数学物理方程与特殊函数期末考试试题卷子2011
高2011级下期期末考试数学参考答案
成都七中2008-2009学年下期高2011级期末考试数学试卷参考答案及评分标准命题人:邱旭 审题人:魏华二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.2; 14.{x|1<x ≤2}; 15.4π; 16.等腰三角形. 三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.解:(1)由已知得f(x)=a ·b =3sinxcosx-cos 2x ……………………(2分) 221223x cos x sin +-= ……………………………(4分) =sin(2x 6π-)21-. ………………………………(6分) 所以函数f(x)的最小正周期T=π.………………………………(8分)(2)当x ∈[0,2π]时,6π-≤2x 6π-≤65π. …………………………(9分) 由函数y=sinx 的单调性,可知21-≤sin(2x 6π-)≤1.………(11分) 所以f(x)的值域是[-1,21].……………………………………(12分) 18.解:(1)由已知得2222αsin αcos αcos αsin -=2,即222222αcos αsin αcos αsin ⋅-=2. ……………(2分) 亦即=-sin αcos α22,于是tan α=-1.…………………………………(4分) 又因为α∈)2,2(ππ-,所以α=4π-.………………………………(6分) (2)由题设条件及(1)得cos(β4π-)=53.所以sin2β=sin[2(β4π-)2π+]=cos2(β4π-) ………………(9分) =2cos 2(β4π-)-1=2•254⎪⎭⎫ ⎝⎛-1=257. ……………………………(12分) 或解:由cos(β4π-)=54得,22(cos β+sin β)=54. …………………(8分) 平方得21(1+sin2β)=2516.………………………………………(10分) 解得sin2β=257.…………………………………………………(12分) 19.解:由已知得,a •b =|a |•|b |cos120º=-2,所以|a |•|b |=4. ………(3分)(1)由|a |=2得,|b |=2.于是(a -b )•c =a •c -b •c=2•|c |cos120º-2•|c |cos120º=-|c |+|c |=0.所以(a -b )⊥c . …………………………………………………(6分)(2)由a +b +c =0得c =-(a +b ),所以 |c |2=c 2=(a +b )2=a 2+b 2+2a •b =|a |2+|b |2-4.………………(8分) 又因为|a |•|b |=4,所以|a |2+|b |2≥2|a |•|b |=8.(当且仅当|a |=|b |=2时“等号”成立) ………………………(10分) 故|c |2≥4,即|c |的最小值为2. ………………………………(12分)20.解:(1)由S ΔABC =3得absinC=23.………………………………………(2分)由a 2+b 2=c 2+4及余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 得,abcosC=2.………(4分) 两式相除,得tanC=3,从而C=60º.………………………………(6分)(2)结合余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 及正弦定理得sin 2C=sin 2A+sin 2B-2sinAsinBcosC.………………………………(9分)由C=60º得sin 2A+sin 2B-sinAsinB=43. …………………………(12分) 或解:由C=60º得sin 2A+sin 2B-sinAsinB=sin 2A+sin 2(120º-A)-sinAsin(120º-A)…………………………(8分)=sin 2A+(23cosA+21sinA)2-sinA(23cosA+21sinA) …………(10分) =43(sin 2A+cos 2A)=43.……………………………………………(12分) 21.解:(1)由题意得)1()122x xx (x +-+≤0,即21)1(x x x x -+-≤0. 整理得23)1)(1(xx x +-≤0,即22)1)(1)(1(x x x x x +-+-≤0. …………(3分) 由于x 2-x+1>0对x ∈R 恒成立，所以2)1)(1(x x x +-≤0. 于是原不等式的解集为{x|-1≤x ≤1且x ≠0}. …………………(6分) (2)当k ≥2时,21k <)1(1-k k =11-k -k1(k ≥2,n ∈N). ………………(8分) 所以当n ≥2且n ∈N 时,f(1)+f(21)+f(31)+…+f(n 1) =(1+221+231…+21n )+(1+2+3+…+n) <[1+(1-21)+(21-31)+…+(11-n -n1)]+(1+2+3+…+n) =(2-n1)+2)1(+n n …………………………………………………(10分) <2+2)1(+n n 242++=n n . 又当n=1时,2<3,不等式显然成立.故f(1)+f(21)+f(31)+…+f(n 1)242++<n n (n ∈N *).…………(12分) 22.证明:(1)(ax 2+by 2)-(ax+by)2=a(1-a)x 2+b(1-b)y 2-2abxy. ……………(2分)由a+b=1得,上式=ab(x 2+y 2-2xy)=ab(x-y)2.……………………(4分) 由a>0,b>0得ab(x-y)2≥0.所以原不等式成立. ………………(6分) 或证:因为a+b=1,所以(ax 2+by 2)=(a+b)(ax 2+by 2)=a 2x 2+b 2y 2+ab(x 2+y 2). ………………(2分) 又因为x 2+y 2≥2xy,且a>0,b>0,所以ab(x 2+y 2)≥2abxy.………(4分) 故a 2x 2+b 2y 2+ab(x 2+y 2)≥a 2x 2+b 2y 2+2abxy=(ax+by)2.所以(ax 2+by 2)≥(ax+by)2.………………………………………(6分)(2)bb a a 21)1(-⋅-)1)(1(b b a a --=)()1(a b b a ab ab +-+= a bb a a b a b 22)1(+-+=]2)([)1(2-+-+=a b b a a b a b . 由a+b=m 得,上式=212+-+a bm a b . ……………………………(8分) 因为a>0,b>0,所以0<ab ≤4)2(22m b a =+. ……………………(10分) 又当m ≥1时,函数21)(2+-+=tm t t f 在(0,+≦)内单调递增,所以 f(ab)≤f(42m ),即212+-+a b m a b ≤2)1(44222+-+mm m .……(12分) 亦即212+-+a b m a b ≤24422-+m m 2)22(m m -=. 所以原不等式成立. ……………………………………………(14分)。
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
2011年高一数学上学期期末测试卷A(带详细答案)
2011年高一数学上学期期末测试卷A一、选择题1、下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）（A）2y =与y x = （B）3y =与y x =（C）y =2y = （D）y =2x y x=2、设A={x|20≤≤x }，B={y|12≤≤y },下列图形表示集合A 到集合B 的函数图形的是（ ）3、已知函数11)(22-+-=x x x f 的定义域是（ ）（A ）[－1，1]（B ）{－1，1}（C ）（－1，1） （D ）),1[]1,(+∞--∞4、已知)(x f 是定义在（),0+∞上的单调增函数，若)2()(x f x f ->，则x 的范围是（ ） A x>1 B. x<1 C.0<x<2 D. 1<x<25、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=--（C ）)(x f ·)(x f -≤0（D ）1)()(-=-x f x f 6、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 ( )（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）奇函数 （D ）偶函数 7、给出函数)(),(x g x f 如下表，则f 〔g （x ）〕的值域为（ ）A.{4,2}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D. 以上情况都有可能8、若函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(x f x f -=+，则（ ） A )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C.)1()4()2(f f f << D.)1()2()4(f f f <<9、函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，若对于12,x x R ∈都有121()()()f x f x f x +≥-+2()f x -成立，则必有 ( )（A ）12x x ≥ （B ）12x x ≤ （C ）120x x +≥ （D ）120x x +≤10、若奇函数f(x) 在[1,3]为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上（ ） A.是减函数，有最小值是-7 B.是增函数，有最小值是-7 C ．是减函数，有最大值-7 C.是增函数，有最大值是-711.已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（ ） A.-2 B.2 C12. 函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . ),2[+∞ B .[2,4] C .(]2,∞- D 。
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
最新全国各地2011届高考数学试题汇编：函数、方程及其应用1
函数、方程及其应用题组一一、选择题1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） a 是x x f x 21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足 （ ）A ．0)(0=x fB ．0)(0<x fC ．0)(0>x fD ．)(0x f 的符号不确定 【答案】B【分析】函数2()2log xf x x =+在(0,)+∞上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在(0,)a 上这个函数的函数值小于零，即0()0f x <。
【考点】函数的应用。
【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。
2．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）函数()26f x ax bx =++满足条件()()13f f -=，则()2f 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案 B 提示：由()()13f f -=知对称轴12b a -=，故()226f x ax ax =-+，所以()26f =．3．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）函数()22f x x ax a =-+在(),1x ∈-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在()1,x ∉+∞上一定 （ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案： D 提示：由函数()22f x x ax a =-+在(),1-∞有最小值， 知1a <，又()2a g x x a x=+-，由1x >及1a <知()222'1a x a g x x x -=-=210a x ->>，故()g x 为增函数． 4．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）已知函数221,1,()[(0)]4,1,x x f x f f a x ax x ⎧+<⎪==⎨+≥⎪⎩若，则实数a 等于 （ ）A ．12B ．45C ．2D ．9答案 C. 5．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）已知函数)10()3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数x 1、x 2，当221a x x ≤<时，总有0)()(21>-x f x f ，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，3）B ．（1，3）C ．)32,1(D ．)32,0(答案 C.6.（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）已知函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ． 32C ． 1D ．2 答案 B.7.（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．b c a >>答案 B. 二、填空题8．（安徽省合肥八中2011届高三第一轮复习四考试理） 已知函数3()2'(2),'(2),f x x f x n f =-+=则二项式()nx x+展开式中常数项是第 项。
(完整版)南昌大学2011-2012历年数学物理方法期末试卷ABC套卷(附所有答案)
—南昌大学考试试卷—
【适用时间：2011 ～2012 学年第二学期试卷类型：[B]卷】
2. 考查下面的无限长弦的振动问题：
其中，。
这是一个达朗贝尔公式定解问题。
(1)首先给出达朗贝尔公式及相应定解问题的一般形式；
(2)利用达朗贝尔公式求解。
3. 已知矩形区域上的函数满足方程和
齐次边界条件，按以下步骤求解：
(1)分离变数并找到本问题中包含的本征值问题；
(2)求解此本征值问题，确定本征值和本征函数；
(3)给出满足上述方程和条件的的一般解。
—南昌大学考试试卷—
【适用时间：2011 ～2012 学年第二学期试卷类型：[C]卷】
—南昌大学考试试卷—
【适用时间：2011 ～2012 学年第二学期试卷类型：[A]卷】
—南昌大学考试试卷—
【适用时间：2011 ～2012 学年第二学期试卷类型：[A]卷】答案
—南昌大学考试试卷参考答案及评分标准—【适用时间：20 11 ～20 12 学年第二学期试卷类型：[ B ]卷】。
2011下学期期末考试(理科数学)
株洲市一中2011年上学期高二期末考试题理科数学（1）时量:120分钟 满分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．复数z 1=2+i ，z 2=3-i ，则复数12z z 的实部与虚部之和为（ ） （A ）0 （B ）．12 （C ）1 （D ）2 2、把点P（ ）（A）)3π- （B ）．11)6π- （C）)6π-（D）)6π 3、将曲线C 经伸缩变换φ：''23x x y y⎧=⎨=⎩得到曲线方程为'2'21x y +=，则曲线C 的方程为（ ）（A ）22149x y +=（B ）22194x y +=（C ）22491x y += （D ）22941x y += 4、在某项测量中，测量结果服从正态分布N （3，δ2），（0δ>），若ξ在（0，3）内取值的概率为0.4，则ξ在(,6)-∞内取值的概率（ ）（A ）0.1（B ）．0.2 （C ）0.3 （D ）0.45、用数学归纳法证明“1111(,n 1)2321n n N n *++++<∈>-且”时，第一步即证下述哪个不等式成立（ ）（A ）12<（B ）1122+<（C ）111223++< （D ）111323++< 6、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每个班至少1名，最多2名，则不同的分派方案有（ ）（A ）30 （B ） 90 （C ） 180 （D ） 2707、111,,,,,x y z R a x b y c z y z x*∈=+=+=+,则a ，b ，c 三个数中（ ） （A ）至少有一个不大于2 （B ）都小于2（C ）至少有一个不小于2 （D ）都大于28、一次测验由25个单选题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有1个选项是正确的，每题选对的4分，不选或选错得0分，满分100分，张强选对任一题的概率为0.8，则他在这次测验中成绩的方差为（ ）（A ）20 （B ） 80 （C ） 64 （D ） 16二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）9．已知两个变量的回归模型为 1.34y x e =++，则样本点（2，7）的残差为 ；10、已知随机变量ξ的分布列如下表则x = ，E ξ= ；11、已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程为 ；12、极坐标系中，圆C ：2cos ρθ=-，直线l ：sin()42πρα+=，则圆心到直线l 的距离为 ；13、若5321501215(1)x a a x a x a x -=++++， 则2202141315()()a a a a a a +++-+++= ； 14、从编号为1，2，3，11的11个球中，取出5个球，这5个球编号之和为偶数的取法种数为 ___________________.15、在平面斜坐标xoy 中，060,xoy ∠=平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若12op xe ye =+,其中12,e e 分别为x 轴，y 轴同方向的单位向量，则P 点的斜坐标为(,)x y ，①过点P(1,0)垂直于x 轴的直线方程为 ；②若点P (,)x y 在以原点O 为圆心的单位圆上运动，则x y +的最大值为 ；株洲市一中2011年上学期高二期末考试题理科数学（1）答题卷二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）9题 ． 10题 ． 11题 ．12题 ． 13题 ．14题 ． 15题 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分。
(完整版)南昌大学数学物理方法期末考试试卷2011A卷答案
南昌大学2011学年第二学期期末考试试卷三、偏微分方程求解题 (共24 分)1. 求解波动方程)(0+∞<<-∞=-x u u xx tt 满足初始条件 x x u x u t tt cos ,200====的定解问题。
(本小题 10 分)解： 由达朗贝尔公式可得)2()sin()sin()cos()()cos()()]sin()()sin()[(21)2(cos |cos )]sin()()sin()[(21)2(sin |sin 21)4(cos 21)]()[(21222222分分分分t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x x d t x t x t x t x x d x d t x t x u t x tx tx t x t x t x tx t x t x t x -++----+++---+++=-+---+++=-+=+-++=⎰⎰⎰+-+-+-+=-=+-ξξξξξξξξξξξξξξ2. (1) 已知矩形区域ππ≤≤≤≤y x 0,0上的拉普拉斯方程⎩⎨⎧==<<<<=+==;0| ,0|);0 ,0(,00πππx x yy xx u u y x u u 试导出其一般解为nx e B eA y x u n ny n nynsin )() ,(1∑∞=-+=，其中n A 和n B 是只与n 有关的系数。
(9分)(2) 利用(1)的结果求解泊松方程⎪⎩⎪⎨⎧==-==<<<<=+====.cos sin |,0|;sin | |);0 ,0( sin 00x x u u y u u y x y u u y y x x yy xx ππππ 提示：寻找泛定方程的一个特解,v 使得经变换w v u +=后所得w 的泛定方程和第一组边值都是齐次的。
(5分)(1) 证明： 设有试探解)()(y Y x X u =，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件⎩⎨⎧===+0)()0(0''πλX X X X .0''=-Y Y λ (1分)求解本征值问题，得本征值),3,2,1(2Λ==n nλ 本征函数),3,2,1(sin )(Λ==n nxC x X (4分) 再解Y 的微分方程得ny nyBe Aey Y -+=)( (2分)所以，一般解为nx e B e A y x u n nyn ny n sin )() ,(1∑∞=-+=(1分)（2）解：特解,sin y v -= (1分) 变换w v u +=使⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+====.cos sin |,0|;0| |);0 ,0(000x x w w w w y x w w y y x x yy xx ππππ (1分) 由（1）得满足w 的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为nx e B e A w n nyn ny n sin )(1∑∞=-+= (1分) 因为上述解还满足第二组边界条件，于是⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∞=-x nx e B e A B A n n n n nn n 2sin 21sin )( 01ππ即).2(0,)(212222≠==-=-=-n B A e e B A n n ππ(1分) 最后，得解.2sin )()(21sin ) ,(2222x e e e e y y x u yy ----+-=ππ (1分)。
2011年八年级期末试卷2
2010学年第二学期八年级数学期末试卷2一、选择题（每小题3分，共30分）1．二次函数y=x 2-3x+5的图像与y 轴的交点坐标是 （ ）A.（0，－5）B.（0，1）C.（0，5）D.（0，－3）2.把抛物线y=3x 2向上平移2个单位后，所得抛物线的函数解析式是 （ ）A. y ＝3x 2－2 B. y ＝3x 2C. y ＝3（x+2）2D. y ＝3x 2＋2 3.下列过原点的抛物线是 ( )A. y=2x 2+xB. y=2x 2+1C. y=2(x+1)2D. y=2x 2-14.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）5.对称轴是直线x=-2的抛物线是 （ ）A. y ＝-2x 2-2 B. y ＝2x 2+2 C. y ＝-2（x+2）2D. y ＝2x （x-2）2＋26.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞07．下列判断中唯一正确的是 ( )A 、函数y=ax 2的图象开口向上，函数y=－ax 2的图象开口向下 B 、二次函数y=ax 2，当x<0时，y 随x 的增大而增大C 、y=2x 2与y=－2x 2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同D 、抛物线y=ax 2与y=－ax 2的图象关于x 轴对称8. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是 （ ） A ．13x -<<B ．3x >C ．1x <-D ．3x >或1x <-9. 抛物线y=x 2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有 （ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个10.抛物线2y ax bx c =++和直线y ax b =+在同一坐标系的图象为 （ ）B xy O 31- 第8题图第6题图x y xy x y xy二、填空题：（每小题3分，共24分）11． 写出一个开口向上，且对称轴为直线2=x 的二次函数解析式 。
数学物理方程练习题第九版(学生用)汇编
8
= ∆u 0, (x, y, z) ∈ KR \ Kr ,
= u Γr 1,= u ΓR 2, 证明：在 KR \ Kr 内, 1 < u < 2.
3. 用积分变换法求解定解问题：
7
= ut a2u xx +ku, -∞<x < +∞, t > 0, u(x,0) = ϕ(x).
练习十四
1．证明二维调和函数的积分表达式：
u(M 0 )
=
−
1 2π
∫ C u
∂ ∂n
ln
1 r
− ln
1 r
∂u ∂n
ds.
2．在下半平面 y < 0 内求解拉普拉斯方程的边值问
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
= u t a2u xx ,
x > 0, t > 0,
= u(0,t) u= 0 , u(x,0) 0, u(x,t)有界.
2011年高等数学一II期末考试试卷
2011年6月高等数学一II 期末考试试卷说明：2011年9月教学计划调整，第二学期的微分方程与原第一学期空间解析几何对换，请同学们注意。
一．填空题（4分⨯5=20分）1．(,)(0,0)lim x y→= ． ２．设 22240,x y z z ++-= 则z x ∂=∂ ． ３．设 23(,,),f x y z x y z =++ 则(1,1,1)gradf = ．４．设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为 1,0,(),0.x f x x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩ 则()f x 的傅里叶级数在0x =处收敛于 ．５．微分方程 440y y y '''++= 的通解是 ．二．单项选择题（４分⨯５＝２0分）１．已知 22(,)sin(),f x y x x y =+则x f =（ ）．（A ） ０ （B ） １ （C ） π （D ） 2π ２．lim 0n n u →∞= 是级数 1n n u ∞=∑ 收敛的（ ）（A ） 充分必要条件 （B ）充分条件 （C ）必要条件 （D ）非充分且非必要条件 ３．交错级数11(1)n n ∞-=-∑ 是（ ） （A ） 绝对收敛 （B ） 条件收敛 （C ） 发散 （D ）可能收敛也可能发散4．幂级数 1(1)nn n x n ∞=-∑ 的收敛域是（ ） （A ）（－１，１） （B ）（－１，１] （C ）［－１，１) （D ）［－１，１］ ５．微分方程 22y xy '= 满足初始条件 01x y == 的特解是（ ）（A ）211y x =- （B ） 211y x =- （C ） 2x y e = （D ） 2x y e =第 张共 张三．计算题（7分⨯2＝１4分）１．设D 由圆 224x y += 围成， 求二重积分D ． ２．设L 为圆周 224x y +=，求对弧长的曲线积分 22L x y ds +⎰． 四．判别下列级数的收敛性（１6分）１．11(2)n n n n ∞=++∑ （7分） ２．1np n a n∞=∑ (0,0a p >>（9分） 五．（１0分）求函数21()56f x x x =-+ 关于(1)x -的幂级数展开式，并指出收敛域． 六．（10分）求微分方程 2109x y y y e '''-+= 的通解．七．（10分）已知曲线积分[()]sin ()cos x L f x e ydx f x ydy --⎰ 与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0f =， 求()f x ．。
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
北京理工大学2010-2011学年第二学期数学物理方程与特殊函数期末试题(A卷)
课程编号： 07000125 北京理工大学2010-2011学年第二学期2009级数学物理方程期末试题（A 卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________一、简答下列各题（直接写出结果，无需推导求解，每题6分，共计18分） 1. 长为2l 的均匀细杆，侧表面绝热，x l =-端有恒定热流q 进入，x l =端绝热，杆的初始温度为σ( x ), 试写出这个热传导问题的定解问题。
2. 一圆环形平板内半径为r ，外内半径R ，其上下侧面绝热，内部无热源。
若其内圆周边上的温度保持为1度，外圆周边绝热，请写出平面极坐标下该圆环形平板的稳恒温度分布的定解问题。
3. 长为2的均匀弦在阻尼介质中做微小横振动，已知阻尼力与速度成正比，即uF Rt∂=-∂，R 为阻力系数。
弦在0x =一端自由，在2x =按照sin t 的规律做简谐振动，初位移、初速度都为零，试写出弦的阻尼振动问题。
二’ （15分）用分离变量法求解如下定解问题：22222000sin 20,0|0,|0 |0,|0t t t x x lu ua x x t t x u u u u π====∂∂⎧-=<<>⎪∂∂⎪==⎨⎪==⎪⎩三、（15分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：2222200210, 2y y u u ux x y y u u xy ==⎧∂∂∂--=⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩四、（15分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：222222000,()lim 0y x y u u y x x y u h x u =+→∞⎧∂∂+=>-∞<<∞⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩五、（15分）求拉普拉斯方程在半空间x a >内的格林函数；并求解定解问题：2222220()(,)u u ux axy z u a y z y z y z ψ⎧∂∂∂++=>⎪∂∂∂⎨⎪=-∞<<∞⎩，，，， ， 六（15分） 设(1,2,)i i α= 是零阶贝塞尔函数0()J x 的正零点，将函数2()1(01)f x x x =-≤≤ 展开成贝塞尔函数0()i J x α的级数七、（10分）在扇形域0,1r θα<<<内求解稳恒热传导问题，已知其满足如下条件：01|0,|0,r u u u u r θθαθ===∂⎛⎫==+=- ⎪∂⎝⎭。
数理方程与特殊函数(A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dx d ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211Λ=+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个 连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎧utt -a2uxx=0⎪⎨ux-at=0=ϕ(x)⎪u⎩x+at=0=ψ(x).其中ϕ(0)=ψ(0)。
⎧ξ＝x-at解：设⎨则方程变为：η=x+at⎩uξη=0，u=F(x-at)+G(x+at)(8’)由边值条件可得：F(0)+G(2x)=ϕ(x),F(2x)+G(0)=ψ(x)由ϕ(0)=ψ(0)即得：u(x,t)=ϕ(x+at x-at)+ψ()-ϕ(0)。
22二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎧utt -a2uxx=0,(x,t)∈Q,⎪⎨ux=0=ux=l=0,t≥0,⎪u=ϕ(x),ut t=0=ψ(x)⎩t=0其中0≤x≤l。
a>0为常数解：设u=X(x)T(t)代于方程得：X''+λX=0，T''+λa2T=0(8’)X=C1cosλx+C2sinλx，T=C1cosλat+C2sinλat由边值条件得：C 1=0,λ=(∞n π2)ln πx lu =∑(B n cos λat +A n sin λat )sin n =1B n =2l n πx 2l n πx ，ϕ(x )sin dx A =ψ(x )sin dx n ⎰⎰00l l an πl2三．证明方程u t -a u xx -cu =0(c ≥0)具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设v =e -ct u 代入方程：⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=ϕ(x )⎪v (0,t )=g (t ),v (l ,t )=g (t ).12⎩设v 1,v 2都是方程的解设v =v 1-v 2代入方程得：⎧v t-a 2v xx =0⎪⎨v t =0=0⎪v (0,t )=,v (l ,t )=0⎩由极值原理得v =0唯一性得证。
(8’)由v 1-v 2≤v 1-v 2得证。
τ≤ε，稳定性得证由v =e -ct u 知u 的唯一性稳定性四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).∆u =u xx +u yy +u zz=0,z >0,u z =0=f (x ).解：设p (ξ,η,ζ)是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点p (ξ,η,-ς)格林函数：G (x ,y ,ξ,η)=-14π14π1(x -ξ)+(y -η)+(z -ς)1(x -ξ)+(y -η)+(z +ς)222222+∂G∂G=-∂n∂z z=0=ς2π[(x-ξ)+(y-η)+ς]2223/2方程的解：u(ξ,η)=ς2πϕ(x,y)⎰[(x-ξ)2+(y-η)2+ς2]3/2dx R2五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)u utt-a2(uxx+uyy)=f(x,y,t) t=0=ϕ(x,y),=ψ(x,y),ut t=0uΓ=g(x,y,t).其中t>0,(x,y)∈Ω,Γ为Ω的边界.解:设u1,u2都是方程的解设u=u1-u2代入方程得：u tt -a(uxx+uyy)=0u u t t=02 =0=0 t=0uΓ=0.设E(t)=12222[u+a(u+u]dxdy t x y⎰⎰2ΩdE(t)=2⎰⎰[ut utt+a2(uxuxt+uyuyt)]dxdydtΩ=2[ut [utt-a(uxx+uyy)]dxdyΩ⎰⎰2=0(10’)E(t)=E(0)=0，u=C，由边值条件得：u=0。
数理方程课后习题(带答案)
第2章习题选讲
nn2
n2,n1,2,3,
l
n
Xn
Bn
sin l
x
Ta2T0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
A nB nea2n l2 22tsinn l xC nea2n l2 22tsinn l x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
a2n22
t
u un Cne l2
0 x l,t 0
t 0 0 x l
对于（II）用分离变量法可得
W
Ce
na22l22
n
n1
t
sinn l
x
代入初始条件可得
T
Cn
n1
sin
n
l
x
由此可得
C n2 l 0 lTsinn lxd xn 2 T[1 ( 1 )n]
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
对于（I）可用固有函数法
令Ae-x
v(x,t)
vea2nl222t n
n1
sinnx
l
其 中 v n2 l 0 l[g (x) w (x)]sinn lxd x
原 问 题 得 解 为 u ( x ,t) v ( x ,t) w ( x )
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第12题： 求下列定解问题：
u(x20u2,y)y2u2u(l10,,y)0,
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
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XXXXX 大学研究生试卷
（考试时间： 至 ，共 2小时）
课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2011年 12 月 28 日 成绩
1．化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分)
2. 把定解问题：(10分)
212(0)(0,)(),(,)()
(,0)(),(,0)(),(0)
tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<⎪
==⎨⎪==<<⎩
的非齐次边界条件化为齐次边界条件.
第 1页
学 号 姓 名 学 院 教师 座位号
……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
3．有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ，其余边界上的温度保持零度，并且当y →+∞时，温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离
变量法求解).(20分)
4．求下面的定解问题：（10分）
090,(,0)
0,sin tt xx t t t u u x R t u u x ==-=∈>⎧⎪⎨
==⎪⎩.
第2页
5．求()2
1,1
(),()0,1
x x F f x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，其中()F ⋅表示Fourior 变换.（10分）
6．求()2(),()sin(),03
L f t f t t t π
=-≥，其中()L ⋅为Laplace 变换.（10分）
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学 号 姓 名 学 院 教师 座位号
……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
7．写出球形域的Dirichlets 问题对应的Green 函数及其定解问题.（10分）
8．证明：()10d
()()d xJ x xJ x x
=.（10分）
9．（1）写出Legendre 方程和Legendre 多项式； （2）将函数()23,1f x x x =+≤用Legendre 多项式展开.（10分）
第4页。