柯西中值定理

π 2

arctan
x


kx k 1
1 x2
1
1
lim
k
x

π 2

arctan
x


x k 1
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1 k
lim
x

x k 1 arctan x
2

k
k
1
lim
x
xk2

1
1 x
2

k 1 lim xk k x
解 这是一个 型不定式. 如果用洛必达法则,
2x sin x
2 cos x
lim
lim
.
(3)
x 2 x sin x x 2 cos x
而极限 lim 2 cos x 不存在, 但是原极限 x 2 cos x
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lim
x
2x 2x

x
t
1
lim x0 1 e
x

lim t0 1
et

lim
t 0
et
1.
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1
例4 求 lim (1 x) x e .
x0
x
解
lim
(1
1
x)x
e

lim
(1
1
x)x

x0
x
x0
1

lim(1
x0
1
x)x
x 1 x
f (x) g( x)
f ( x) f ( x0 ) g( x) g( x0 )
f ( ) g( )
(介于x0与 x 之间).
令 x x0 , 故 x0 , 根据归结原理
f (x)
f ( )
f ( x)
lim
lim
lim
A.
xx0 g( x) xx0 g( ) xx0 g( x)
g( x1) 1 g(x) 1 . f ( x1) 1 f (x)
由(1)式, 存在正数 0, 当 x0 x x0 x1 时,
上式的右边的第一个因子有界; 第二个因子对固定
的 x1是当 x x0 时的无穷小量, 所以 0, 1 0, 当 x0 x x0 1 时,有
§2 柯西中值定理和 不定式极限
柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 般的中值定理，本节用它来解决求不 定式极限的问题.
一、柯西中值定理 二、不定式极限
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一、柯西中值定理
定理6.5 (柯西中值定理) 设函数 f ( x), g( x) 在区间 [a , b]上满足: (i) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f 2( x) g2( x) 0 ; (iv) g(a) g(b) .
f ( x1) f ( x) A f ( ) A , (1)
g( x1) g( x)
g( )
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另一方面，
f ( x) f ( x1) f ( x) f ( x1) f ( x)
g( x) g( x1) g( x)
g( x1) g( x)
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f ( x) f ( x1) f ( x) ,
(2)
g( x) g( x1) g( x) 2
综合 (1) 和 (2), 对一切满足不等式 x0 x x0 1
的x有
f (x) A ,
g( x)
这就证明了
f (x)
lim
A.
x x0 g( x)
sin sin
x x

lim
x
2 2

sin
x sin
x x

1.
(3) 式不成立. 这就说明:
x
lim
x
f x g x
不存在时,不能推出 lim x
f g

x x
不存在.
我们再举一例:
例8
求极限 A lim arctan x . x arctan 2 x
x0
2x
x0
2
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这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的
代换，其目的就是使得计算更简洁些.
例3 求 lim x . x0 1 e x
解
这显然是
0 0
型不定式极限,
可直接利用洛必达
法则. 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些.
令 t x, 当 x 0 时有 t 0 ,于是
x x0
x x0
(ii)
在点
x0
的某右邻域
U
o
(
x0
)
内二者均可导，
且 g( x) 0;
(iii) lim f ( x) A A可以为实数, , .
xx0 g( x)
则
f (x)
f ( x)
lim
lim
A.
xx0 g( x) xx0 g( x)
1. 0 型不定式极限 0
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定理6.6 若函数 f 和 g 满足：
(i) lim f ( x) lim g( x) 0 ;
x x0
x x0
(ii) 在点 x0 的某空心邻域 U o( x0 )内两者均可导，
且 g( x) 0 ;
(iii) lim f ( x) A A 可以为实数，, .
请大家想一想 ,若A ， 或 , 应该如何证明？
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注 这里的 x x0 可以用 x x0，x x0 ， x , x ，x 来替换. 当然定理的条 件要作相应的改变.
例5 求 lim ln x . x x
解 这是一个 型不定式.
xx0 g( x)
则
f (x)
f ( x)
lim
lim
A.
xx0 g( x) xx0 g( x)
证 我们补充定义 f ( x0 ) g( x0 ) 0, 所以 f , g
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在点 x0 连续. 任取 x U ( x0 ), 则在区间 [ x0, x] ( [ x, x0] )上应用柯西中值定理，有
的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 ) 的导数
dv du x 恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图):
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k AB

f (b) f (a). g(b) g(a)
v
P(g( ), f ( ))•
•
B(g(b), f (b))
•
A(g(a) , f (a))
O
u
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证 设 A 为实数.
对于任意的

0，
x1

U
o
(
x0
),
满足不等式 x0 x x1 的每一个 x ,
f ( x) A ,
g( x)
由柯西中值定理，存在 x, x1, 使
从而有
f ( x1)
f (x)
f ( )
.
g( x1) g( x) g( )
ln(1 x2
x)

e lim x0
x

(1

x ) ln(1 x2

x)
elim 1 ln(1 x) 1 e .
x0
2x
2
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2.
型不定式极限
定理6.7 若函数 f 和 g 满足：
(i) lim f ( x) lim g( x) ；
则在开区间(a , b)内必定 (至少) 存在一点 , 使得
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f ( ) f (b) f (a) . g( ) g(b) g(a)
几何意义
首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程
u g(x), v f (x). 它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理
x
1 ln2
x
x0
L L ,
很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果.
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1
例10 ( 1 型 ) 求 lim(cos x) x2 . x 0
解
1
(cos x) x2

lncos x
e x2
,
而
lim
x 0
ln cos x2
x
是
0 0
型.
由于 因此
lim
x0
ln cos x2
2x) x2)
2
.
解 因为当 x 0 时，ln(1 x2 ) ~ x2, 所以
1
1
ex (1 2 x)2
lim
x0
ln(1 x2 )
lim ex x0
(1 2 x)2 x2
lim ex
1
(1 2 x) 2
lim ex
3
(1 2 x) 2
1.

1
lim ln x lim x 0.
x x
1 x
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例6
求
lim
x
ex x3
.
解
lim
x
ex x3

lim
x
ex 3x2

lim ex x 6 x

lim ex x 6

.
例7 求极限 lim 2x sin x . x 2 x sin x
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证 作辅助函数 F( x) f ( x) f (a) f (b) f (a)(g( x) g(a)). g(b) g(a)
显然, F( x) 满足罗尔定理的条件, 所以存在点
(a , b), 使得 F( ) 0, 即 f ( ) f (b) f (a) g( ) 0.
解 因为 lim arctan x π , lim arctan 2 x π ,
x
2 x
2
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所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则：
lim arctan x x arctan 2 x

lim
x
1
1 x
2
1 4x2 2
2,
这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法
a 证 设 g( x) ln x , 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足
柯西中值定理的条件,于是存在 (a , b), 使得
f (b) f (a) lnb lna
f
(
1
)
,

变形后即得所需的等式.
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二、不定式极限
在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限 比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统 称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则.
x

lim
x0
sin x 2x cos x


1 2
,
1
lim(cos x) x2
1
e 2.
x 0
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1
例11
(
00
型
)
求
lim
x

π 2

arctan
x

xk
(k

0)
.
解
lim
x
ln

π 2

arctan xk
x

百度文库im
1
x
x
ln
x

ln x
1
,则
x
lim x ln x
x0
ln x
lim
x0
1
x
1

lim
x0

x
1
x2
lim( x) 0. x0
但若采用不同的转化方式:
lim x ln x lim x lim 1 lim x ln2 x
x0
1 x0 ln x
x0

x π sin 4 x x π 4cos 4 x 4 2
4
4
如果 lim f ( x) 仍是 0 型不定式极限,只要满足洛
xx0 g( x)
0
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必达法则的条件,可再用该法则.考察 lim f ( x) xx0 g( x)
存在性.
1
例2
求
lim
x0
e
x (1 ln(1
g(b) g(a)
因为g( ) 0(否则 f ( ) 也为零,与条件 (iii) 矛盾),
从而
f ( ) f (b) f (a) . g( ) g(b) g(a)
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例1 设函数 f 在区间 [a, b](a > 0) 上连续, 在(a, b)
上可导, 则存在 (a , b) , 使得 f (b) f (a) f ( )ln b .
则前，必须首先要判别它究竟是否是 0 或 型. 0
3. 其他类型的不定式极限
不定式极限还有 0 ，1，00，0， 等类型,它
们一般均可化为 0 型或者 型.
0

下面我们举例加以说明 .
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例9 (0 型) 求 lim x ln x.
x0
解 注意到
注 将定理 1 中的 x x0 改为 x x0，x x0，
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x , x 的情形,只要修正相应的邻域，
结论同样成立.
例１ 求 lim 1 tan x . x π sin 4 x
4
解 容易验证：这是一个 0 型不定式 . 0
lim 1 tan x lim sec2 x 2 1 .