周世勋量子力学教案5
5.周老师 量子力学的诞生、发展与应用 2015-3-17
局域实在论。
| 1 (| 1 , 1 | 1 , 1) 2 2 2 22
索尔维会议
比利时的实业家欧内斯特·索尔维创立了索尔维会议。
1911年，第一届索尔维会议在布鲁塞尔召开，以后每3 年举行一届。1927年，第五届索尔维会议在比利时布 鲁塞尔召开了，因为发轫于这次会议的阿尔伯特·爱因 斯坦与尼尔斯·玻尔两人的大辩论，这次索尔维峰会被 冠之以“最著名”的称号。
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典 物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电 动力学，电子环绕原子核运动是加速运动，因而不 断以辐射方式发射出能量，电子的能量变得越来越 小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失 能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了， 但是，现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之 外，还有一些其它实验现象在经典理论看来是难以 解释的。
RH
周世勋量子力学教案
周世勋量子力学教案一、引言1. 课程目标：使学生掌握量子力学的基本概念、原理和方法，了解量子力学在物理学、化学、材料科学等领域的应用。
2. 教材：《量子力学》（周世勋著），重点章节：第一章量子力学的基本概念3. 教学方法：讲授、讨论、练习相结合，注重培养学生解决问题的能力。
二、量子力学的基本概念1. 量子与量子化：引入量子概念，解释量子化的意义，举例说明量子化的现象。
2. 波粒二象性：介绍光的波粒二象性，讲解电子的波粒二象性，探讨波粒二象性的实验证据。
3. 叠加态与叠加原理：讲解量子态的叠加，解释叠加原理，举例说明叠加原理的应用。
4. 测量与不确定性原理：介绍测量原理，讲解不确定性原理，探讨不确定性原理在实际应用中的意义。
三、一维势阱与量子束缚态1. 一维势阱的基本概念：介绍一维势阱的定义，讲解势阱的图像及其物理意义。
2. 量子束缚态的求解：讲解薛定谔方程的解法，探讨束缚态的能量和波函数。
3. 束缚态的性质：分析束缚态的稳定性，讲解束缚态的能级间距。
4. 束缚态的跃迁：介绍束缚态跃迁的概念，讲解跃迁概率与矩阵元素的关系。
四、势垒穿透与量子隧道效应1. 势垒穿透的基本概念：引入势垒穿透的概念，解释势垒穿透的物理意义。
2. 量子隧道效应：讲解量子隧道效应的实验现象，探讨量子隧道效应的微观机制。
3. 隧道电流与势垒高度的关系：分析隧道电流与势垒高度的关系，讲解势垒高度对隧道电流的影响。
4. 隧道效应的应用：介绍隧道效应在实际应用中的例子，如隧道二极管、隧道晶体管等。
五、哈密顿算符与量子态的演化1. 哈密顿算符的引入：讲解哈密顿算符的概念，解释哈密顿算符在量子力学中的作用。
2. 量子态的演化：介绍量子态演化的概念，讲解量子态演化的规律。
3. 演化算符与时间演化：讲解演化算符的定义，解释演化算符与时间演化的关系。
4. 量子态的叠加与干涉：分析量子态叠加与干涉的物理意义，讲解叠加与干涉在实验中的应用。
六、量子纠缠与非局域性1. 量子纠缠的概念：介绍量子纠缠的定义，解释纠缠态的意义。
量子力学教程-周世勋-课程教案(轻松学量子力学)
量子力学讲义一、量子力学是什么？量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。
研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。
二、量子力学的基础与逻辑框架1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性：光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。
2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，hp λ=de Broglie 关系（对粒子）： E =ω，pk =总之，),(),(k p Eω⇔3.（派生出的）三大基本特征：几率幅描述 ——(,)r t ψ量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2≥∆⋅∆p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设(1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。
(2)、第二公设 ——算符公设(3)、第三公设 ——测量公设 ⎰=r d r Ar A)(ˆ)(*ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用四、课程教学的基本要求教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社第一章 绪论§1.1 辐射的微粒性1.黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。
G . Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即)T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。
辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。
周世勋量子力学教案5
§5.1 非简并定态微扰理论如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰的影响逐级考虑进去。
代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差, 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
对任意一个归一波函数能量平均值即用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数时，的平均值才等于。
量子力学教程(第三版)周世勋课后答案详解
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=rE d rer U )( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr er U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
《量子力学教学教程》周世勋课后答案解析
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
《量子力学教程》周世勋_课后答案
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学+周世勋(全套课件)
BCS理论
阐述BCS理论的基本思想， 即电子通过交换声子形成 库珀对，从而实现超导。
高温超导
介绍高温超导材料的研究 进展和机制探讨。
量子计算机原理简介
量子比特
阐述量子比特的概念及其与经典比特的区别，介绍量子态的叠加和 纠缠等特性。
量子门操作
介绍常见的量子门操作（如X门、Z门、Hadamard门等），以及它 们对量子态的变换作用。
Born近似方法
Born近似原理
在散射过程中，当入射粒子与靶粒子的 相互作用较弱时，可以采用Born近似方 法求解散射问题。该方法将散射振幅表 示为入射波函数与散射势的乘积的积分 形式。
VS
Born近似应用
适用于处理弱相互作用下的散射问题，如 低能电子与原子的散射、中子与原子核的 散射等。通过Born近似方法，可以得到 散射振幅的解析表达式，进而求得散射截 面和微分截面等物理量。
能级与波函数的关系
无限深势阱中的能级是离散的，波函数与能级之间存在对应关系。
粒子在阱中的运动规律
粒子在无限深势阱中做简谐振动，振动频率与能级差有关。
一维方势阱
1 2
方势阱中的波函数
描述粒子在一维方势阱中的空间分布概率。
能级与波函数的关系
方势阱中的能级也是离散的，波函数与能级之间 存在对应关系。
3
粒子在阱中的运动规律
势阱和势垒的穿透
分析粒子在势阱和势垒中的穿透 现象，以及相关的穿透系数和反 射系数的计算。
能级和波函数的求
解
阐述如何利用WKB近似方法求解 体系的能级和波函数，包括连接 公式的应用和计算精度的提高。
05
散射理论
散射截面和散射长度
散射截面
描述粒子在散射过程中与靶粒子 发生相互作用的概率，与入射粒 子波长、靶粒子性质和相互作用 类型有关。
量子力学 周世勋5-8
用周期微扰公式)(F 2k m 2mk m k ω±ε−εδπ=ω→h h讨论光的发射与吸收，其中)e e (F ˆ'Hˆt i t i ω−ω+=代表原子在光波电磁场中的附加能量。
一、发光机制设原子体系的能谱为：LL L <ε<<ε<<ε<εm k 211.原子由高能级(m ε)⎯⎯⎯→⎯transition低能级(k ε)：有自发跃迁(不受外界影响)和受激跃迁(受外界影响，如辐射场)，即自发发射和受激发射两种，二者都有能量k m mk ε−ε=ωh 从原子中发射出来。
2.原子由低能级(k ε)⎯⎯⎯→⎯transition 高能级(m ε)：只有原子从外界吸收能量k m mk ε−ε=ωh 的情况下(如吸收能量为mk ωh 的光子)才能发生跃迁，即光的吸收。
周期微扰公式)(F 2k m 2mk m k ω±ε−εδπ=ω→h h只能计算受激发射，对自发发射无能为力，自发发射是原子与真空态(电磁场基态)相互作用的结果，要用量子电动力学处理，在这里不讨论。
本节我们采用半经典理论，即Einstein 理论，建立受激发射和自发发射的关系,通过周期微扰公式)(F 2k m 2mk mk ω±ε−εδπ=ω→h h算出受激发射,进而求得自发发射。
二、Einstein 的发射和吸收系数(1917年建立)1.定义发射系数和吸收系数Einstein 引进了三个系数:mk A —单位时间内原子从m ε能级自发跃迁到k ε能级同时发射能量为mk ωh 的光子的几率，称为自发发射系数；)(I B mk mk ω—单位时间内原子从m ε能级受激跃迁到k ε能级同时发射能量为mk ωh 的光子的几率，称mk B 为受激发射系数；其中ωωd )(I 是作用于原子的光波在ω+ω−ωd 频率范围内的能量密度，)(I ω是单位频率间隔内的能量密度。
)(I B mk km ω—单位时间内原子吸收能量为mk ωh 的光子，从k ε能级受激跃迁到m ε能级的几率,称km B 为吸收系数。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章
E(2) n
l
a(1) l
Hˆ
(1) nl
l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n
E(0) l
l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n
E(0) l
其中： Hˆ l(n1) Hˆ n(1l)*
(因 Hˆ l(n1)
(0)* l
Hˆ
(1)
(0) n
dx
[
Hˆ
(1)
E(1) n
)
(0) n
（2）
2 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
（3）
逐级求解。
6
一级近似：
（1）能量一级近似 由（2）式：
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
(Hˆ n(1)
E(1) n
En(0)
(1) n
2 En(0)
(2) n
En(1)
(0) n
E2 (1) (1) nn
E3 (1) (2) nn
L
5
比较的同次项
0 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(0) n
0
（1）
1 :
(Hˆ n(0)
E(0) n
)
(1) n
《量子力学教程》教案
《量子力学教程》教案量子力学教案周世勋，《量子力学教程》，高教出版社§1.1经典物理学的困难一、经典物理学是“最终理论”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。
那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：机械运动（v<<c时）←牛顿力学< bdsfid="68" p=""></c时）←牛顿力学<>电磁现象←麦克斯韦方程→光现象（光的波动）热现象←热力学、统计物理学（玻耳兹曼、吉布斯等建立）有人认为：物理现象的基本规律已经被揭穿，剩下工作只是应用和具体的计算。
这显然是错误的，因为“绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的，因而在绝对真理的长河中，人们在各个一定发展阶段上的具体认识只具有相对的真理性”。
二、经典物理学的困难由于生产力的巨大发展，对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个发展阶段。
就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象无法用经典理论解释。
1.黑体辐射问题2.光电效应问题3.原子的线状光谱和原子结构问题4.固体在低温下的比热问题三、量子力学的两个发展阶段1.旧量子论（1900-1924）以普朗克、爱因斯坦、玻尔为代表2.量子论（1924年建立）以德布罗意、薛定谔、玻恩、海森堡、狄拉克为代表四、学习上应注意的几点：1. 牢记实验是检验真理的标准2. 冲破经典理论的束缚3. 建立创造性思维方法4. 正确认识微观现象的基本特征§1.2光的波粒二象性1.光的波动性最典型的实验是1802年的杨氏干涉实验和后来的单缝、双缝衍射实验。
相干条件：λδk = (k=0，1± ，2±，……)加强2)12(λδ+=k 相消或位相差 =λπδ2=2k π 加强=(2k+1)π 减弱2.黑体辐射热辐射同光辐射本质一样，都是电磁波对外来的辐射物体有反射和吸收的作用，如果一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体为绝对黑体（简称黑体），它是一种理想化模型。
量子力学+周世勋(全套课件)
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
（三）Compton 散射 -光的粒子性的进一步证实。
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一 系列线系，它们都可以用下面公式表示：
1 1 RH C 2 2 n m n m
氢原子光谱 谱系 Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund m 1 2 3 4 5 n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,...... 区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
（二）经典物理学的困难
但是这些信念，在进入20世纪以后， 受到了冲击。经典理论在解释一些新 的试验结果上遇到了严重的困难。 （1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
周世勋量子力学教案
周世勋量子力学教案一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。
五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。
二力学量算符的性质1.力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
厄密算符的本征值必为实数证：设为厄密算符取是实数表示力学量的算符为厄密算符2．力学量算符为线性算符态叠加原理决定了力学量算符为线性算符【证】：设也应是体系的态即为线性算符三厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
周世勋量子力学课件第五章
( x , t ) an ( t )un ( x ) aq ( t )uq ( x )dq
n
a n ( t ) aq ( t )
un * ( x ) ( x , t )dx uq * ( x ) ( x , t )dx
归一化条件则变为：
n
an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1
第五章 态和力学量表象
本 章 要 求
1 掌握表象的概念和量子态在不同表象下的表示。
2 掌握算符用矩阵表示的概念和量子力学公式的矩阵 表述。 3 掌握不同表象之间通过幺正变换联系起来的概念。
4 掌握狄喇克符号。 5 了解一维线性谐振子问题的代数解法。 6 掌握Hellmann – Feynman 定理及应用
m m n m n
m n
n
( x)dx
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
am * (t )an ( t ) mn
m n
an * (t )an (t ) 1
求坐标表象中只是该矩阵的行列不是可数的而是用连续下标表示的矩阵元dx要计算此积分需要知道返回一平均值公式二本征方程三schrdinger方程的矩阵形式返回坐标表象平均值公式dx222112112221121122211211mnmnmnmn方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零22211211久期方程求解此久期方程得到一组值
量子力学第5章 周世勋
,
(0)
(0) k
Ek Ek
(0)
k k
(0)
2. 一级近似 ( H 0 E
0
( 0)
)
(1)
(E
(1)
W )
(0)
为求 E n1 ，以 n 左乘上式两边，并对空间积分：
n
( 0 )*
ˆ (H
0
n
( 0)
E n ) d E n
5.1 非简并定态微扰理论
问题：求解非简并的能量本征值和能量本征态 方法：用微扰的近似方法求解定态薛定谔方程
设体系的哈密顿算符 H不显含时间
其能量本征值方程为 : H E
系统满足以下条件：
1.假定体系的哈密顿算符 H 可以分成两部分：
H H 0 H H 0 W
1
ˆ H
(0)
n
(0)
En
(0)
(0) n
(3)
ˆ 而 H 相对很小，可视为加在 Hˆ ( 0 ) 上的微扰。现在的 ˆ 和 0 ，求出相应的修正项以得到 任务是通过 H n E 和 的近似解，为此，引入一个很小的实数 ， ˆ 并将 H 表示为
(4) ˆ H W 相应地,将 E n 和 n 表为实参数 的级数形式：
Transition Probability
5.6与时间有关的微扰理论
Perturbation theory with time
5.7 跃迁几率
Transition Probability
5.8光的发射和吸收
Light emission and absorption
5.9选择定则
Selection rule
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令
讨论： 函数是能量守恒条件的体现。
当 ，只有 时，跃迁几率才不为零，即体系由 态跃迁到 态，发射出能量 的光子。
当 时 跃迁几率不为零，体系吸收能量 ，由 态跃迁到 态。
能量时间测不准关系
确定， 不确定
t测量时间间隔
一般情况: 。
§5.8 光的发射与吸收
光的吸收
自发跃迁 不受外界影响，
受激辐射 在外界作用下
当无外界作用时，原子中的电子处于定态按量子力学的观点它应永远处在这个定态，不可能自发跃迁至较低能级并辐射出光子。而要想达到辐射平衡必须有自发跃迁，只因为我们把光子看成了经典的电磁场，只有用量子电动力学才能彻底解释这一现象。
一．自发辐射和爱因斯坦理论
爱因斯坦建立了一套理论，他先假设同时存在自发辐射和受激辐射，当体系和辐射场达到热平衡后，用平衡条件来建立自发辐射与受激辐射之间的关系，利用量子力学含时微扰论求出受激辐射系数，再利用平衡条件给出原子体系的自发辐射系数。
没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除
① 当 时
② 当 时
③ 当 时， 和 为不同时为零的常数。
§5.4 变分法
应用微扰论 应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
对任意一个归一波函数
能量平均值
即
用任意波函数 算出 的平均值总是大于体系基态能量，而只有当 恰好是体系的基态波函数 时， 的平均值才等于 。
要确定 ，需求出 ，将 代入上式，可求出 。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应
斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)
下面研究n=2时的能级分裂现象：
n=2,有4个简并度
求
只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零
和 不为零
为实的厄密算符
带入久期方程
将上时代入式(2)
以 左乘上式，对整个空间积分
令
上式化简为：
③求能量二级修正
把 代入(3)式， 左乘方程（3）式，对整个空间积分
左边为零
讨论：（1）微扰论成立的条件：
(a) 可分成 ， 是问题主要部分，精确解已知或易求
(b) <<1
（2）可以证明
例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
由热平衡时，黑体辐射时的普朗克公式
其中
比较上式两边：
由麦克斯韦－玻尔兹曼分布律可知
而 ,如果没有自发辐射，不可能达到热平衡。
光为电磁场，场强是周期变化的，原子在光的照射下，实际上是受到一周期性微扰。
体系在t=0时,受
与时间无关
本征函数:
讨论：当 ,
即第二项正比于时间t，第一项不随时间增加，因此 第二项起主要作用。同样 时，第一项 ，第一项起主要作用。
时，跃迁几率很小，因此只有 或 时，才能出现明显跃迁。也就是说，只有当外界微扰含有频率 时，体系才能从 态跃迁到 态，体系吸收或发射的能量是 ，这是共振现象。
§5.1 非简并定态微扰理论
如何分？假设 本征值及本征函数较容易解出或已有现成解， 是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰 的影响逐级考虑进去。
代入方程
同次幂相等
（ （1）
(2)
(3)
①求能量的一级修正
(2)式左乘 并对整个空间积分
能量的一级修正 等于 在 态中的平均值。
②求对波函数一级修正
将
仍是方程(2)的解，选取a使展开式不含
【解】
是 的偶函数
利用递推公式波函数Fra bibliotek一级修正利用能级移动可以直接准确求出
令：
§5.2 简并情况下的微扰理论
假设 是简并的
k度简并
已正交归一化
代入上式
以 左乘上式两边，对整个空间积分
左边
右边
不全为零解的条件是
由久期方程可得到能量一级修正 的k个根
由于 具有某种对称性，因此不考虑 时，能级是k度简并的,考虑 后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
由
得：
严格解为
§5.5 氦原子基态
氦原子：原子核带正电2e，核外两个电子
核固定
将z看作参量
实验微扰论变分法
§5.6 与时间有关的微扰论
一般形式的薛定谔方程 与时间有关
如 有分离的能量本征值
通过分离变量
对任意一态
设在t=0时刻，体系处于能量的某个本征态
即 即
如果t>0时， （不含时间）
则体系一直保持
如t>0时，哈密顿量加上一微扰，（通常是含时间的 ）状态将发生变化，这时
如 有简并
如初态有简并
即对末态求和，初态求平均。
§5.7 跃迁几率
一．常微扰
t=0,状态为 ， ， 与时间无关。
利用
性质:
x=0
令：
再利用
跃迁速率
讨论：（1）对常微扰，当作用时间相当长情况下，跃迁几率与时间无关。
（2）只在末态能量 的范围中才有显著跃迁几率，可看出只有当 连续变化时才有意义。用 表示体系末态的态密度，则 表示 范围的末态数目。
变分法求基态能量的步骤：
（1）.选取含有参量 的尝试波函数 。
根据具体问题的特点，选数学形式上较简单，物理上也较合理的试探波函数。
（2）.算出平均能量 ，然后由 ，求出 的最小值，所得结果就是 近似值。
例：设氢原子的基态试探解取为 ，N为归一化常数， 为变分参数，求基态能量并与精确解比较。
【解】由归一化条件
因此从初态到末态跃迁几率是各种可能跃迁几率之和
（黄金规则）
末态是自由粒子动量的本征函数时的态密度：
箱归一化
每一组 的值确定一个态
动量在 范围内态的数目
不变， 不变
为能量为 （或动量为 ）单位立体角的态密度。
二．周期性微扰
在光的照射下，原子可能吸收光子而从低能级跃迁到较高能级或从较高能级跃迁到较低能级而放出光子。这种现象分别称为光的吸收与受激辐射。
三个系数：
, 的自发发射系数，单位时间内由 的几率。
,受激发射系数， 为单位时间由 的跃迁几率， 为外加电磁场的能量密度。
吸收系数， 为单位时间原子由 的跃迁几率。
单位时间 的几率，
单位时间 的几率，
对多个原子的体系，
当这些原子与电磁辐射在绝对温度T下处于平衡时,
由麦克斯韦－玻尔兹曼分布律,
K:玻尔兹曼常数
将不再是 能量本征态 。
能量本征态为 出现的几率，也就是原来 状态跃迁到 的跃迁几率。考虑 后，如何求 ？
将 代入方程
利用
上式简化为
以 左乘上式，对整个空间积分
上式是薛定谔方程在 能量表象中的形式
零阶:
一阶:
考虑到一级修正
几率：
讨论：（1）利用 的厄密性,
在一级近似下,
（2）对简并情况下，不能由此得出从能级 的跃迁几率等于从能级 的几率。计算 的跃迁几率。