2数集和确界原理.

§ 2数集和确界原理

授课章节：第一章实数集与函数一一§ 2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念 . 教学要求：

（1） 掌握邻域的概念；

（2）

理解实数确界的定义及确界原

理，并在

有关命题的证明中正确地加以运用 教学重点 教学难点 教学方法 教学程序

上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§ 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！

1、证明：对任何 x^R 有：(1) |x-1|+|X-2|31 ； (2)

|x-1|+|x-2| + |x-3|>2. ((1 7| X —1]=|1+(X -2)|>1 —

2、证明：|x|-1 y| ^x-y|.

3、设a,b 亡R ，证明：若对任何正数S 有a +b vs ，贝U a

4、设X, y 亡R, X > y ，证明：存在有理数r 满足y c r c x.

［引申］:①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一 .而 不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小 题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭 空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用 .提请注意这种差 别，尽快掌握本门课程的术语和工具.

本节主要内容：

1、 先定义实数集R 中的两类主要的数集一一区间与邻域；

2、 讨论有界集与无界集；

3、 由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理） .

、区间与邻域

1、区间（用来表示变量的变化范围）

、几口 . 有限区间甘+

设a,b 匸R 且a

［无限区间

确界的概念及其有关性质（确界原理）. 确界的定义及其应用.

讲授为主.

先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课

X-2 ’ X-1 + X-2 >1) ((2)|x —1|+|x -2| >1,|X -2|+|X -3 >1,|x

-2+|X -3>2.三式相加化简即可）

开区间:{x € R|a £X v b } = (a,b)

闭区间:{x € R|a

半开半闭区间严开区间：*壬R Ex

亡 R|a c x

{x 迂 R | X > a } =[ a,母).

{x 亡 R| X

无限区间《 {x 迂R| X A a } = (a,母).

{x ^ R|x c a } =(Y,a). j{x € R| Y < X < 母} = R.

2、邻域

联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，至U 底哪一类是我

们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？

(1) a 的6邻域：设a €R P ：>0，满足不等式|x —a|v5的全体实数x 的集合称为点a 的6

§ 5 a +

U (a; 6) = {x |x -a "} = (a - 5,a + 6).

其中a 称为该邻域的中心，6称为该邻域的半径.

点a 的空心6邻域

U o (a;6) ={x 0 v | X -a|<6} = (a -5,a)・(a,a + 6) U U o (a).

U (母)={x |x >M },U(Y ) ={

、有界集与无界集

1、定义1 (上、下界)：设S 为R 中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切X-S 都有

xL ），则称S 为有上（下）界的数集.数M （L ）称为S 的上界（下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S 为有界集.

邻域，记作U(aP)，或简记为U(a)，即

(2) (4) (5) a 的6右邻域和点a 的空心6右邻域

U d a P )=[a,a +6)L u 』a)={ U ；(a P )=(a,a +5)[U 0(a)={x 点a 的6左邻域和点a 的空心6左邻域

U -(a p ) =(a-6,a]U U_(a)显x |a -6 Ul(a;6) =(a-6a)Uula) ={ 处邻域，+处邻域，亠邻域

U D ={x ||x|A M },(其中M 为充分大的正数)；

X a < X C a

+6 }; a e x c a

e x "};

X a

闭区间［a,b］、开区间（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集,

集合E={y y=sinx, x€（-^, +处）}也是有界数集.

若数集S不是有界集，则称S为无界集.

（-处，+处），（-处，0）, （0, +处）等都是无界数集,

1

y = -，X €（ 0,1）、也是无界数集.

x

注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界与S的关系如何？看下例:

例1讨论数集N + = {n|n为正整数}的有界性.

解：任取n。壬N+,显然有n^1，所以N+有下界1；

但N机上界.因为假设N+有上界M,则M>Q按定义，对任意n。-仲，都有n。< M，这是

不可能的，如取n。=［M ］+1（符号M 表示不超过M的最大整数），则n。亡N +，且n。〉M .

综上所述知：N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集.

例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

［问题］:若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）.

三、确界与确界原理

1、定义

定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（1）对一切X-S,有x

n是S的上界）；（2）对任何a

丛定义中可以得出;一上确界就是上界中的最小者“亠

命题1 M =supE充要条件

1）V x亡E,x

2）V s :>0, m x。迂S,使得X。A M —E .

证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则W先>0,使得V X亡E,均有x< M - ％，与M是上界中最小的一个矛盾.

充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即丽。是上界，但M>M。.令

z=M -M^0，由2），至0亡E，使得X0 >M -s = M0，与M。是E的上界矛盾.

定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数©满足：（1）对一切X迂S,有x>£（即© 是S