集合典型例题
集合习题
题型一：集合交,并，补的运算例1、已知求a、b的值。
解：知所以x1=-1,x2=2,a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2练习：已知向量，，则（）A. B. C. D.分析：集合均是坐标形式的向量的集合，两个集合中的并非同一个值．两个集合的代表元素均是有序实数对．解：令得方程组解得，故．选Ｃ题型二：集合与不等式的联系例2.已知全集I＝R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x>a}，并且M ∁IP，那么a的取值集合是 ( )A．{2} B．{a|a≤2}C．{a|a≥2} D．{a|a<2}解析：∵M＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2} ∁IP＝{x|x≤a}M ∁IP，∴a≥2，如下图数轴上所示． 故选C.练习1 已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}.(1)若A∪B=B, 求实数m 的取值范围;(2)若A∩B, 求实数m 的取值范围.注： (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点”的取舍.[-6, -2](-11, 3)练习2 设P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数都成立}则下列关系成立的是 ( C )A、PQ B、QP C、P=Q D、注意：本例容易忽略对m=0的讨论；题型三.集合与解析几何的联系[例3] 已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中 ( ) A．不可能有两个元素 B．至多有一个元素C．不可能只有一个元素 D．必含无数个元素解析：y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，∴直线与圆有两个交点，故选C.点评：集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义．练习：已知且PQ，求a的取值范围。
第一章 集合典型例题(2)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练
专题02 集合中的典型题（2）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.若集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，B={(x,y)|y2=2x}，则A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.集合M={y|y=8x+3,x，y∈N}的元素个数是()A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个3.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()A. P=QB. P⊆QC. P⊇QD. P∩Q=ϕ4.已知集合M={x∈N|−2≤x<4},N={x|x+13−x≥0}，则集合M⋂N中的元素的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 45.设P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2}，则P,Q的关系是()A. P⊆QB. P⊇QC. P=QD. P∩Q=⌀6.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 32⩽m <13B. m⩾0C. m⩾32D. 32<m<13二、多选题7.设全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是()A. M∩∁U NB. N∩∁U MC.D.8.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A. M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割B. M没有最大元素，N有一个最小元素C. M有一个最大元素，N有一个最小元素D. M没有最大元素，N也没有最小元素9.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合B. 正整数集是闭集合C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、单空题10.设集合A={x|2<x<3},B={x|x>a}，若A⋃B=B，则实数a的取值范围为________．11.已知集合A={x|−2⩽x⩽7}，B=x|m+1<x<2m−1.若B⊆A，则实数m的取值范围是．12.已知集合A={x|0<x<2}，集合B={x|−1<x<1}，集合C={x|mx+1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围是_________．13.已知集合A={0,1},B={a2,2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}记作A∗B，若集合A∗B中的最大元素是2a+1，则a的取值范围是．四、解答题14.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}．(1)求A⋃∁R B；(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．15.全集U=R，A={x∈R|a+1+x>0}，不等式组{2x+1≥x−3,的解集为B．3x+2<0(1)若a=1，求A⋂B，(∁U B)∪A；(2)要使集合A中的每一个x值至少满足不等式“1<x<3”，和“x>4或x<2”中的一个，求a的集合．16.已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|1≤2x+5≤15}，(1)已知a=3，求(C R P)∩Q(2)若P∪Q=Q，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，(1)若A∪M=R，求实数a的取值范围；(2)若B∪(∁R M)=B，求实数b的取值范围．专题02 集合中的典型题（2）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.若集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，B={(x,y)|y2=2x}，则A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，集合中元素的个数问题，考查学生的计算能力根据题意可知A={(x,y)|x=0或x=2，y∈R}，再根据交集的定义即可得A∩B，从而即可得A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，∴A={(x,y)|x=0或x=2，y∈R}，又∵B={(x,y)|y2=2x}，所以A∩B={(0,0)，(2,2)，(2,−2)}，故选C．,x，y∈N}的元素个数是()2.集合M={y|y=8x+3A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合中元素的个数，考查了用赋值法分析和解决问题根据题中给出的条件，x，y∈N，分别从最小的自然数0开始给x代值，求相应的y的值，直到得出的y<1为止，求出y∈N的个数．【解答】,x，y∈N}，解：因为M={y|y=8x+3∉N；所以，当x=0时，y=83=2∈N；当x=1时，y=81+3当x=2时，y=82+3=85∉N；当x=3时，y=83+3=43∉N；当x=4时，y=84+3=87∉N；当x=5时，y=85+3=1∈N；当x≥6时，y=8x+3<1，所以y∉N．综上，M={y|y=8x+3,x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个，故选A．3.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()A. P=QB. P⊆QC. P⊇QD. P∩Q=ϕ【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得P={x|x≥−1}，Q={x|x≥0}，结合集合子集的定义，分析可得答案．本题考查集合的表示方法．关键是注意到集合P、Q的不同意义．【解答】解：根据题意，集合P{x|y=√x+1}表示函数y=√x+1√x+1的定义域，即P={x|x≥−1}集合Q表示函数y=√x+1的值域，即Q={x|x≥0}分析可得Q是P的子集，即P⊇Q；故选：C．4.已知集合M={x∈N|−2≤x<4},N={x|x+13−x≥0}，则集合M⋂N中的元素的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，元素的个数问题，属于基础题.根据题意，求出集合M与N，进而可得由交集的定义可得M∩N，即可得答案．【解答】解： 根据题意，M ={x ∈N|−2⩽x <4}={0,1,2,3}，N ={x ∣x+13−x ⩾0}={x|−1⩽x <3}，则M ∩N ={0,1,2}，则集合M ∩N 中元素中有3个元素；故选：C ．5. 设P ={x|y =x 2},Q ={(x,y)|y =x 2}，则P,Q 的关系是( )A. P ⊆QB. P ⊇QC. P =QD. P ∩Q =⌀【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的表示法、判断集合间的关系，利用集合的表示方法；判断出两个集合的元素一个是有数构成的，一个是由点构成的，判断出选项．【解答】解：集合P 表示y =x 2定义域，是实数集，集合Q 表示曲线y =x 2上的点，是点集，集合P 与集合Q 的元素不同，所以P ∩Q =⌀，故选D ．6. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )A. 32⩽m <13B. m ⩾0C. m ⩾32D. 32<m <13 【答案】B【解析】【分析】 本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识，分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,得0≤m<1，或Ø，3，即0≤m<13∴m≥0，∴实数m的取值范围m≥0．故选B．二、多选题7.设全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是()A. M∩∁U NB. N∩∁U MC.D.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查集合的运算及Venn图表达集合的关系及运算．由Venn图结合集合运算，逐一判断求解即可．【解答】解：全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是N∩∁U M或∁M∪N M或∁N(M∩N)，故BCD正确，而M∩∁U N⊆M，所以A错误．故选BCD．8.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A. M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割B. M没有最大元素，N有一个最小元素C. M有一个最大元素，N有一个最小元素D. M没有最大元素，N也没有最小元素【答案】BD【解析】【分析】本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，集合中元素的性质，由题意知，作为有理数集Q的两个子集：集合M与集合N，易判断它们中有无最大元素和最小元素．【解答】解：M={x|x<0},N={x|x>0}，M∪N≠Q不是戴德金分割，A错误；M={x|x<10,x∈Q}，N={x|x≥10,x∈Q}，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项B可能;假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，M={x|x<√2,x∈Q}，N={x|x≥√2,x∈Q}，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项D可能．故选BD．9.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合B. 正整数集是闭集合C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合【答案】ABD【解析】【分析】本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【解答】解：A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时，2,4∈M，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．B.设a,b是任意的两个正整数，则a+b∈M，但a−b不一定属于M，所以正整数集不为闭集合．C.当M={n|n=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z，则a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=3(k1−k2)∈M，所以集合M是闭集合．D.设A1={n|n=3k,k∈Z}，A2={n|n=2k,k∈Z}由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈(A1∪A2)，而(2+3)∉(A1∪A2)，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD．故选ABD．三、单空题10.设集合A={x|2<x<3},B={x|x>a}，若A⋃B=B，则实数a的取值范围为________．【答案】a≤2【解析】【分析】本题考查集合的并集运算，直接由并集的定义求解即可．【解答】解：因为A∪B=B，所以A⊆B，所以a≤2．故答案为a≤2．11.已知集合A={x|−2⩽x⩽7}，B=x|m+1<x<2m−1.若B⊆A，则实数m的取值范围是．【答案】(−∞,4]【解析】【分析】本题考查子集与真子集，集合关系中的参数取值问题，考查分类讨论思想，按B =⌀和B ≠⌀讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：∵A ={x|−2⩽x ⩽7}，B ={x|m +1<x <2m −1}，当m +1≥2m −1，即m ≤2时，B =⌀⊆A ，符合题意，当m +1<2m −1，即m >2时，若B ⊆A ，必须{m +1≥−22m −1≤7, 解得−3≤m ≤4与m >2交得2<m ≤4，综上，实数m 的取值范围是(−∞,4]．故答案为(−∞,4]．12. 已知集合A ={x|0<x <2}，集合B ={x|−1<x <1}，集合C ={x|mx +1>0}，若(A ∪B)⊆C ，则实数m 的取值范围是_________．【答案】−12≤m ≤1【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，根据集合的包含关系得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：由题意可知，A ∪B =(−1,2)，集合C ={x|mx +1>0}．当m =0时，C =R ，符合题意；当m >0时，C =(−1m ,+∞)，由于(A ∪B)⊆C ，则有−1m ≤−1，解得m ≤1，结合m >0，故0<m ≤1；当m <0时，C =(−∞,−1m )，由于(A ∪B)⊆C ，则有−1m ≥2，解得m ≥−12，结合m <0，故−12≤m <0；综上，实数m 的取值范围为−12≤m ≤1． 13. 已知集合A ={0,1},B ={a 2,2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B }记作A ∗B ，若集合A ∗B 中的最大元素是2a +1，则a 的取值范围是 ．【答案】0<a <2【解析】【分析】本题考查了集合和解不等式的知识，注意对新定义的理解．根据题意可知集合A∗B中元素，然后由2a+1为集合A∗B中的最大元素，列出不等式即可求出．【解答】解：由题意可知集合A∗B中的元素可能包含a2，2a，a2+1，2a+1，显然a2+1>a2，2a+1>2a，a2≠2a，a2+1≠2a+1，故集合A∗B中的最大元素为2a+1或a2+1，且2a+1≠a2+1．∵2a+1为集合A∗B中的最大元素，∴可列不等式2a+1>a2+1，解不等式得0<a<2，故答案为：0<a<2．四、解答题14.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}．(1)求A⋃∁R B；(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}；∴A∪∁R B={x|x⩽3}(2)当a≤1时，C=⌀，此时C⊆A，当a>1时，C⊆A，则1<a≤3，综上所述，a的取值范围是(−∞,3]．【解析】本题考查集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，对数不等式的解法，(1)先求出集合B，再利用补集和并集的运算即可求解；(2)由(1)中集合A，结合集合C，分C=⌀和C≠Φ两种情况即可．15.全集U=R，A={x∈R|a+1+x>0}，不等式组{2x+1≥x−3,的解集为B．3x+2<0(1)若a =1，求A⋂B ，(∁U B)∪A ；(2)要使集合A 中的每一个x 值至少满足不等式“1<x <3”，和“x >4或x <2”中的一个，求a 的集合．【答案】解：(1)当a =1时，A ={x|x >−2}，B ={x|−4≤x <−23}，则A⋂B ={x|−2<x <−23}，又因为∁U B ={x|x <−4或x ≥−23}，则(∁U B )⋃A ={x|x <−4或x >−2}．(2)设集合M ={x|1<x <3}⋃{x|x >4或x <2}={x|x >4或x <3}；依题意有A ⊆M ，故−a −1≥4，解得a ≤−5．所以a 的集合为(−∞,−5]．【解析】略16. 已知集合P ={x|a +1≤x ≤2a +1},Q ={x|1≤2x +5≤15}，(1)已知a =3，求(C R P)∩Q(2)若P ∪Q =Q ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)Q ={ x|−2≤ x ≤ 5}，当a =3，P ={x|4⩽x ⩽7}，∴∁R P ={x|x <4或x >7}，∴(∁R P)∩Q ={x|x <4或x >7}∩{x|−2⩽x ⩽5}={x|−2⩽x <4}．(2)若P ∪Q =Q ，则P ⊆Q ，①当P =ϕ时，满足P ⊆Q ，有2a +1<a +1，即a <0；②当P ≠ϕ时，满足P ⊆Q ，则有{2a +1⩾a +12a +1⩽5a +1⩾−2,∴0⩽a ⩽2 综上①②，实数a 的取值范围为(−∞,2]【解析】本题考查集合关系中的参数取值取值范围问题和交、并、补集的混合运算，(1)将a的值代入集合P中的不等式，确定出P，找出P的补集，求出补集与Q的交集即可；(2)根据P为Q的子集列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．17.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，(1)若A∪M=R，求实数a的取值范围；(2)若B∪(∁R M)=B，求实数b的取值范围．【答案】解：A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，(1)当A∪M=R时，应满足{a≤−1a+9≥5，解得−4≤a≤−1，所以实数a的取值范围是{a|−4≤a≤−1}；(2)∁R M={x|−1≤x≤5}，B={x|8−b<x<b}，B∪(∁R M)=B，∴∁R M⊆B，∴{8−b<−1b>5，解得b>9；∴实数b的取值范围是b>9．【解析】(1)根据A∪M=R，得出关于a的不等式组，求出解集即可；(2)根据补集与并集的定义，列出关于b的不等式组，即可求出b的取值范围．本题考查了并集、交集与补集的定义和应用问题，。
集合典型例题
Io集合得含义及其表示(一)集合元素得互异性1、已知.则集合中元素X所应满足得条件为__________________变式:已知集合•若.则实数得值为 ________2…中三个元素可以构成一个三角形得三边长.那么此三角形可能就是____________① 直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④ 等腰三角形(二)集合得表示方法1 .用列举法表示下列集合(1)变式:已知a. b ,c为非零实数•则得值组成得集合为___________ ____⑵__________变式1：变式2:(3)集合用列举法表示集合B⑷已知集合M三则集合M中得元素为______________________变式:已知集合则集合M中得元素为 ________________________2。
用描述法表示下列集合(1)直角坐标系中坐标轴上得点__________________________________________________ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点____________________(2)能被3整除得整数_____________________________ 、3.已知集合•，(1)用列举法写出集合：(2)研究集合之间得包含或属于关系4。
命题(1);(2):(3);⑷表述正确得就是________________ 、5、使用与与数集符号来替代下列自然语言：(2 )“2得平方(2)五边形得对角(1)“255就是正整数” (3) “3、1416就是正有理数“ (5)“不就是实数”6、 用列举法表示下列集合:(1) 不超过3 0得素数(3)左右对称得大写英文字母 7。
用描述法表示:若平面上所有得点组成集合.(1) _____________________________________________________ 平面上以为圆心.5为半径得圆上所有点得集合为 ___________________________________________(2) 说明下列集合得几何意义:；8。
集合运算精选典型例题及练习题
集合运算的典型例题与练习（一）集合的基本运算：说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。
例1：设U=R，A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求A∩B、A∪B、CU A 、CUB、(CU A)∩(CUB)、(CUA)∪(CUB)、CU(A∪B)、CU(A∩B)。
例2：全集U={x|x<10，x∈N+}，A⊆U，B⊆U，且（CUB）∩A={1,9}，A∩B={3}，（CU A)∩(CUB)={4,6,7}，求A、B。
说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法（二）集合性质的运用：例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值。
说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。
例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围。
（三）巩固练习：1．P={0,1}，M={x|x⊆P}，则P与M的关系是。
2．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别与格人数为40、31人，两项均不与格的为4人，那么两项都与格的为人。
3．满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A共有个。
4．已知A={x|-2<x<-1或x>1}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1<x≦3}，求集合B=5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少个元素？6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。
7．设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。
8. 集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q。
人教版高中数学必修一集合典型例题
(每日一练)人教版高中数学必修一集合典型例题单选题1、已知集合M={1,3}，N={1−a,3}，若M∪N={1,2,3}，则a的值是（）A．-2B．-1C．0D．1答案：B解析：根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.因为M∪N={1,2,3}，若1−a=1⇒a=0，经验证不满足题意；若1−a=2⇒a=−1，经验证满足题意.所以a=−1.故选：B.2、已知集合A={x|x2−1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{−1}∈A③∅∈A④{−1,1}⊆AA．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：先求出集合A中的元素，然后逐项分析即可.因为A={x|x2−1=0}={−1,1}，则1∈A，所以①正确；{−1}⊆A，所以②不正确；∅⊆A，所以③不正确；{−1,1}⊆A，所以④正确，因此，正确的式子有2个. 故选：B.3、已知函数f(x)={x2+1,x≥0−x3+3x+a,x<0的值域为[1,+∞)，则实数a的取值范围是（）A．[1,+∞)B．(1,+∞)C．(3,+∞)D．[3,+∞)答案：D解析：求出函数y=x2+1在x≥0时值的集合，函数y=−x3+3x+a在x<0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当x≥0时，f(x)=x2+1在[0,+∞)上单调递增，∀x∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，则f(x)在[0,+∞)上值的集合是[1,+∞)，当x<0时，f(x)=−x3+3x+a，f′(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)，当x<−1时，f′(x)<0，当−1<x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增，∀x<0，f(x)≥f(−1)=a−2，则f(x)在(−∞,0)上值的集合为[a−2,+∞)，因函数f(x)={x2+1,x≥0−x3+3x+a,x<0的值域为[1,+∞)，于是得[a−2,+∞)⊆[1,+∞)，则a−2≥1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3,+∞).故选：D填空题4、已知集合A={1,2,m}，B={1,3,n}，若A=B，则m+n=_______．答案：5解析：由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得m=3,n=2，得m+n=5.根据集合的元素具有无序性和互异性可得，m=3,n=2，所以m+n=5.所以答案是：5.小提示：（1）集合A=B的充要条件是A⊆B，且A⊇B；（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.5、已知集合A={−2,−1,0,1}，集合B={y|y=|x|,x∈A}，则B=_______________. 答案：{0,1,2}解析：根据题意，由列举法，即可得出结果.因为A={−2,−1,0,1}，所以B={y|y=|x|,x∈A}={0,1,2}.所以答案是：{0,1,2}.小提示：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.。
《子集、全集、补集》典型例题剖析
《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。
高一数学集合典型例题、经典例题
高一数学集合典型例题、经典例题例1.1.给定集合A和B，其中A={x|x-2≤2}，B={y|y=-x^2,-1≤x≤2}，求A∩B。
解：将B中的条件用x表示出来，得到B={y|y=-(x-1)^2-1.-1≤x≤2}。
因为A和B都是关于x的条件，所以A∩B也是关于x的条件。
将A和B的条件合并，得到A∩B={x|-x^2≤x-2≤2.-1≤x≤2}，即A∩B={x|1≤x≤2}。
例1.2.给定集合A和B，其中A={2,4,a^3-2a^2-a+7}，B={1,a+3,a^2-2a+2,a^3+a^2+3a+7}，且A∩B={2,5}，求A∪B。
解：由A∩B={2,5}可得5∈A。
将5代入a^3-2a^2-a+7=5中解得a=±1或a=2.若a=-1，则B={1,2,5,4}，与已知矛盾，舍去。
若a=1，则B={1,4,1,12}，也与已知矛盾，舍去。
若a=2，则B={1,5,2,25}符合题意。
因此，A∪B={1,2,4,5,25}。
例2.1.给定集合A和B，其中A={x-2<x≤5}，B={x-m+1≤x≤2m-1}，且B⊆A，求实数m的取值范围。
解：因为XXX，所以B的最大值不大于A的最大值，即2m-1≤5，解得m≤3.又因为B的最小值不小于A的最小值，即m-1≥-2，解得m≥-1.综上所述，实数m的取值范围为-1≤m≤3.例2.2.给定集合A和B，其中A={x|x^2+x+1=0,x∈R}，B={x|x≥0}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围。
解：由A∩B=∅可知，方程x^2+x+1=0没有实数解。
根据判别式Δ=b^2-4ac，得到Δ<0，即4a<1.因为a≠0，所以a<1/4.又因为当a=0时，方程x^2+x+1=0有实数解，所以a≥0.综上所述，实数a的取值范围为0≤a<1/4.例3.1.给定集合S和T，其中S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，且S∪T=ℝ，求实数a的取值范围。
集合的概念练习题
第一讲 集合的概念及其运算1、子集的个数例1、（1）若{ 1,2 }A ⊆{ 1,2,3,4 },求满足这个关系式的集合A 的个数（2）已知集合A ={0、2、4}，},|{A b a b a x x B ∈⋅==、，则集合B 的子集的个数为 。
（3）从自然数1～20这20个数中，任取两个数相加，得到的和作为集合M 的元素，则M 的真子集共有 个。
☆规律方法总结：(1)子集的个数：一个有n 个元素的集合，其①子集有 个；②真子集有 个；③非空子集有 个；④非空真子集有 个； (2)已知集合M 中有m 个元素，集合N 中有n 个元素，则满足M N P ⊆的集合P 的个数为12--m n2、集合中元素的个数例2、(1)已知集合M,N 分别含有8个、13个元素,若N M 中有6个元素, ①求N M 中的元素个数. ②当N M 含多少个元素时,φ=N M .(2)50名学生参加跳远和铅球两样测试，跳远和铅球测验成绩分别及格40人和31人，两次测验成绩均不及格的有4人，则两项成绩都及格的人数是（ ）A 、35B 、25C 、28D 、15(3) 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 3、集合间的关系例3、判断下列两集合之间的关系⑴ },14|{},,12|{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== (2)},2|{},,12|{22R b b b x x B R a a a x x A ∈-==∈++== (3) },24|{},,42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==ππππ 4、方程、不等式与集合例4、(1) 已知方程0)(,0)(==x g x f 的解集分别为B A ,。
① 写出方程0)()(=⋅x g x f 的解集② 写出方程0)()(22=+x g x f 的解集③ 写出方程0)()(=x g x f 的解集 (2)已知不等式0)()0(>>x g x f ，的解集分别为B A 、, 0)()0(<<x g x f ，的解集分别为N M 、。
第一章 集合典型例题(1)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练
专题01 集合中的典型题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 153.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 13⩽m<32B. m⩾0C. m⩾32D. 13<m<324.设M，P是两个非空集合，规定M−P={x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M−(M−P)等于()A. MB. PC. M∪PD. M∩P5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23二、多选题7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集∈A，则称集合8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．13.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．16.已知全集，集合M={x|−2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．(Ⅰ)若a=2，求；(Ⅱ)若M∪N=M，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|a−12<x<a2}，B={x|0<x<1}(Ⅰ)若a=12，求A⋃(∁R B)．(Ⅱ)若A⋂B=⌀，求实数a的取值范围．一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查元素与集合、集合与集合之间的基本关系，特别要注意空集这一概念在题中的特殊性，根据集合中的相关概念，对每个命题进行一一判断．【解答】解：对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确；对②，由于两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合{0,1}是数集，含有2个元素，集合{(0,1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确．故选B．2.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．【解答】解：若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有5个元素，则A 可以为{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，有5种； 若集合A 中只有2个元素，则集合B 中有4个元素，则A 可以为{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,4}，{2,5}，{3,5}，有6种；若集合A 中只有3个元素，则集合B 中有3个元素，则A 只能是{1,3，5}，只有1种，则共有有序集合对(A,B)12个，故选A ．3. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )A. 13⩽m <32B. m ⩾0C. m ⩾32D. 13<m <32【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,解得0≤m <13，综合可得m ≥0，∴实数m 的取值范围是m ≥0．故选B ．4. 设M ，P 是两个非空集合，规定M −P ={x|x ∈M ，且x ∉P}，根据这一规定，M −(M −P)等于() A. M B. P C. M ∪P D. M ∩P【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合新定义问题，属于较难题．分M ∩P =⌀与M ∩P ≠⌀讨论，可证明M −(M −P)=M ∩P ．解：当M∩P=⌀时，∵任意x∈M都有x∉P，∴M−P=M，∴M−(M−P)=⌀=M∩P；当M∩P≠⌀时，M−P表示了在M中但不在P中的元素，M−(M−P)表示了在M中但不在M−P中的元素，∵M−P中的元素都不在P中，所以M−(M−P)中的元素都在P中，∴M−(M−P)中的元素都在M∩P中，∴M−(M−P)=M∩P．故选D．5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M【答案】A【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系及集合与集合的关系，由a=2√2<6即可求解．【解答】解：因为集合M={x|x≤6}，a=2√2<6，所以{a}⫋M.故选A．6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23【解析】【分析】本题考查集合的应用，描述法的定义，交集及其运算，元素与集合的关系．先从四个选择中最小的数开始进行检验是否满足x∈A∩B∩C，即x属于A，B，C中每一个集合，找出最小的一个即可．【解答】解：∵23=3×7+2=5×4+3=7×3+2，∴23∈A，23∈B，23∈C，∴23∈A∩B∩C，所以23是四个答案中最小的一个，故选：D．二、多选题∈P(除数b≠0)则7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab 称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的四个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验．本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab可等到正确的结果．解：当a=b时，a−b=0、ab=1∈P，故可知A正确．当a=1，b=2，12∉Z不满足条件，故可知B不正确．当M中多一个元素复数i则会出现1+i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．故选AD．8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力，根据“完美集”的定义，分别进行判断即可．【解答】解：A.∵1，−1∈B，1−(−1)=2∉B，不满足性质(2)，∴A不正确；B.∵0∈Q，1∈Q，x、y∈Q，∴0−y=−y∈Q，∴x+y=x−(−y)∈Q，且x≠0时，1x∈Q，∴B正确；C.∵0∈A，x、y∈A，∴0−y=−y∈A，∴x+y=x−(−y)∈A，故C正确；D.x，y∈A时，①若x=0，或1，则x2∈A；②若x≠0，且x≠1，则x−1，1x−1,1x∈A，∴1x−1−1x=1x2−x∈A；∴x2−x∈A，x2−x+x=x2∈A；∴x∈A得到x2∈A；∴同理可得y2∈A，x2+y2∈A，(x+y)2∈A；∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)∈A；若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：1 xy =12xy+12xy∈A，∴xy∈A；∴x∈A，y∈A，能得到xy∈A，故D正确．故选BCD．9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查新定义，属于较难题．根据新定义，逐一判断即可．【解答】解：由题意可得：，故正确；，所以正确；若A,B⊆R,且A⊕B⊆A,则B⊆A，故不正确；存在A,B⊆R,使得A⊕B=(∁R A)⊕(∁R B,)如A=B，故正确．故答案为ABD．三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．【答案】16【解析】解：∵M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，∴a=−1，∴M∪N={−1,0，1，2}，故M∪N的子集有24=16个．故答案为：16．由题意先确定集合M，N，再求M∪N={−1,0，1，2}，从而求子集的个数．本题考查了集合的运算及集合的化简，同时考查了集合的子集个数问题，11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．【答案】{0,−1,2}【解析】【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，根据集合M={x|x2+x−8=0}写出集合M最简单的形式，然后再根据N⊆M，求出a的值，【解答】解：∵集合M={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，∵N⊆M，N={x|ax+4=0}，∴N=⌀，或N={−2}或N={4}三种情况，当N=⌀时，可得a=0，此时N=⌀；当N={−2}时，−2a+4=0，可得a=2；当N={4}时，4a+4=0，可得a=−1．∴a的可能值组成的集合为{0,−1,2}．故答案为{0,−1,2}．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．【答案】{−1,0，−12}.【解析】【分析】本题考查集合的包含关系及应用．根据A⊆B，利用分类讨论思想求解即可，特别要注意A=⌀不可忽略.【解答】解：当a=0时，A=⌀，满足A⊆B；当a≠0时，A={−1a }⊆B，−1a=1或−1a=2，解得a=−12或−1，}.综上实数a的所有可能取值的集合为{−1,0，−12}.故答案为{−1,0，−1213.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．【答案】−1【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．由A，B，以及A与B的交集恰有3个元素，确定出a的值即可．【解答】解：因为a2−3≥−3>−4，所以由题意得a2−3=a−1或a−1=1，解得a=2或a=−1．当a=2时，集合A中的两个元素重合，舍去，所以a=−1．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．【答案】解：(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且△=4−4m<0，所以m>1；(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，，满足题意；讨论：①当m=0时，x=12②当m≠0时，△=4−4m，所以m=1．综上所述，m=0或m=1；,2)≠⌀，(3)若A∩(12,2)内有解，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12这等价于当x∈(12,2)时，求m=2x−1x2=1−(1x−1)2的值域，∴m∈(0,1]．【解析】本题考查空集的概念、子集的个数问题以及含参数的集合运算问题，综合性较强，属于拔高题．(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．(3)若A∩(12,2)≠⌀，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12,2)内有解，这等价于求m=2x−1x2，x∈(12,2)时的值域．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由题意得A={x|x2−3x+2=0}={1,2}∵A∩B={2}，∴2∈B∴22+(a−1)×2+a2−5=0，即4+2a−2+a2−5=0化简得：a2+2a−3=0，所以(a+3)(a−1)=0，解得：a=−3或a=1．检验：当a=−3时，B={x|x2−4x+4=0}={2}，满足A∩B={2}，当a=1时，B={x|x2−4=0}={−2,2}，满足A∩B={2}，∴a=−3或a=1;(2)∵A∪B=A，故B⊆A，①当B=⌀，则(a−1)2−4(a2−5)<0，即a2−2a+1−4a2+20<0，即−3a2−2a+21<0，即3a2+2a−21>0，即(3a−7)(a+3)>0，解得：a>73或a<−3，②当B为单元素集，则，即(a−1)2−4(a2−5)=0，得a=73或a=−3当a =73时，B ={−23}⊄A ，舍当a =−3时， B ={2}⊆A 符合，③当B 为双元素集，则B =A ={1,2}则有{1+2=1−a 1×2=a 2−5无解， 综上：a >73或a ≤−3【解析】本题主要查了交集、并集以及一元二次方程的解法，考查了学生分类讨论的思想，培养了学生的综合能力．(1)由A ∩B ={2}，知2∈B ，将2代入求出a ，进而进行检验，得出集合B ，得出结论．(2)由A ∪B =A ，知B ⊆A ，再根据一元二次方程根的情况讨论B 的情况，得出a 的取值范围．16. 已知全集，集合M ={x|−2≤x ≤5}，N ={x|a +1≤x ≤2a +1}． (Ⅰ)若a =2，求；(Ⅱ)若M ∪N =M ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)若a =2，则N ={x|3≤x ≤5}，则或x <3}； 则；(Ⅱ)若M ∪N =M ，则N ⊆M ，①若N =⌀，即a +1>2a +1，得a <0，此时满足条件；②当N ≠⌀，则满足{a +1≤2a +12a +1≤5a +1≥−2，得0≤a ≤2，综上a ≤2，故a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键，属于拔高题．(Ⅰ)根据集合的基本运算进行求解即可；(Ⅱ)根据M ∪N =M ，得N ⊆M ，讨论N 是否是空集，根据集合的关系进行转化求解即可．17. 已知集合A ={x |a −12<x <a 2}，B ={x |0<x <1}(Ⅰ)若a =12，求A⋃(∁R B )．(Ⅱ)若A⋂B =⌀，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)当a =12时A ={x|0<x <14}，C R B ={x|x ≤0或x ≥1}，∴A ∪(∁R B)={x|x <14或x ≥1};(Ⅱ)当A =ϕ时，即a −12⩾a 2解得a ⩾1，当A ≠ϕ时，需满足{a <1a −12⩾1或{a <1a 2⩽0，解得a ⩽0，综上a ⩽0或a ⩾1 ．【解析】本题考查集合的运算以及集合的关系(1)当a =12时，得到集合A ，C R B 利用并集概念即可求出A ∪(∁R B)； (2)分A =Φ和A ≠Φ两种情况即可求解，然后再求并集．。
集合的含义与表示
第一课时集合的含义与表示一考点分析1.集合的概念把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合；高一（9）班的全体学生我国古代的四大发明2，4，6，8，10，12，142.集合的特性：确定性，互异性，无序性3.集合的表示方法：例举法，描述法，图示法；4.元素与集合的关系：属于ϵ，不属于∈5.集合的分类:有限集，无限集，空集￠6.常用数集的符号非负整数集Ｎ，正整数集Ｎ*或Ｎ+ ，整数集Ｚ，有理数集Ｑ，实数集Ｒ，复数集Ｃ二典型例题考点一集合的概念例题1 下列说法正确的是（ C ）A “整数集”可以写成｛Ｎ｝或｛整数集｝B ｛1,2,3,4｝与｛1,3，4,2｝是两个不同的集合C 小于π的全体实数组成一个集合D 充分接近π的实数组成一个集合例题2 定义集合运算：A*B={z｜z=xy ，x∈A,y∈B }设A={1,2}，B={2,4}，则集合A*B的所有元素之和为（ C ）A 2B 4C 14D 18,1},也可以表示为{ a2,a+b,0},则a2009+b2009= 例题 3 有三个实数的集合，既可以表示为{a,ba-1考点二集合的表示方法例题1 集合A={1，-3,5，-7,9，-11，。
}用描述法表示正确的是（ D ）①{x｜x=2n±1,n∈N }②{x∣x=(-1)n(2n-1),n∈N }③{x∣x=(-1)n(2n+1),n∈N }④{x∣x=(-1)n-1(2n-1),n∈N }A 只有②④B ①④C ②④D ③④例题2 用列举法表示下列集合∈Z ,x∈Z}（1）{x∣63−x(2){x∣x=b,a∈Z ,∣a∣<2,b∈N*且b≤3}a例题3 设集合M={m∣m≤2√3},又x=2√2,那么下列关系正确的是（）A x ∉MB {x}∈MC x ∈MD 以上都不对 考点三 集合的分类例题1 在（1） {0}，（2） { ￠ } (3){ x ∣3m<x<m } (4) {x ∣a+2<x<a} (5) {x ∣x 2+1=0, x ∈R}中表示空集的是（4） （5）当堂检测1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．约等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3. 知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 . 4. 已知}1,0,1,2{--=A ，},|{A x x y y B ∈==，则B ＝ .5. 若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B .6.数集A 满足条件：若1,≠∈a A a ，则A a∈+11. ①若2A ∈，则在A 中还有两个元素是什么； ②若A 为单元集，求出A 和a .7.用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）第二课时 集合间的基本关系 一考点分析1. 子集和真子集对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
集合典型例题(含解析)
集合典型例题(含解析)集合典型例题(含解析)在学习和掌握数学等理科学科时，通过解析典型例题可以更好地理解和应用知识。
本文将为大家集结一些典型的数学例题，并通过详细的解析，帮助读者更好地理解和应用相关知识点。
一、无理数的性质在数学中，无理数是指不能表示为有理数的形式的数。
下面我们通过一个例题来了解无理数的性质。
例题：证明根号2是无理数。
解析：要证明根号2是无理数，我们可以采用反证法。
假设根号2是有理数，即可以表示为两个互质的整数的比。
设根号2=a/b，其中a、b为互质的整数。
将等式两边平方得到2=a^2/b^2，化简得到2b^2=a^2。
根据等式两边的整数性质，我们可以得出结论：a必为偶数，不妨设a=2m，其中m为整数。
代入原等式得到2b^2=(2m)^2，化简得到b^2=2m^2。
同样地，根据等式两边的整数性质，我们可以得出结论：b 必为偶数。
但是这与a、b为互质的整数矛盾，因此假设不成立。
可见根号2是无理数。
二、多项式的运算在代数学中，多项式是由系数和自变量的各次幂通过加减乘除运算得到的表达式。
下面我们通过一个例题来练习多项式的运算。
例题：计算多项式 P(x) = (x^2 + 2x - 3) × (x + 1)。
解析：首先，我们将待乘的两个多项式展开，并按照相应的规则进行乘法运算。
P(x) = (x^2 + 2x - 3) × (x + 1)= x^2 × (x + 1) + 2x × (x + 1) - 3 × (x + 1)= x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x - 3x - 3= x^3 + 3x^2 - x - 3所以，多项式 P(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3。
三、三角函数的应用三角函数是研究角和角的函数关系的一门学科，具有广泛的应用。
下面我们通过一个例题来了解三角函数的应用。
例题：已知直角三角形的一条直角边的长度为3，斜边的长度为5，求另一条直角边的长度。
高一集合好题50道
高一数学必修1集合练习题一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有（）①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个 B.2个D.4个C.3个【解析】①③中"美丽""接近零"的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有∶0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中"比较好"，没有明确的界限，不满足元素的确定性，的不能构成集合.【答案】 A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为（）A.{0,1,2}B.{1}C.0,1}D.1,2}【解析】小于2的自然数为0，1，应选C.【答案】C3.下列各组集合，表示相等集合的是（）①M={(3,2)},N={(2,3)};②M={3,2},N={2,3};③M={(1,2)},N={1,23.A.①B.②C.③D.以上都不对【解析】①中M中表示点（3，2），N中表示点（2，3），②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素∶点（1，2），N中表示两个元素分别为1，2.【答案】 B4.集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，则6-aEA，那么a为（）A.2B.2或4C.4D.0【解析】若a=2，则6-a=6-2=4EA，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2EA，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0#A，不符合要求..a=2或a=4. 【答案】 B5.（2013·曲靖高一检测）已知集合M中含有3个元素;0，x2，-x，则x满足的条件是（）A.Xx≠0B.x≠=-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1【解析】由x2≠0，x2≠-x，-x≠0，解得x≠0且x≠-1.【答案】C 二、填空题6.用符号"∈"或"g"填空(1)22___R,22__{xlx<7);(2)3__{x|x=n2+1, n∈N+};(3)(1,1)___y|y=x2};(1,1)____(x,yly=x2}.【解析】（1）22ER，而22=8>7，.22e{xx<7. (2).n2+1=3, ..n=±20N+,..36{x|x=n2+1,neN+}.（3）（11）是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而例y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，故（1，1）e{yly=x2}.集合【（x，y）ly=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合（点集），且满足y=x2，.(1,1)={x,yl|ly=x2}.【答案】（1）∈∈（2）4（3）∈7.已知集合C={63-xEZ，xEN}，用列举法表示C=_____·【解析】由题意知3-x=±1，±2，±3，±6，x=0,-3,1,2,4,5,6,9.乙又们乙、..C={1,2,4,5,6,9].【答案】{1，2，4，5，6，9}8.已知集合A={-2，4，x2-x}，若6∈A，则x=____【解析】由于6∈A，所以x2-x=6，即x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.【答案】 -2或3 三、解答题9.选择适当的方法表示下列集合∶（1）绝对值不大于3的整数组成的集合;（2）方程（（3x-5）（x+2）=0的实数解组成的集合;（3）一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.【解】（1）绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1，0，1，23，共有7个元素，用列举法表示为-3，-2，-1，0，1，2，3};（2）方程（3x-5）（x+2）=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2（3）一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{（x，yly=x+6}. 10.已知集合A中含有a-2，2a2+5a，3三个元素，且-3∈A，求a的值. 【解】由-3EA，得a-2=-3或2a2+5a=-3.（1）若a-2=-3，则a=-1，当a=-1时，2a2+5a=-3，..a=-1不符合题意.（2）若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.当a=-32时，a-2=-72，符合题意;当a=-1时，由（1）知，不符合题意.综上可知，实数a的值为-32.11.已知数集A满足条件∶若a∈A，则11-a∈A（a≠1），如果a=2，试求出A中的所有元素.【解】∵2EA，由题意可知，11-2=-1∈A;由-1EA可知，11-□-1口=12EA;由12EA可知，11-12=2EA.故集合A中共有3个元素，它们分别是-1，12，2.高一数学必修1集合知识点集合的含义∶"集合"这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的"全体集合"。
子集全集补集典型例题
子集全集补集典型例题子集、全集、补集是集合论中的重要概念，理解和掌握它们对于解决集合相关的问题至关重要。
下面通过一些典型例题来深入探讨这些概念。
例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，判断集合 B 是否为集合 A 的子集。
解：因为集合 B 中的所有元素 1、2、3 都在集合 A 中，所以集合 B 是集合 A 的子集。
这里要明确子集的定义，如果集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，那么集合 B 就是集合 A 的子集。
例 2：设全集 U ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，求集合 A 的补集。
解：全集 U 中不属于集合 A 的元素为 5、6、7、8、9，所以集合 A 的补集为｛5, 6, 7, 8, 9}。
补集的概念就是在给定的全集中，除去某个集合中的元素，剩下的元素所组成的集合。
例 3：集合 M ＝｛x ｜ x ＜ 5}，集合 N ＝｛x ｜ x ＞ 2}，全集 U＝ R，求集合 M 的补集和集合 N 的补集。
解：集合 M 的补集是｛x ｜x ≥ 5}，集合 N 的补集是｛x ｜x ≤ 2}。
对于这种用不等式表示集合的情况，要注意理解实数轴上的范围来确定补集。
例 4：已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 5}，全集 U ＝ R，求（∁UA）∩（∁UB）。
解：∁UA ＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 3}，∁UB ＝｛x ｜x ≤ 1 或x ≥ 5}所以（∁UA）∩（∁UB）＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 5}这道题需要先分别求出两个集合的补集，然后再求交集。
例 5：集合 P ＝｛（x, y）｜ x ＋ y ＝ 2}，集合 Q ＝｛（x, y）｜x y ＝ 4}，全集 U 为平面直角坐标系中所有点组成的集合，求∁UP 和∁UQ。
解：对于集合 P，解方程组{x ＋ y ＝ 2}可得 y ＝ 2 x，所以集合 P 表示直线 y ＝ 2 x 上的点。
交集、并集-典型例题
交集、并集-典型例题交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。
并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集。
1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，求B∩A。
2、已知集合A={(x，y)|x+2y=5}，B={(x，y)|5x-2y=1}，求B∩A。
3、已知集合A={x|-24、已知集合A={-1，1，2}，B={0，2，3}，求B∪A。
5、设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则AUB=？6、设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则AB为？7、已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=？8、集合A={0,2，a}，B={1，a2}.若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为？9、设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于？10、已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且AB={3},AUB={9}，则A=？若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而没有其他元素的集合。
A和B的并集通常写作"A∪B"，读作“A并B”，用符号语言表示，即：A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
关于并集有如下性质：A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则A∈B，反之也成立;若A∪B=B，则A∈B，反之也成立。
若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B;若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B。
集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。
即：A∩B={x|x∈A ∧x∈B}。
若两个集合A和B的交集为空，则说他们没有公共元素。
任何集合与空集的交集都是空集，即A∩∅=∅。
集合复习题
A {x | x2 5x q 0} ， B {x | x2 px 12 0} ，且 (CU A) B {1, 2,3, 4,5} ，求实数 p、q 的值.
7. 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若 A∩B=B，求实数 a 的取值范围.
例题 4：设 A {x | x2 8x 15 0} ， B {x | ax 1 0}，若 B A，求实数 a 组成的集合、.
例题 5. 设 A {x | x2 ax 6 0} ， B {x | x2 x c 0} ，且 A∩B＝{2}，求 A∪B. 例题 6. 已知 A={x|x<-2 或 x>3}，B={x|4x+m<0}，当 A B 时，求实数 m 的取值范围。
A．U A B
B． U (CU A) B
C．U A (CU B)
D．U (CU A) (CU B)
4.
满足条件{1,2,3}
M
{1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是
.
5. 设集合 M {y | y 3 x2} ， N {y | y 2x2 1} ，则 M N
.
6. 设全集U {x | x 5,且x N*}，集合
例题 2 已知全集U {1, 2,3, 4,5}，若 A B U ， A B ， A (CU B) {1, 2}，求集合 A、 B.
例 题 3 若 A x x2 4x 3 0 , B x x2 ax a 1 0 ， C x x2 mx 1 0 且A B A, A C C ，求实数 a、m 的值或取值范围．
集合复习题
复习题 1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言.
复习题 2：交、并、补有如下性质.
数学集合典型例题
数学集合典型例题及易错题
1、已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围。
（见学案P10）
2、已知集合A={x∈R|x2-3x+a>0}，且2不属于A，则实数a的取值范围是。
（见学案P11）
3、若A={x|x2+x-2=0},B={x|ax2+2x+4=0}.且B⊆A，求a的取值范围。
（见学案P11）
4、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？（见学案P14）
5、已知A={x|x2+(p+2)x+1=0},B={x|x>0},若A∩B=空集,则实数p的取值范围为 .（见学案P15）
6、已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={x|2<x+1≤4}，设集合C={x|x2+bx+c>0},且满足(A∪B)∩C=空集，(A∪B)∪C=R,则
7、A={x|4x+p<0},B={x|x<-1或x>2}若A∩B=A，求p的范围？（见学案P15）
8、已知集合A={x|x2-5x+6<0},B={x|x2-4ax+3a2<0},且A⊆B，求实数a的取值范围？（见学案P15）
9、若集合A={x|x2+2x-8<0},B={x||x+2|>3},C={x|x2-2mx+m2-1<0}.（见学案P19）
⑴若A∩C=空集，求m的集合？
⑵若（A∩B）⊆C，求m的集合？
11、因式分解：2x2+xy-y2-4x+5y-6。
(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语典型例题
(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语典型例题单选题1、下列元素与集合的关系中，正确的是（）∉RA．−1∈N B．0∉N∗C．√3∈Q D．25答案：B分析：由N,N∗,Q,R分别表示的数集，对选项逐一判断即可.−1不属于自然数，故A错误；0不属于正整数，故B正确；√3是无理数，不属于有理数集，故C错误；2属于实数，故D错误.5故选:B.2、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、设集合A={x|x≥2},B={x|−1<x<3}，则A∩B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x<2}C．{x|2≤x<3}D．{x|−1≤x<2}答案：C分析：根据交集的定义求解即可由题，A∩B={x|2≤x<3}故选：C4、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.5、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．6、已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可答案：B分析：由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．∵2∈A，∴m＝2 或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．7、已知集合A={x|x2−2x=0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：B分析：根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.由题意得，集合A={0,2}．所以−2∉A，B错误；由于空集是任何集合的子集，所以A正确；因为A={0,2}，所以C、D中说法正确．故选：B．8、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p 、q 之间的较大者.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a =d =1，b =c =−1，则max {a,b }+max {c,d }=max {1,−1}+max {−1,1}=1+1>0成立， 但max {a +c,b +d }=max {0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max {a +c,b +d }=a +c ，则max {a,b }≥a ，max {c,d }≥c ，从而可得max {a,b }+max {c,d }≥a +c >0，必要性成立.因此，“max {a,b }+max {c,d }>0”是“max {a +c,b +d }>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.9、设a,b ∈R ，A ={1,a}，B ={−1,−b}，若A ⊆B ，则a −b =（ ）A ．−1B ．−2C ．2D ．0答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1， ∴a −b =0.10、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D多选题11、已知集合M={−2，3x2+3x−4，x2+x−4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A．2B．−2C．−3D．1答案：AC解析：根据集合元素的互异性2∈M必有2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．解：由题意得，2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，若2=3x2+3x−4，即x2+x−2=0，∴x=−2或x=1，检验：当x=−2时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去；当x=1时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去．若2=x2+x−4，即x2+x−6=0，∴x=2或x=−3，经验证x=2或x=−3为满足条件的实数x．小提示：本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．12、(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D．若ab＝0，则a＝0答案：BCD分析：根据必要条件的定义逐一判断即可.A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(−2)2−4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD13、已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B=B，则下列关系一定正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=BC．A∪B=U D．(∁U B)∪A=A答案：CD分析：采用特值法，可设U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，根据集合之间的基本关系，对选项A,B,C,D逐项进行检验，即可得到结果.令U={1,2,3,4}，A={2,3,4}，B={1,2}，满足(∁U A)∪B=B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B=B，知∁U A⊆B，∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B=U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A=A，故C，D均正确.14、已知集合P，Q是全集U的两个非空子集，如果P∩Q=Q且P∪Q≠Q，那么下列说法中正确的有（）A．∀∈P，有x∈Q B．∃∈P，使得x∉QC．∀∈Q，有x∈P D．∃∈Q，使得x∉P答案：BC分析：根据P∩Q=Q且P∪Q≠Q确定正确选项.由于P,Q是全集U的非空子集，P∩Q=Q且P∪Q≠Q，所以Q是P的真子集，所以∃∈P，使得x∉Q、∀∈Q，有x∈P，即BC选项正确.故选：BC15、已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（）A．p是q的既不充分也不必要条件B．p是s的充分条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件答案：BD解析：由已知可得p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s，然后逐一分析四个选项得答案．解：由已知得：p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s．∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．∴正确的是B、D．故选：BD．小提示：本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．16、（多选）下列是“a<0，b<0”的必要条件的是（）A．(a+1)2+(b+3)2=0B．a+b<0>0C．a−b<0D．ab答案：BD分析：由a<0,b<0判断各个选项是否成立可得．取a=−2，b=−4，得(a+1)2+(b+3)2=2≠0，故A不是“a<0，b<0”的必要条件；由a<0，b<0，得a+b<0，故B是“a<0，b<0”的必要条件；取a=−2，b=−4，得a−b=−2−(−4)=2>0，故C不是“a<0，b<0”的必要条件；>0，故D是“a<0，b<0”的必要条件．由a<0，b<0，得ab故选：BD．17、下列关系正确的是（）A．0∉∅B．∅⊆{0}C．{∅}⊆{0}D．∅{∅}答案：ABD分析：利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.由空集的定义知：0∉∅，A正确.∅⊆{0},B正确.{∅}⊄{0}，C错误.∅{∅},D正确.故选：ABD.18、图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩(B∪C)B．A∪(B∩C)C．A∩∁U(B∩C)D．(A∩B)∪(A∩C)答案：AD分析：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)，故选：AD19、对于集合A，B，定义A−B={x|x∈A,x∉B}，A⊕B=(A−B)∪(B−A)．设M={1,2,3,4,5,6}，N= {4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中可能含有下列元素（）．A．5B．6C．7D．8答案：CD分析：根据所给定义求出M−N，N−M，即可求出M⊕N，从而判断即可；解：因为M={1,2,3,4,5,6}，N={4,5,6,7,8,9,10}，所以M−N={1,2,3},N−M={7,8,9,10}，∴M⊕N=(M−N)∪(N−M)={1,2,3,7,8,9,10}．故选：CD20、若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（）A．(−∞，−5)B．(−3，−1]C．(3，+∞)D．[0，3]答案：AB解析：根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.填空题21、已知p：2≤x≤10，q：a−1<x<a+1，a∈R，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．答案：[3,9]分析：根据题意可得(a−1,a+1)[2,10]，即可建立不等关系求解. 因为p是q成立的必要非充分条件，所以(a−1,a+1)[2,10]，所以{a−1≥2a+1≤10，解得3≤a≤9，所以实数a的取值范围是[3,9].所以答案是：[3,9].22、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].23、已知命题p:“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，则实数m的最大值是____. 答案：分析：根据任意性的定义，结合不等式的性质进行求解即可.当x≥3时，2x≥6⇒2x−1≥5，因为“∀x≥3，使得2x−1≥m”是真命题，所以m≤5.所以答案是：511。
Y集合中典型例题的汇总
集合中元素性质的理解例2、求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围.【拓展·变式】2.已知集合22{2,(1),33}A a a a a =++++且1A ∈，求实数a 的值.对集合分类的考查例4、判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集，指出其元素的个数.（1）{|4012124031}A x Z x =∈-<-≤；（2）平面内到线段AB 的两个端点距离距离相等的点P 的集合.例5、已知集合2{|210},A x R ax x a =∈++=为实数.（1）若集合A 是空集，求实数a 的取值范围；（2）若集合A 是单元素集，求实数a 的值；（3）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.子集概念的考查例1. 写出集合{,,,}a b c d 的所有子集.例2.设(,)|1y x A x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=+⎩⎩⎭，2(,)|21y x B x y y x ⎧=⎫⎧=⎨⎨⎬=-+⎩⎩⎭，判断集合A 是否是集合B 的子集，B A ⊆成立吗？集合相等概念的考查例3.（1）设2{|213},{|10}A x m x x B x R x =-<<+=∈+=，问m 为何值时能使得?A B =（2）已知{|21,},{|41,}X x x n n Z Y y y k k Z ==+∈==±∈，求证：.X Y =【拓展·变式】2. 设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b |b =3k －1, k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．空集∅的作用例4.已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p －1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．【拓展·变式】3. 已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若B A ，求实数m 范围．例9. 设集合{1,,}A a b =，集合2{,,}B a a ab =，且A B =，求实数,a b 的值.例10.（2007年上海卷）已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数___m =.并集与交集的概念的考查 例1. 集合A={x |x 2＋5x －6≤0},B={x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B ．例2. 设A={x|－2<x <－1或x >1}，B={x |x 2＋a x ＋b ≤0}，已知A ∪B={x|x >－2}，A ∩B={x|1<x ≤3}，求a 、b 的值．【拓展·变式】1. 已知集合{}{}22230,0A x x x B x x ax b =-->=++≤,且{},34A B R A B x x =<≤ ，{},34A B R A B x x ==<≤ ，求a ,b 的值.2. 集合A={（x,y ）022=+-+y mx x },集合B={（x,y ）01=+-y x }，又A φ≠⋂B ，求实数m 的取值范围.全集与补集概念的考查例3. 已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由.【拓展·变式】3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值．对交集、并集之间关系的考查例4. 已知集合}90{}06{2<-<=<--=m x x B x x x A①若B B A = ，求实数m 的取值范围；②若φ=B A ，求实数m 的取值范围.【拓展·变式】4. 已知集合A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|x 2－a x ＋a －1=0}，且A ∪B=A ，求实数a 的值.例7. 已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A ∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．【拓展·变式】7. 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 ．例8 设集合A = {(x ，y )|y 2－x －1= 0 }，集合B ={(x ，y )| 4x 2＋2x －2y ＋5 = 0 }，集合C ={(x ，y )| y = kx ＋b }，是否存在k ，b ∈N ，使得()A B C =∅ ？若存在，请求出k ，b 的值；若不存在，请说明理由．【拓展·变式】8. 已知集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=是否存在实数a 使得,A B φ≠ ，,A C φ= 若存在求出实数a 的值，若不在，说明理由例9 已知集合2{|4260}A x x ax a =-++=,若A R -≠∅ ,求实数a 的取值范围.【拓展·变式】9. 已知集合A={x|x 2－4m x ＋2m ＋6=0,x ∈R}，若A ∩R －≠∅，求实数m 的取值范围．例10已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【拓展·变式】10. 已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.例11已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．【拓展·变式】 11（2007年安徽卷文）若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则A B = （ ）A．{3} B．{1} C． D．{－1}。
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1.集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1.已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为变式：已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 的值为_______2.{}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形（二）集合的表示方法1.用列举法表示下列集合（1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成的集合为___ （2）},36|),{(*N x Z x y y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭ 变式2：()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6,（3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B（4）已知集合M=}56|{*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a∈∈-，则集合M 中的元素为 2.用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点_______________________________变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________{}R x x y y x ∈=,),（（2）能被3整除的整数_______________________{}Z n n x x ∈=,3.3.已知集合{}10，=A ，{}A x x B ⊆=，{}A x x C ∈= （1）用列举法写出集合C B ,；（2）研究集合C B A ,,之间的包含或属于关系4.命题(1){}200x ∈=；(2)(){}00,0∈；(3)0∈∅；(4)0N ∈表述正确的是.5.使用∉和∈和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数”（2）“2的平方根不是有理数”（3）“3.1416是正有理数”（4）“-1是整数”（5）“x 不是实数”6.用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数（2）五边形ABCDE 的对角线（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数7.用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E ，E B E A ∈∈,（1）平面上以A 为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________{}5=∈PA E P（2）说明下列集合的几何意义：{}5<∈PA E P ；{}PB PA E P =∈8.当b a ,满足什么条件时，集合{}0=+b ax x 是有限集？无限集？空集？9.元素0、空集∅、{}0、{}∅三者的区别？10.请用描述法写出一些集合A ，使它满足：（i ）集合A 为单元素集，即A 中只含有一个元素；（ii ）集合A 只含有两个元素；（iii ）集合A 为空集11.试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。
先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。
设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢？这是关键问题。
设所有的鸡蛋组成集合D ，要确定D 的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。
如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。
至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。
（三）空集的性质1.若?{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________2.已知a 是实数，若集合｛x |ax ＝1｝是任何集合的子集，则a 的值是_______.03.下列三个集合中表示空集的是(1){0}；(2){(x ,y )|y 2=-x 2,x ∈R ，y ∈R }；(3){x ∈N |2x 2+3x -2=0}.变式1：若集合B A x y x B x y y A I 则},1|{},|{-=====_______变式2：若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B =I_____{}1,1- （四）集合相等 1.已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，B={}0,,2b a a +，若A=B ，则=+20032004b a _____ 2.已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}21,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值.3.已知22{2,2010,1},{0,2010,3},A x B x x A B =--=-=且，则x 的值为________4.已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．5.已知集合{}{}21,1,12,1,,P d d Q q q =++=,且P Q =，则__,__d q ==6.两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（1）用列举法分别写出下列集合：{}42<<-∈=a Z a A ；{}42<<-∈=b Z b B（2）请你判断两集合A 和集合B 是否相等？2.集合方程问题1.若集合{}2|10,A x ax bx x R =++=∈（1）若{}1,1A =-，求,a b 的值；（2）若{}1A =-，求,a b 的值2.若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为.3.设{}{}2,y x ax b A x y x a =++===，求,a b .4.已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 是单元素集，求a 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．5.已知集合241x A a x x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A 为.变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3.子集、全集、补集1.集合=A {01|=-kx x }，集合}0|{=-=k x x B ，若B A ⊆，k 的取值集合．．．．为______ 2.设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|12--x y =3}，则C U A =. 3.M={x|?2≤x ≤5},N={x|a+1≤x ≤2a ?1}.若M ⊇N ，实数a 的取值范围为.4.若{}01)1(222=-++-=a x a x x A ，B={x|x 2-4x=0}，C={x|x 2-8x+16=0}，若A B ⊆ＵC,求实数a 的取值范围5.1{-<=x x A 或}2>x ，}04{<+=a x x B ，当A B ⊆时，实数a 的取值范围为_____6.已知集合}21{<<=ax x A ，}1{<=x x B ，满足B A ⊆，则实数a 的取值范围为____ 变式：已知集合{}510≤+<=ax x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-=221x x B （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由7.已知集合{}|312M x a x a =-<<，{}|13N x x =-<<，若N M C R ，实数a 的取值范围为____________8.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，},9,1{)()(},2{==B C A C B A U U I I }8,6,4{)(=B A C U I ，则=A ,=B .9.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=,若φ=B A C U I )(，m =________10.已知全集}3,2,1,0{=U ，若},3,1{2a a M C u -=，则a 的值为____________11.若集合}20|{≤<=x x A .分别求出当全集为下列集合时的U A ð.(1)R U =；(2)}1|{-≥=x x U ；(3)=U }30|{≤≤x x .12.若集合}06{2=-+=x x x M ，}0))(2({=--=a x x x N ，且M N ⊆，则实数a 的值为_______13.已知集合}9,8,6,4,2{=A ，}8,5,3,2,1{=B ，是否存在集合C ，使C 中的每个元素加上2就变成了A 的一个子集，且C 中的每个元素减去2就变成了B 的一个子集？若存在，求出集合C ；若不存在，说明理由14.}2,1{=U ，}0{2=++=q px x x A ，}1{=A C u ，则=+q p ____15.写出满足条件{a }?M ≠⊂{a ，b ，c ，d }的集合M 16.已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B=17.设集合{}1,2,3,4,5,6A =,{}4,5,6,7B =,则满足S A ⊆且S B ≠∅I 的集合S 的个数为____________5618.已知集合{}{}220,10A x x px q B x qx px =++==++=同时满足：,A B ≠∅I -2A ∈，求实数,p q 的值. 解：两式相减，得5,11,23,22p q p q p q ====-==或或 19.已知集合{}[]{}21,01,()(3)0A y y x x B x x a x a ==-<≤=--+<，分别根据下列条件，求实数a 的取值范围.（1）A B A =I ；（2）A B ≠∅I （1）(]-2-1，；（2）()-4,1 20.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=04a x ax x A ，{}0342<+-=x x x B ，{}0822>++=mx x x C （1）若A ∈3，求a 的取值范围；（2）若4A ∉，求a 的取值范围；（3）若C C B =Y ，求m 的取值范围.（4）若∅=C B I ，求m 的取值范围21.有限集中有一个特殊的集合∅，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循：①规定的必要性；②规定的合理性。