有n 个不同的特征向量

B ．A 是三角矩阵

C ．A 有n 个不同的特征值

D ．A 是可逆矩阵 3. 设δ是向量空间V 上的线性变换，且

δδ22=，则δ的所有特征值为（ ）

。 A ．2 B ．0，2 C ．0 D ．0，2，1 4. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。

A ．σ()321,,x x x =()

333

123

,,x x x B ．σ()321,,x x x =()33221,,2x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()0,sin ,cos 21x x D ．()123,,x x x σ=()

21,0,0x

5. 设12,,,r αααL 是向量空间V 的线性相关的向量组，σ是V 的一个线性变换，则向量组

12,,,r αααL 在σ下的像12(),(),,()r σασασαL （ ）

。 A ．线性无关 B ．线性相关 C ．线性相关性不确定 D ．全是零向量 6. n 阶方阵A 有 n 个不同的特征值是A 可以对角化的（ ）。

A ．充要条件

B ． 充分而非必要条件

C ．必要而非充分条件

D ． 既非充分也非必要条件 7.

设σ是向量空间V 的线性变换且

2σσ=，则σ的特征值（ ）。

A ．只有1

B ．只有1-

C ．有1和1-

D ．有0和1

8. 如果方阵A 与对角阵111D ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

相似，则10

A =（ ）。 A. E B. A C. E - D. 10E

9. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n

阶单位矩阵，则（ ）。

A ．E A E

B λλ-=- B ．A 与B 有相同的特征向量和特征值

C ．A 与B 相似于同一个对角矩阵

D ．B A =

10. 设4级矩阵A 与B 相似，B 的特征值是1，2，3，4，则A 的行列式是（ ）。

A ．-24

B ．10

C ．24

D ．不能确定