从抽象函数形式看函数性质
高中数学抽象函数性质
因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。
解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。
所以函数的定义域为
总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关
键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同
关于直线对称（相互对称）。 材料三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ） A、直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对称 解法一（定义证明）：设点是函数的图象上的任意一点，则，关于直线 的对称点为，要使点在函数的图象上，则，应有，故， 所以函数与的图象关于直线对称。 解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移1个单位得到函数的图 象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移1个单位， 得到的图象。如图所示，选D。 解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图 象上，又点P、Q关于直线对称，选D。 总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函 数的自对称轴为；函数与的互对称轴为，即 例11、已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实 根，则这三个根的和为______。
抽象函数的性质问题解析
抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考
查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函
数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析
式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，
有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____. 析：当满足题设的f(x)难于求出时，可利用特殊值法化一般为特殊求 解。
抽象函数的性质应用
抽象函数的性质应用一、利用函数的单调性例2．设函数f(x)定义在R上，当x>0时，f(x)>1，且对任意m,n∈R，有f(m+n)=f(m)f(n)，当m≠n时，f(m)≠f(n)。
(1)证明：f(0)=1；(2)证明：f(x)在R上是增函数；(3)A={(x,y)|f(x2)f(y2)<f(1)}，B={(x,y)|f(ax+by+c)=1, a,b,c∈R,a≠0}。
若A∩B＝，求a,b,c满足的条件。
分析：(1)令m=n=0，得f(0)=f(0)f(0), ∴f(0)=0或f(0)=1。
若f(0)=0，当m≠0时，有f(m)=f(m+0)=f(m)f(0)=f(0),这与m≠n时，f(m)≠f(n)矛盾。
∴f(0)=1。
(2)设x1<x2，则x2-x1>0。
由已知得f(x2-x1)>1。
∵x1≥0 时，f(x1)≥1。
当x1<0时，-x1>0，f(-x1)>1,f(0)=f(x1+(-x1))=f(x1)×f(-x1), ∴, 即对任意的x1，总有f(x1)>0,∴f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)×f(x2-x1)>f(x1)。
∴f(x)在R上为增函数。
(3)∵f(x2+y2)=f(x2)f(y2)<f(1),∴x2+y2<1....①由f(ax+by+c)=1，得ax+by+c=0....②由①，②消去y，得(a2+b2)x2+2acx+c2-b2<0。
∵A∩B=, ∴Δ=(2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2)0, 故所求条件为a 2+b 2c 2。
二、利用函数性质，解()f x 的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
抽象函数性质的万能结论
有关抽象函数性质问题的万能结论知识准备：1.奇函数与偶函数已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀ 若都有)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数； 若都有)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数.则类似的我们可以对周期性和对称性做形式类似的定义 2. 函数的对称性已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀若都有)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f 关于a x =对称； 若都有)()(x a f x a f --=+，则函数)(x f 关于），（0a 对称. 3. 函数的周期性已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀若都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，周期为T ； 若都有)()(x f T x f -=+， 则函数)(x f 为周期函数，周期为2T.由于上面三种定义的形式高度统一，所以我们可以把这三种性质用一个定义来表示：已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀ 满足①)()( f f =，②)()( f f -=，①中括号里面的式子相加是常数a 2则具有对称性，关于a x =对称；②中括号里面的式子相加是常数a 2则具有对称性，关于()0,a 对称；①中括号里面的式子相减是常数T 则具有对周期性，周期为T ；②中括号里面的式子相减是常数T 则具有对周期性，周期为2T 。
4.对称性和周期性的关系只要一个函数具有两个对称性则一定是周期函数，对称性相同则周期为两倍的两对称之间的距离，对称性不同则周期为四倍的两对称之间的距离 例如：（1）若函数)(x f 同时关于a x =和bx=对称，则函数)(x f 周期为b a -2（2）若函数)(x f 同时关于a x =和)0,(b 对称，则函数)(x f 周期为b a -4 典型例题：1.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)()23(x f x f -=+且函数)43(-=x f y 是奇函数，给出下面4个命题，真命题的序号是______________①)(x f 为周期函数；②)(x f 关于)043(，-对称；③)(x f 为偶函数；④)(x f 在R上单调【解析】因为)()23(x f x f -=+3，①正确，④一定错误，周期函数不可能具有单调性；又)43(-=x f y 是奇函数，即)43()43(--=--x f x f ，则函数)(x f y =关于)043(，-对称，②正确；判断③的对错是个难点，此时可以联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=--(2))()23((1))43()43(x f x f x f x f将（1）式中的x 代换为43+x 得)()23(x f x f -=--，然后减去（2）式得0)23--(-)23(=+x f x f)(x f 关于0=x 对称，即为偶函数.2.（09全国I 理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【说明】这是一道得分率很低的题目，但用上面的结论后会很简单，所以看答案之前不妨自己试探着做做.【解析】(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。
第01讲 抽象函数的图像和性质问题的处理-高考数学热点
高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【例2】已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域. 【解析】∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.例2就是典型的例子.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域. 【例3】已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()+(y)f x y f x f +=，且当0x >时，()0f x <，又1=2f -（）.(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数；(3)求()f x 在区间[－3,3]上的值域；(4)若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围．(2)证明： 任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，∴12()()f x f x >．∴()f x 是R 上的减函数．(3)由(2)知()f x 在R 上为减函数，∴对任意[3,3]x ∈-，恒有(3)()(3)f f x f ≤≤-，∵(3)(2)(1)(1)(1)(1)236f f f f f f =+=++=-⨯=-，∴(3)(3)6f f -=-=，()f x 在[3,3]-上的值域为[6,6]-．(4) ()f x 为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)f ax f x f x f +-<+-，则2(2)(2)f ax x f x -<-，∵()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，∴222ax x x ->-，当0a =时，22x x ->-在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当0a >时，2220ax x x --+>，要使不等式恒成立，则980a ∆=-<，即98a >； 当0a <时，2320ax x -+>在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为9+8∞（，）． 【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设1212,,x x D x x ∈<且，再利用已知条件判断12()()f x f x -的符号，如果12()()0f x f x ->，则函数是减函数；如果12()()0f x f x -<，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例4】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有12()f x x ⋅12()()f x f x =+，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到()f x -和()f x 的关系，多用赋值法（特殊值）.【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例5】)(x f 定义在实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，对于任意实数,x y ，有()f x y +()()f x f y =⋅，求证：)(x f 在R 上为增函数.【解析】证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾, 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【例6】设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，且(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞ C ．()(),22,0-∞-- D ．()()0,22,+∞ 【解析】设2()'()()()'()0,(0)()f x xf x f x g x g x x g x x x -=⇒=<>⇒在(0,)+∞上是减函数，又()f x （x R ∈）是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(x)()()()f f x f x g x x x x ---===--()g x ⇒是偶函数，(2)0(2)(2)022f g g -=-===-- 作出图象如下图，由00()()0()0()0x x f x xg x g x g x <>⎧⎧=>⇒⎨⎨<>⎩⎩或⇒()(),20,2x ∈-∞-，故选A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件'()()0xf x f x -<联想到商的导数，还原公式，再构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【例7】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.【解析】(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.（2）如果函数()f x 满足()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期T 为||a b -，如果函数()f x 满足()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期T 为2||a .【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==（II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测3详细解析】（1）由已知对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立. 令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，∴(0)0f =令x y =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=∴对于任意x ，都有()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<（1）又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-（2）由（1）（2）得12()()f x f x >,根据函数单调性的定义知)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数. ∴)(x f 在[3,3)-上的最大值为(3f -）.要使)6f x ≤（恒成立，当且仅当(3f -≤）6，又∵(3)(3)(21)[(2)(1)][(1)(1)(1)]3(1)f f f f f f f f f -=-=-+=-+=-++-,(1)2f ∴≥-【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】(1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x > 时,0()1f x << ∴当0x <时, 0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>--【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）0,x x x <<≠≠. 【反馈检测5详细解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令 121[(1)]()(1)()()()x x x f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数 111212222222(2)0()()()()()()()x x x x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴->时， 0+∴∞函数在（，）上是增函数12(3)2(22)(2)(2)2(4)2x xf f f f ==∴⨯=+=∴=令2(21)2(4)()+f x f f x -<=∞是偶函数在（0，）上时增函数22x 02100,|21|<4x x x x x ≠⎧⎪∴-≠<<≠≠⎨⎪-⎩. 【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， ()()()()g x xf x x f x xf x g -=--=-⋅-==（x)，所以()()g x xf x =是R 上的偶函数. 当0x >时，()()()()()g x x f x xf x f x xf x ''''=+=+ 因为()00()0f x x f x '>>> 所以()()0g (x)0f x xf x ''+>∴> 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，所以0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<， 所以b a c <<，故选C ．【反馈检测7答案】2005(2005)2003f =-∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f = ∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。
趣谈抽象函数的性质
趣谈抽象函数的性质作者：奚宁平来源：《新一代》2009年第09期摘要:抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质,用一种符号表示的函数,这类函数没有给出或没有具体的函数解析式,是高中函数部分的重要知识点,也是高考的一个热点。
关键词:抽象;函数;性质中图分类号:G642 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0071-01抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质,用一种符号表示的函数,这类函数没有给出或没有具体的函数解析式,是高中函数部分的重要知识点,也是高考的一个热点。
由于抽象函数的抽象性和隐蔽性,让大多数学生感到无从下手,本文对抽象函数的性质进行了详细的归纳小结,有助于从总体上把握抽象函数的性质。
一、抽象函数的定义域例1. 若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)= 的定义域是()解:∵ y=f(x)定义域是[0,2],∴使函数g(x)= 有意义,必须满足x-1不等于0,2x大于等于0小于等于2,解之得:0≤x∴ =的定义域为,故选B。
点评:解决抽象函数定义域问题,必须明确抽象函数的定义,运用了整体等价转化的思想。
二、抽象函数的值域例2 . 若函数y=f(x+3)的值域为[-1,2],则函数y=f(2x+1)的值域为_。
解:函数的值域主要由定义域和对应法则决定,当对应法则没有改变时,函数y=f(2x+1)的值域不变,故的值域仍是[-1,2]。
例3. 若函数y=fx()的值域是[ ,3],则函数F(x)=f(x)+ 的值域为_。
解: 令t=y=f(x),则≤x≤3,而函数g(t)=t+ 在区间[ ,3]上是减函数,在[1,3]上是增函数,且g( )= ,g(1)=2,g(3)= 故值域为[2, ]。
点评:求解抽象函数的值域首先明确值域由定义域和对应法则决定,然后结合抽象函数的其它性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)进行求解。
三、抽象函数的单调性例4.已知函数y=f(x)的定义域是(0,+∞),当>1时,f(x)>0且,f(xy)=f(x)+f(y),判断函数f(x)在定义域上的单调性。
抽象函数奇偶性对称性周期性和三角函数常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值，特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于/(x)定义域内的每一个X,都存在非零常数7,使得/(x+T) = 7。
)恒成立，则称函数/*)具有周期性，7叫做/(x)的一个周期，则ZT (&£Z,Zw())也是/(幻的周期，所有周期中的最小正数叫了(元)的最小正周期。
分段函数的周期：设y = /(尢)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y =/(x),XE[a,b\T = h-a o把丁 = /(x)沿x轴平移KT = KS-〃)个单位即按向量。
=(左7,0)平移，即得= /(x)在其他周期的图像:y = f{x-kT),x^ [kT+a,kT+h] o/(x) xe[a,b]f(x-kT)xe[kT + a,kT4-b]2、奇偶函数:设y = /(x)，x £ [a,h^x G [-"一司U [a,b]①若/(-x) = 一/(x),贝I称y = /(x)为奇函数；②若/(-x) = /(%)则称y = /5)为偶函数。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：①点A(x, y)与3(2〃 - x,2b - y)关于点(。
,〃)对称；②点A(a -x,b- y)与倒。
+ x力+ y)关于(。
,〃)对称；③函数y = f(x)^2b -y = /(2q-x)关于点(〃,b)成中心对称；④函数y = /(4-工)与/? + 丁 = /(4 + X)关于点(4,/?)成中心对称;⑤函数/(羽丁)= 0与尸(24-工,20-丁)= 0关于点(4/)成中心对称。
抽象函数的性质及应用
抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.一抽象函数的单调性例1已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.∪[1,+∞)D.答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得≤x≤1,即x的取值范围是.故选D.解析：根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.例2若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log2<0,a==,b=,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.解析：根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调性分析可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a 的取值范围是 ()A. B.[-2,-1]C. D.答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得-≤a≤.即实数a的取值范围是.故选A.二抽象函数的周期性例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f=f,当x∈时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2 020)= ()A.4B.log27C.2D.-2答案D根据题意, f(x)满足f=f,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2,故选D.解析：根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.例4已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2020)= ()A.B.2C.D.4答案A根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)=,故f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)=,令x=1可得f(4)==;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)==,故f(3)+f(4)=+=.故选A.解析：根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案D因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,又log23∈(1,2),∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b<c<a.故选D.三抽象函数的零点问题例5若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ()A.5B.6C.7D.8答案B因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)=的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.解析：根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.例6若偶函数f(x)的图象关于x=对称,当x∈时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-log20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ()A.18B.26C.28D.30答案B解析令h(x)=log20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-log20|x|=0,得f(x)=log20|x|,当x>0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(k∈Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x∈时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.解析：令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的图象即可判断出总零点个数.例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-log a x(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案D f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-log a x恰有3个零点,就是方程f(x)=log a x解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=log a x的图象有3个交点,结合图象得解得a∈(5,9).故选D.解析：利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.变式训练：1.函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2020)=()A.B.-C.-D.答案C令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)=,∴f(0)=,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),则f(2)=-,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-,∴f(2 020)=-.故选C.2.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ()A.[3,5]B.[2,4]C.(3,5)D.(2,4)答案D∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,∵g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=log a(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴解得2<a<4.故选D.。
抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学
抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
高中抽象函数的基本性质
高中抽象函数的基本性质作者：王红博来源：《考试周刊》2013年第102期（宜春市第三中学，江西宜春 336000）摘要：抽象函数集函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、对称性、周期性和图像等性质于一身，题型丰富多样，方法灵活巧妙，是高考的常客.学生在解决这类问题时，往往会感觉无从下手，思路受阻，尤其是高一新生，答题正确率很低.作者就抽象函数这类问题，根据高一学生的学习情况和学习特点，谈谈对抽象函数的看法.关键词：抽象函数高一新生函数性质对于刚刚步入高中的新生而言，在各科学习中，以数学学习为最难，而数学中又以函数为最难，而函数中又以抽象函数最为难.学生普遍感觉抽象函数实在是太“抽象”了，无法捕捉住它的性质和特点规律，解题是往往会感觉无从下手，障碍重重.本文将从七个方面对抽象函数进行分析，概括高一阶段对常考的抽象函数的一些基本性质和基本题型.一、定义域解决抽象函数的定义域问题，一定要明确定义域的含义，通常采用等价转换的方法予以解决.例1：若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x+1）的定义域为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：因为f（x）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（0，1），从而x∈（-1，0），所以函数f（x++1）的定义域为（-1，0）.例2：若函数f（x+1）的定义域为（0，1），则函数f（x）的定义域为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：因为f（x+1）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（1，2），所以函数f（x）的定义域为（1，2）.二、值域解决抽象函数的值域问题，通常抓住函数的定义域和对应法则，进而确定值域，有时也可借助图像的平行移动进行分析.例3：若函数f（x）的值域为（0，1），则函数f（x+1）的值域为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：（法1）因为函数f（x）的x与函数f（x+1）的x+1的范围是一样的，且对应法则也相同，所以函数f（x+1）的值域也是（0，1）.（法2）将f（x）的函数图像水平向左移动1个单位，会得到函数f（x+1）的图像，因此函数的值域相同.三、解析式观察条件中变量的形式，寻找关联性，采用赋值等形式建立方程组，从而解出解析式.例4：若函数f（x）满足：f（x）+2f（■）=x，则函数f（x）的解析式为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程组f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■.四、利用某些函数为背景，类比迁移某些抽象函数可以寻找出相应的初等函数作为背景，从而起到启发思维的作用，进而成功地解决函数的单调性、奇偶性等性质.幂函数：f（xy）=f（x）f（y）正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y）指数函数：f（x+y）=f（x）+f（y）对数函数：f（xy）=f（x）+f（y）例5：若函数f（x）满足以下条件：①当x>0时，f（x）>0；②对任意的x，y，都有f （x+y）=f（x）+f（y）成立，试判断函数f（x）的单调性.分析：（这类抽象函数，可以用正比例函数为背景，如f（x）=x，启发思维.）任取x■，x■∈R，且x■因为x■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■）五、对称性、周期性1.对称性重要结论（1）y=f（-x）与y=f（x）的图像关于y轴对称；（2）y=-f（x）与y=f（x）的图像关于x轴对称；（3）y=-f（-x）与y=f（x）的图像关于原点对称；（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，则y=f（x）的图像关于直线x=m对称；（5）若f（a+x）=f（b-x），对任意x∈R恒成立，则y=f（x）的图像关于x=■对称.2.周期性重要结论（1）对于非零常数A，若函数y=f（x）满足f（x+A）=-f（x），则函数y=f（x）必有一个周期为2A；（2）对于非零常数A，函数y=f（x）满足f（x+A）=±■，则函数y=f（x）的一个周期为2A；（3）函数y=f（x）有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，T=2|a-b|.高一数学教材知识量比起初中明显增加，理论性明显增强，尤其是抽象函数内容，对理解要求很高，不动一番脑子，就难以掌握知识间的内在联系和区别.所以，对于高一新生而言，在学习这一块内容时，一定要多学多练多想多问，这样，才能更好地掌握抽象函数的常见性质及基本解题思路和方法.参考文献：[1]蔡亲鹏.数学教育学.浙江：浙江大学出版社，2008.10.01.[2]郑晓玲.教材完全解读.南宁：接力出版社，2011.9.[3]邱家福.高考调研.石家庄：河北教育出版社，2010.3.。
抽象函数新高考知识点总结
抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。
抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。
在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。
1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。
与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。
抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。
（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。
（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。
2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。
（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。
（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。
例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。
（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。
例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。
3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。
（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。
（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。
（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。
4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。
了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。
抽象函数专题讲解
f (x2 x1) f (x1) f (x1)
f (x)为x R的增函数。
例2：已知函数f (x)对任意x, y R有
f (x) f ( y) 2 f (x y),当x 0时，f (x) 2 f (3) 5, 求不等式f (a2 2a 2) 3的解集。
任取x1, x2且x1 x2
则f (x1) f (x2 ) f (x1 y) f ( y) [ f (x2 y) f ( y)]
f (x1 y) f (x2 y) f (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 0 则根据题意有 f (x1 x2 ) 0
函数f (x)在x R为增函数
等）。
一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)
例1:已知函数f (x)对任意的实数 x, y都有
f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0时 f ( x) 0，f (1) 2求f ( x)在[2， 1] 上的值域
解：由f (x y) f (x) f ( y)得，f (x) f (x y) f ( y)
f (x) f (x 1 ) 0
解：1.令x
y
1得f
2
(1)
0
再令x
y
1得f
(1)
0
2.令y 1得f (x) f (x)
3.由f (xy) f (x) f ( y)得 : f (x) f ( y) f (xy)
令y 1 代入上式得: f (x) f (1)
由f
x (x)
f (x1) f (x2 ) 即f (x)为减函数。
三.
对数函数模型：
f(例x4•：y)已=知f函(数xf)(+x)f满(足yf )(xy) f (x) f (y),(x 0)
抽象函数
(3) 抽象函数 f(x+y)=f(x)f(y) 可由一个特殊函数 指数函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)抽象而成； (4)抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数 对数函数f(x)=log a x(a＞0，a≠1)抽象而成． 当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函 数模型，而是新定义的一种函数. 这些函数与我们 熟悉的函数一样，有其自己的性质，如奇偶性、 单调性等，有自己的特殊点，有自己的对称性， 能画出大致的示意图像．
1 例 函数f(x)对一切实数x都满足 f 2
1 解： 由 f 2 1
并且方程f(x)=0有3个实根，求这3个实根之和.
1 x f x , 2
直线 x 对称，又因为方程f(x)=0有3个实根，所 12 以 x1 必是方程的一个根．其余两个根x2, x3关 2 于直线 对称，则有 x2 x3 1. 3 所以，x1 x2 x3 . 2 评述：若对定义域内的每一 个实数x，f(a−x) = f(a+x) ， 则 f(x) 的图像关于直线 x = a对称．
例 (1)已知函数y = f(x)的定义域是[1,5],求函数y = f(x2+1)定义域； (2) 已知函数y = f(x2+1)定义域是 [1,5],求函数y = f(x)的定义域； (3) 已知函数f(x)的定义域是[1,5]求函数g(x) = f(x2+1)+ f(1 x)的定义域. (2) 由于函数y = f(x2+1)定义域是 [1,5], 则2 x2+1 26， 所以函数y = f(x)的定义域是 [2,26].
例 设函数f(x)=lgx, y=g(x)的图象与y=f 1 (x+4) 的 图象关于直线 y=x 对称，求 g(3)的值． 解： 因为 y=g(x)的图象与 y=f 1 (x+4)的图象关于 直线 y=x 对称，所以 y=g(x)是函数 y=f 1 (x+4)的 反函数． 方法1 由y=f 1 (x+4)得x+4= f(y), 即x= f(y) 4, 所以g(x)= f(x) 4= lgx 4, g(3)= lg3 4. 方法2 由于f(x)=lgx, 故f 1 (x)=10 x, f 1 (x+4)= 10 x+4, 求 g(3)就是求当f 1 (x+4)= 10 x+4 =3时的x值, 得x+4=lg3,故x=lg3 4, 即g(3) =lg3 4.
抽象函数专题讲解
三. 对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y) 例4： 已知函数f ( x)满足f ( xy) f ( x) f ( y ), ( x 0)
1.求证：f (1) f (1) 0; 2.求证：f ( x) f ( x); 3.若f ( x)在(0,)上是增函数，解不等式
任取x1, x2且x1 x2 , 设x2 x1 x, x 0
f ( x2 ) f ( x1 ) f (x x1 ) f ( x1 ) [ f ( x1 ) f (x x1 )] f ( x1 ) f (x)
则根据题意有 f (x) 0, f ( x1 ) f ( x2 )
y=ax(a>0且 同上 y=xɑ(ɑ>0)
. f(xy)=f(x)f(y)
温 故 知 新
(1)令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求 抽象函数的函数值； (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性；
1 x1
,且x1<x2,判断
(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性；
1 x x (4)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象
二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)
例3: 已知f ( x) 对一切x，y, 满足
时f ( x) 1 0 f ( x) 1; 求证: (1) x 0时，
(2) f ( x)在R上为减函数
f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0
抽象函数的性质研究
关于抽象函数
概念 题型特点 解题思路 抓住函数中的某 些性质，通过局 部性质或图象的 局部特征，利用 常规数学思想方 法（如类比法、 赋值法添、拆项 等）。
第14招 抽象函数的图像和性质
【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象. 【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【点评】这类问题的一般形式是：已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域.【例2】 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y 、，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域.【点评】在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例3】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. （2）要判断抽象函数的奇偶性，多用赋值法，给已知的等式中的变量取恰当的值，如,,0,1,1x x --等，有时需要多次赋值，才能达到解题目标. 学科.网【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例4】 设)(x f 定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数,x y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数.设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，所以1211211121()f(x )()[()]()()()f x f x f x x x f x f x f x x -=-+-=--121()(1())f x f x x =--因为121()01()0f x f x x >--< 所以12()()f x f x < 所以)(x f y =在R 上为增函数.【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的，同样利用函数的单调性的定义.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件(2)1,f =()()(),()f xy f x f y f x =+是减函数.（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围.【例5】设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()xf x f f y y=+，若(2)1f =，则(8)f = .【点评】（1）抽象函数的性质往往是从常见的正比例函数、指数函数、对数函数和幂函数中抽象出来的，所以在解答抽象函数的客观题时，可以根据抽象函数的性质寻找对应的函数模型，再利用具体函数来解答.(2)常见的模型有：()()()()(0)f x y f x f y f x kx k ±=±⇒=≠正比例函数，()()()f x y f x f y +=⇒()(0,1)x f x a a a =>≠指数函数且，(xy)fa f =⇒（x)f(y)幂函数f(x)=x ，(xy)f f =（x)+f(y)()log (0,1)a f x x a a ⇒=>≠对数函数且.【反馈检测6】已知函数()f x 满足(1)2f =，且对任意,x y R ∈都有()()()f x f x y f y -=，记 101211,(6)nin i i aa a a f i ===⋅⋅-=∏∏则 .【例6】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈ 当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明. 学科.网【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第14讲： 抽象函数的图像和性质问题的处理方法参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x .所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==【反馈检测2详细解析】（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤ 由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）13x -≤≤.【反馈检测5详细解析】(1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，故(1)0f = （2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f ⨯=+=， ∴(4)2f =()(3)2f x f x +-≥⇒22[(3)](4)(3)(4)3414f x x f f x x f x x x -≥⇒-≥⇒-≤⇒-≤≤∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤. 【反馈检测6答案】32【反馈检测6详细解析】设1()(0,1)(1)22()2xx f x a a a f a a f x =>≠=∴==∴=且所以1054454341(6)222232i f i -++++-=-=⋅⋅==∏，故填32.【反馈检测7答案】(2005)f =-20052003【反馈检测7详细解析】()f x 为周期函数且周期为4×1=4∵1(1)(2)[(1)1]1(1)f x f x f x f x +++=++=-+=)(1)(11)(1)(11x f x f x f x f -+--++=-)(1x f∴1(4)[(2)2]()(2)f x f x f x f x +=++==+⇒f (x +4)=()f x∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f =∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。
高三抽象函数知识点
高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。
通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。
本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。
一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。
这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。
抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。
二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。
而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。
2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。
通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。
3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。
极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。
4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。
三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。
可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。
图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。
四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。
在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。
在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。
在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。
总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。
高考热点--抽象函数
高考热点--抽象函数
史更生
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2001(000)009
【摘要】@@ 一般地,我们把不给出函数的具体解析式或图像,而只给出函数的抽象记号(如f(x)、g(x)等)及其所具备的条件、性质或示意图像的函数.称之为拙象函数.近年来.关于抽象函数的试题在高考中出现的频率加大,特别是今年高考选择题第(10)题,解答题第(22)题.均为抽象函数题,总分值达19分!由此可见.抽象函数已成为高考的一个新热点.
【总页数】4页(P21-24)
【作者】史更生
【作者单位】甘肃省兰州炭素集团公司中学,730084
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.揭开抽象函数的神秘面纱——对7类热点抽象函数性质的探讨 [J], 李红春
2.如何使抽象函数不"抽象"——高考抽象函数题速解"五性"策略 [J], 周如俊
3.从抽象函数形式看函数性质——抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现[J], 郑艳
4.挖掘习题潜力,探秘抽象函数——一堂研究性课题"抽象函数的本质"的教学设计
[J], 黄卫平
5.高考热点——抽象函数不等式 [J], 黄恩瑞; 杨志英
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解读函数的周期性
解读函数的周期性
张桂生
【期刊名称】《高中数理化（高二）》
【年(卷),期】2008(000)007
【摘要】函数的周期性是一个重要而不易理解的性质，同学们对它的理解和应用都感到困难，为此本文对这个性质进行解读，供同学们学习时参考。
【总页数】2页(P13-14)
【作者】张桂生
【作者单位】河北邢台第二中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.论周期函数的导函数与原函数的周期性
2.从抽象函数形式看函数性质——抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现
3.论周期函数的导函数与原函数的周期性
4.将"真、善、美"的人文元素融入课堂
——以"正弦函数、余弦函数的周期性"一课为例5.貌合神移话函数,若即若离总相随——函数周期性、对称性等性质小议
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从抽象函数形式看函数性质
—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶
性上的体现
㈠周期性
定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。
则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。
推广：①I ，∀∈x 都有),22
(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。
②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。
()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。
③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。
联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若
()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()
⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()=(),()1
()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的
周期函数。
1(),()()
⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。
11()(),()1
()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周
期函数。
证明：11()(),()1
()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周
期的周期函数。
㈡对称性
①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。
-=f x f x
②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x
证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0
,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。
在（,0）a 左侧0x 处，取0
,=-x a x 对应纵坐标 ()20
=-y f a x ，()=()00，+-f a x f a x 即=12
，y y ()∴f x 关于=x a 对称。
⇒=x a 右侧任取一点,()（）,++a x f a x 此点关于=x a 的对称点-,(-)（）a x f a x ，则()()+=-f a x f a x 。
结论2：()f x 的图像关于=x a 对称()(2)⇔=-f x f a x ，由结论1知， ()f x 的图像关于=x a 对称，则()()+=-f a x f a x 成立。
令,,+=∴=-∴-=-a x X x X a x a X 2∴-=-a x a X
()(2)∴=-f X f a X ()(2).∴=-f x f a x 反之也成立。
注：可发现规律，括号内两项之和为定值。
对称轴2
定值.=x 推广
()(2)Ⅰ：-=+f x f a x
推广()(),Ⅱ：=-f x f T x 则()f x 图像关于2
=T x 对称。
注意和()()=+f x f T x 的区别。
推广()()Ⅲ：，+=-f a x f b x 则()f x 图像关于2
+=a b x 对称。
令,,,+=∴=-∴-=-∴-=+-a x X x X a x a X b x a b X
()(),()∴=+-∴f X f a b X f x 关于2
+=a b x 对称。
注意它和()()+=+f a x f b x 的区分。
探究：抽象函数在对称性和周期性上的体现
①定义在R 上的函数()f x 若有两条对称轴,,==x a x b 则()f x 是周期函数，且2||-a b 是函数()f x 的一个周期。
证明：()f x 关于=x a 对称，则有()(2).-=+f x f a x ()f x 关于=x b 对称，则有()(2)-=+f x f b x (2)(2),()∴+=+∴f a x f b x f x 是周期为 2||-a b 的周期函数。
②定义在R 上的函数()f x 若有两个对称中心,0,0（）,()a b ，则()f x 是周期函数，且2||-a b 是函数()f x 的一个周期。
证明：()f x 关于,0（）a 对称，则()(2)-=-+f x f a x ，()f x 关于(,0)b
对称，则()(2)-=-+f x f b x (2)(2),()∴+=+∴f a x f b x f x 是周期函数。
且2||-a b 是函数()f x 的一个周期。
③定义在R 上的函数()f x 若有一个对称中心(,0)a 和一条对称轴=x b ，则()f x 是周期函数，且4||-a b 是函数()f x 的一个周期。
证明：()f x 关于,0（）a 对称()(2),=-+f x f a x ()f x 关于=x b 对称，
则()(2)-=+f x f b x ，(2)(2)∴+=-+f b x f a x ，由前面结论可知，周期为2|22|4||-=-a b a b
㈢奇偶性
奇函数()f x 关于原点,0(0)对称，则()().-=-f x f x
推广Ⅰ：()f x 关于(,0)a 对称，则()().+=--f a x f a x
推广Ⅱ： ()f x 关于(,0)a 对称，则()(2)=--f x f a x
证明：令,+=a x X ∴=-x X a ，由()().+=--f a x f a x 2,()(2)∴-=-∴=--a x a X f X f a X ，即()(2)=--f x f a x 。
令：()(2).-=-+f x f a x
推广Ⅲ：()f x 关于(0，b 对称，则()(),2+-=f x f x b ()2()∴=--f x b f x ，或()2()-=-f x b f x 。
推广Ⅳ：()f x 关于(，)a b 对称，则()()2++-=f a x f a x b 。
()()2∴++-=f a x f a x b
令：()()-=-f x a f a x 对∈x R 恒成立，那么()=y f x 图像关于直线y 轴=0x 成轴对称对称。
证明：令,-=x a t 则-=-a x t ()()()∴=-∴f t f t f x 是偶函数，则()=y f x 图像关于直线y 轴=0x 成轴对称对称。
相关题目：1.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足1(2).()
+=-
f x f x 当2≤≤3x 时，()f x =x ,(105.5)=f ( )答案 2.5 2.（2008湖北）已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()+=-f x f x ，
当x ∈(0,2)时，()f x =22x ，则(7)f =（ ）
3.定义在R 上的函数()f x 的图像关于点3,04()-成中心对称，对任意的实数x 都有()f x =3
()2-+f x ，且(1)-f =1，(0)f =-2，则
(1)f +(2)f +(3)f +…+(2008)f 的值为( ) 答案 1。