数学分析简明教程答案16

第十六章 偏导数与全微分

§1 偏导数与全微分的概念

1．求下列函数的偏导数： （1）)ln(2

2

2

y x x u +=； （2）)cos()(xy y x u +=； （3）x

y u arctan =； （4）y

x xy u +

=； （5）)

sin(xy xye

u =；

（6）x

y

y x u +=．

解（1）])[ln(22)ln(22

222

222222y x x y x x y x x x y x x x u +++=+++=∂∂；

222222

22y

x y x y x y x x u +=+=∂∂． （2）

)sin()()cos())sin()(()cos(xy y x y xy y xy y x xy x

u

+-=-++=∂∂；由x ，y 的对称性，

)sin()()cos(xy y x x xy y

u

+-=∂∂． （3）

2222)()(11y x y x y x y x

u +-=-+=∂∂； 222

1)(11y x x x x

y y u +=+=∂∂． （4）

y y x u 1+=∂∂， 2y

x x y u -=∂∂． （5）

)sin()sin()sin())cos(1()cos(xy xy xy e xy xy y y xy xye ye x

u

+=+=∂∂，根据x ，y 的对称性，

)sin())cos(1(xy e xy xy x y

u

+=∂∂． （6）

y y yx x

u

x y ln 1+=∂∂-； 1ln -+=∂∂x y xy x x y u ．

2．设

⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=．0,0,0,1sin ),(222

22

2y x y x y x y y x f

考察函数在)0,0(点的偏导数．

解 00

0lim )0,0()0,(lim )0,0(lim

000=∆-=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆x x

f x f x f x x x x ，即0)0,0(=x f ，而

2

02

00

)(1sin

lim 01

sin

lim )

0,0(),0(lim

)0,0(lim

y y y

y y

f y f y

f y y y y y ∆=∆-∆∆=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆→∆不存在，)0,0(y f 不存在．

3．证明函数22y x u +=在)0,0(点连续但偏导数不存在． 证明 显然22y x u +=

在)0,0(点连续，但

x x x

x x u x x x x ∆∆=∆-∆=∆∆→∆→∆→∆0200lim

0)(lim )

0,0(lim 不存在，由对称性y

u y y ∆∆→∆)0,0(lim

不存在，因而22y x u +=

在)0,0(点的两个偏导数均不

存在．

4．求下列函数的全微分：

（1）222z y x u ++=

；

（2）y e xe

u x z

y ++=-．

解（1）)(212222

222

2

2

z y x d z y x z y x d du ++++=

++=

)(12

22zdz ydy xdx z

y x ++++=

dz z

y x z dy z

y x y dx z

y x x 2

2

2

2

2

2

2

22+++

+++++=

．

（2）dy dx e ydz zdy xe dx e y e xe

d du x z y z y x z

y +-++=++=--)()(

dz xye dy xze dx e e z y z y x z y +++-=-)1()(．

5．求下列函数在给定点的全微分： （1）2

2

y

x x u +=

在点)0,1(和)1,0(；

（2）)ln(2

y x u +=在点)1,0(和)1,1(； （3）z

y

x

u =

在点)1,1,1(； （4）y

x

y x u arcsin

)1(-+=在点)1,0(． 解（1）)()(21)1(

223

222

22222y x d y x x

y x dx y x xd y x dx du ++-+=

+++=

)()

(3

222

2

ydy xdx y x x

y

x dx ++-

+=2

2

2

2

2)(y

x y x xydy dx y ++-=

，

所以，在点)0,1(，0=du ，在点)1,0(，dx du =．

（2）dy y

x y dx y x ydy dx y x du 2

2221

)2(1+++=++=

，在点)1,0(，dy dx du 2+=；在点)1,1(，dy dx du +=

2

1

. （3）11

)(1-=∂∂z y x yz x u ，11

2)(--=∂∂z y

x z y x y u ，y x y x z z u

z ln )(112-=∂∂，所以， dz y x

y

x z dy y x z y x dx y x yz du z z z ln )(1)()(11

211211--=--，

故在)1,1,1(有，dy dx du -=．

（4）函数的定义域为}00:),{(x y or y x y x ≤≤≤≤．当0≠x 时，有

2

2

1

11

)1(arcsin

y xdy

ydx y x

y x y dy y

x

dx du ---++= dy x

xy y y y x y x dx x xy y y )2sgn )1((arcsin

)2sgn )1(1(22

--++--+

=，