不等式的证明(2)

不等式的证明（2）
一、复习引入：
1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论
2．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
二、讲解新课： 1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法
2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐
3．分析法的思维特点是：执果索因4．分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题1B 为真，从而有……
这只需要证明命题2B 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故命题B 必为真
三、讲解范例：
例1 求证5273<+ 证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+展开得 2021210<+
即 2521,10212<<因为2521<成立，所以22)52()73(<+成立 即证明了5273<+
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真，
这只需要证明命题B 1为真，从而有……
这只需要证明命题B 2为真，从而又有……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故B 必真
例2、已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立
(2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)
即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2
即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2
即证0≤(bc -ad )2
因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立,
综合(1)、(2)可知:原不等式成立
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 课后作业： 1选择题
(1)设x 1和x 2是方程x 2+px +4=0的两个不相等的实数根,则（ ）答案:B A |x 1|>2且|x 2|>2 B |x 1+x 2|>4 C |x 1+x 2|<4 D |x 1|=4且|x 2|=1
(2)若x ,y ∈R +,且x ≠y ,则下列四个数中最小的一个是（ ）答案:D
A )11(
2y x + B y x + *(3)若x >0,y >0,且y x +≤a y x +成立,则a 的最小值是（ ）答案:B
A 2
2 C 2 D 22 (4)已知a ,b ∈R +,则下列各式中成立的是（ ）答案:A
A cos 2θ·lg a +sin 2θ·lg b <lg(a +b )
B 2θ·lg a +sin 2θ·lg b >lg(a +b )
C a cos2θ·b sin2θ=a +b
D a cos 2θ·b sin2θ>a +b
(5)设a ,b ∈R +,且ab -a -b ≥1,则有（ ）答案:A
A a +b ≥2(2+1)
B a +b ≤+1
C a +b ≥(2+1)2
D a +b ≤2(2+1) 2用分析法证明: 3(1+a 2+a 4)≥(1+a +a 2)2
证明:要证3(1+a 2+a 4)≥(1+a +a 2)2
只需证3［(1+a 2)2-a 2］≥(1+a +a 2)2 即证3(1+a 2+a )(1+a 2-a )≥(1+a +a 2)2∵1+a +a 2=(a +
21)2+43>0 只需证3(1+a 2-a )≥1+a +a 2展开得2-4a +2a 2≥0即2(1-a )2≥0成立
故3(1+a 2+a 4)≥(1+a +a 2)2成立
3用分析法证明: ab +cd ≤22c a ⋅+证明:①当ab +cd <0时,
ab +cd <2222d b c a +⋅+成立
②当ab +cd ≥0时,
欲证ab +cd ≤2222d b c a +⋅+
只需证(ab +cd )2≤(2222d b c a +⋅+)2
展开得a 2b 2+2abcd +c 2d 2≤(a 2+c 2)(b 2+d 2)即a 2b 2+2abcd +c 2d 2≤a 2b 2+a 2d 2+b 2c 2+c 2d 2
即2abcd ≤a 2d 2+b 2c 2只需证a 2d 2+b 2c 2-2abcd ≥0即(ad -bc )2≥0
因为(ad -bc )2≥0成立 所以当ab +cd ≥0时,ab +cd ≤2222d b c a +⋅+成立
综合①②可知:ab +cd ≤2222d b c a +⋅+成立 4用分析法证明下列不等式:
(1)求证:15175+>+
(2)求证:4321---<---x x x x (x ≥4)
证明:(1)欲证15175+>+，只需证22)151()75(+>+
展开得12+235>16+215，即235>4+215，只需证(235)2>(4+215)2 即4>15这显然成立，故15175+>+成立(2)欲证4321---<--
-x x x x (x ≥4) 只需证2341-+-<-+
-x x x x (x ≥4) 即证22)23()41(-+-<-+-x x x x (x ≥4)
展开得2x -5+22325241-⋅-+-<-⋅-x x x x x 即)2)(3()4)(1(--<--x x x x 只需证［)4)(1(--x x ］2<［)2)(3(--x x ］2
即证x 2-5x +4<x 2-5x +6，即4<6这显然成立 故4321---<---x x x x (x ≥4)成立。