证明充要条件的问题.

a≤0或a=1.
12 分
探究提高
（1）条件已知证明结论成立是充分性.
结论已知推出条件成立是必要性；
（2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这
就要分清哪是条件，哪是结论.
1 1 x y 当x 0, y 0时，有： . x y
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
2分 4分
当a<0时,Δ =4(1-a)>0，方程有两个不相等的根，
1 且 <0，方程有一正一负根. a 必要性：
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时，适合条件. 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
6分
8分
则Δ =4-4a≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一负根x=-1. 10分 a 1 若方程有且仅有一负根， 则 1 , a 0. 0 a 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为
引申
②从集合角度看
命题“若p则q”
已知A＝ {x | x满足条件p}，B＝ {x | x满足条件q}
1) A B, 则p是q充分条件， q是p必要条件 .
2) A B, 则p是q充分不必要条件， q是p必要不充分条件 .
3) A B, 则p是q的充要条件 .
4) A B且B A，则p是q既不充分也不必要条件 .
知能迁移3
求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大
于3的必要条件是|a|> 吗？为什么？ 证明
3 , 这个条件是其充分条件
设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,
则平方和大于3的等价条件是
2 a 40 2 2 2 2 x x ( x x ) 2 x x ( a ) 2 3, 2 1 2 1 2 1
题型三
充要条件的证明
【例2】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围.
证明
充分性：
1 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 x , 2 方程只有一负根.
当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根.
引申
①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q 的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不 必要条件.
即a 5或a 5. {a | a 5或a 5}
{a || a | 3},
∴|a|> 3 这个条件是必要条件但不是充分条件.
课堂小结
（1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 p q 和 p q 是否能成立。 （3）判别技巧： ① 可先简化命题； ② 否定一个命题只要举出一个反例即可； ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
证明充要条件的问题
充要条件的证明
1 1 例1、已知x、y是非零实数，且 x y, 求证： x y 的充要条件是 xy 0.
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注意：分清p与q. p : xy 0
证明：充分性 ( p q)
1 1 q: x y
x 0 x 0 若xy 0, 则 或 y 0 y 0