证明充要条件的问题.
高中数学难点2 充要条件(附答案)
难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p 若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1) 211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab =0B.a +b =0C.a =bD.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n +++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b ) =－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{bn }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310. 8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1, 根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。
充分条件、必要条件、充要条件题型解析
ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
关于函数单调一个充要条件的证明
关于函数单调一个充要条件的证明
函数单调是指，满足某些条件的函数，存在在一定有界区间上单调递增或者单调递减。
问题：什么是函数单调的充要条件？
答：要想证明函数是单调的，必须要满足以下充要条件：一是函数连续；二是函数在
某个有界区间内具有极值；三是函数某个有界区间内的一阶导数的集合不具有上项和中间项。
这三个条件都满足的话，就可以证明函数在有界区间内是单调的。
首先，要想给函数的单调性得出有效证明，必须先要满足函数的连续性。
连续性是指
函数在某个有界区间内，它的起伏为零，没有断点，也就是比较容易理解的说法“连续不断”。
此外，如果函数在某个有界区间内，没有极值，也就是在该区间内，函数没有取得
最大值和最小值时，那么这样的函数就不可能单调递增或者单调递减；只有当函数在该区
间内有极值时，才能证明该函数是单调的。
充要条件的证明
充要条件的证明
充要条件
想问大家一个问题，大家做数学的证明题的时候是否会遇到一个这样子的问题？
1、证明：P的充分必要条件是Q
充分性：Q—>P
必要性：P—>Q
正确解答
为什么不是下面这种情况呢？
2、证明：P的充分必要条件是Q
充分性：P—>Q
必要性：Q—>P
错误解答
似乎第二种证明更符合我们的习惯，属于我们的第一反应，但是真的是这样吗？
我们可以先看下定义：
P—>Q表示为：P是Q的充分条件
P<—Q表示为：P是Q的必要条件
有了上述定义之后，我们可以再来看下上述的1为什么是对的，2为什么不对。
首先我们来看一句话：“我是你”。
“我是你”和“你是我”，这俩句话是不是等价的？搞明白了
这句话，相信对下面的就不难理解了。
首先我们先证明充分条件，P的充分条件是Q，可以解读为：Q 是P的充分条件
也就是Q—>P。
然后我们再证明必要条件，P的必要条件是Q，可以解读为：Q 是P的必要条件
也就是Q<—P，换过来就是P—>Q。
我么可以来看一个例子：
P的必要条件**
也就是Q<—P，换过来就是P—>Q。
专题02 充要条件问题(解析版)
专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充要条件； 若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
1.4.2 充要条件(课件)
经典例题
题型一 充要条件的判断
跟踪训练1
已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要条件，也是 s 的充分条件，r 是 s 的 必要条件，问： (1)p 是 r 的什么条件？ (2)s 是 q 的什么条件？ (3)p，q，r，s 中哪几对互为充要条件？
：作出“⇒”图，如右图所示， 可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且 r⇒q，q 能否推出 p 未知， ∴p 是 r 的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s， ∴s 是 q 的充要条件． (3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.
（4）p： a2 b2 0 ，q： a b 0 ．
经典例题
题型一 充要条件的判断
（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以 q⇒/ p，所以 p 不是 q 的充要条件。 （2）因为“若 p，则 q”是三角形的性质定理，“若 q，则 p”是相似三角形的判定定理， 它们均为真命题，既 p ⇔ q，所以 p 是 q 的充要条件。 （3）因为当 xy >0 时，x>0,y>0 不一定成立，所以 p⇒/ q,所以 p 不是 q 的充要条件。
x1x2＝1a＞0，
得 0＜a≤1.
综上：a≤1.
课堂小结
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、集合法、传递法． 2．充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两 种叙述方式的区别： ①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性． (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步 的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
充要条件的证明
充要条件的证明充要条件的证明是逻辑学中的一个重要概念，它描述的是命题和它的逆命题之间的一种关系。
如果一个命题是真的，那么它的逆命题也是真的，这种关系被称为充要条件。
在数学和逻辑学中，充要条件的证明是一个重要的任务。
首先，我们来定义什么是充要条件。
如果对于所有的x，如果x满足P(x)，则x满足Q(x)，并且如果x满足Q(x)，则x满足P(x)，则我们称P(x)是Q(x)的充要条件。
现在，我们将给出一个充要条件的证明示例。
假设我们有两个命题P(x)和Q(x)，我们想要证明P(x)是Q(x)的充要条件。
第一步，我们先证明充分性。
也就是说，如果P(x)是真的，那么Q(x)也必须是真。
为了证明这一点，我们可以假设一个反例，即假设存在一个x，使得P(x)为真但Q(x)为假。
然而，如果这样的x存在，那么根据定义，P(x)就不可能是Q(x)的充要条件，因为充分性没有得到满足。
因此，我们的假设是错误的，即不存在这样的x。
所以，我们证明了当P(x)为真时，Q(x)也必须为真。
第二步，我们证明必要性。
也就是说，如果Q(x)是真的，那么P(x)也必须是真。
为了证明这一点，我们再次假设一个反例，即假设存在一个x，使得Q(x)为真但P(x)为假。
然而，如果这样的x存在，那么根据定义，Q(x)就不可能是P(x)的充要条件，因为必要性没有得到满足。
因此，我们的假设是错误的，即不存在这样的x。
所以，我们证明了当Q(x)为真时，P(x)也必须为真。
通过以上的证明过程，我们可以得出结论：对于所有的x，如果P(x)，则Q(x)，并且如果Q(x)，则P(x)，因此P(x)是Q(x)的充要条件。
在数学和逻辑学中，充要条件的证明是一个重要的任务。
它可以用来证明一个定理是否是另一个定理的充分条件或必要条件。
同时，它也可以用来证明一个函数是否存在反函数或者一个映射是否是单射或满射。
在日常生活中，充要条件的证明也有广泛的应用。
例如，在法律中，法官可能需要证明某个证据是某个犯罪行为的充要条件，以便定罪。
充要条件的证明范文
充要条件的证明范文充要条件是数学中一种重要的证明方法。
在证明中，我们需要证明其中一种陈述P与一些条件Q等价，即P成立当且仅当Q成立。
为了说明充要条件的证明方法，以下将详细阐述证明的步骤和技巧。
一、引入充要条件的概念在开始证明之前，首先明确一下充要条件的概念。
假设有两个命题P 和Q，我们希望证明P与Q等价，即P当且仅当Q成立。
这也可以表示为P⇔Q。
如果我们能够证明P成立时Q也成立，并且Q成立时P也成立，那么我们就可以得出结论P⇔Q，即P与Q等价。
二、充分性证明充分性证明是证明P成立时Q成立的部分。
为了证明充分性，通常我们需要推导出P成立时Q的其中一种性质或结果。
1.假设P成立，推导出Q的其中一种性质或结果根据题目或问题的不同，我们可以采用不同的方法来推导出Q的性质或结果。
下面是两种常见的方法：(a)直接证明法：假设P成立，然后根据条件和已知事实，逐步推导出Q的性质或结果。
例如，假设P成立，我们可以利用已知的结果和定义，通过一系列变换逐步得出Q成立。
(b)反证法：假设P成立但Q不成立，然后利用这一矛盾推出假设不成立，即P不成立。
例如，假设P成立但Q不成立，我们可以通过假设推出一些矛盾，用来推翻假设。
2.结合逻辑推理和数学方法在推导过程中，我们可以运用逻辑推理和数学方法，如数学归纳法、构造法、反证法等，来得到Q的性质或结果。
三、必要性证明必要性证明是证明Q成立时P成立的部分。
为了证明必要性，我们通常需要假设Q成立，然后推导出P的其中一种性质或结果。
1.假设Q成立，推导出P的其中一种性质或结果与充分性证明类似，我们可以使用直接证明法、反证法或其他逻辑推理方法来推导出P的性质或结果。
2.结合逻辑推理和数学方法在必要性证明中，同样可以运用逻辑推理和数学方法，如数学归纳法、构造法、反证法等，来得到P的性质或结果。
四、整合充分性和必要性，并举例说明在充分性和必要性的证明都完成后，我们需要整合这两部分的证明，并且给出一个具体的例子来说明。
高中数学怎样判断和证明有关充要条件问题-苏教版选修2-1
怎样判断和证明有关充要条件问题判断充要条件常用下面三种方法：1．定义法：通过定义借助于推出方向判断．2．等价法：利用原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价来判断；对于条件或结论是不等关系的命题，一般运用等价法．3．利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件．例1．（1）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）． A ．甲：a >b ；乙：1a <1bB ．甲：ab <0；乙：||a b +<||a b -C ．甲：a b =；乙：a b +=．甲：0101a b <<⎧⎨<<⎩；乙：0211a b a b <+<⎧⎨-<-<⎩（2）2253x x --<0的一个必要不充分条件是（ ）． A ． 1-<x <6< B ． 12-<x <3 C ． 12-<x <0 D ． 2-<x <12（3）设命题甲：0<x <5；命题乙：|2|x -<3．则命题甲是命题乙的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（4）设抛物线2:P y x bx c =++及直线:1L y x =+， P 的顶点坐标为24(,)24b c b --，则“244c b -<12b -+”是“P 与L 有两个公共点”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（5）若k R ∈，则“k >3”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：（1）D ．命题A 、C 不是充分条件；命题B 是充要条件． （2）A ．利用集合间的包含关系判断． （3）A ．利用集合间的包含关系判断．（4）A ．由244c b -<12b -+知顶点与坐标原点在同侧，且开口向上，故P 与L 有两个公共点．（5）A ．“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”等价于(3)(3)k k +->0，等价于k >3或k <3-． 例2．（1）已知a ，b 为任意平面向量，有下列命题：①||||a b =；②22a b =；③2||a a b =⋅，其中可作为a b =的必要不充分条件的命题是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①（2）已知a ,b ,c 为非零的平面向量，甲：a b a c ⋅=⋅；乙：b c =，则（ ）． A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：（1）C ．由a b =能推出①②③，反之不行． （2）B ．由甲推不出乙，因为数量积运算不满足消去律． 例3．（1）在ABC ∆中，“A >30︒”是“sin A >12”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件（2）如果α，β是实数，那么“αβ≠”是tan tan αβ≠的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：（1）B ．注意“在ABC ∆中”这个条件，否则是既不充分也不必要条件． （2）D ．可举反例．例4．（1）关于x 的方程()2214320k x kx k +++-=的两根同号的充要条件是（ ）．A ． 1k <-或k ≥23 B ． 21k -<<- C ．2-≤1k <-或23<k ≤1 D ．2-≤k ≤1（2）已知数列{}n a ，那么“对任意的*n N ∈，点(,)n n P n a 都在直线21y x =+上”是“{}n a 为等差数列”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：（1）C ．判别式大于等于0且两根之积大于0．（2）A ．由21n a n =+知“{}n a 为等差数列”；反之不成立．例5．（1）已知p ：|52|x ->3，q ：2145x x +-≥0，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件．（2）已知p 是r 的充分条件，而r 是q 的必要条件，同时又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，试判断①s 是p 的什么条件；②p 是q 的什么条件；③其中有哪几对条件互为充要条件？解析：（1）p ⌝：15-≤x ≤1；q ⌝：5-≤x ≤1，从而可判定p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． （2）p r ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，∴p r s q r ⇒⇒⇒⇒．①由p s ⇒知：s 是p 的必要条件；②由p q ⇒知：p 是q 的充分条件；③其中r 与s ，r 与q ，s 与q 三对互为充要条件．例6．已知a ，b ，c 均为正数，求证：3333a b c abc ++=的充要条件是a b c ==． 证明：充分性：若a b c ==，显然3333a b c abc ++=成立． 必要性：若3333a b c abc ++=，即33330a b c abc ++-=，则222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=，因为0a b c ++≠，所以a b c ==． 故3333a b c abc ++=的充要条件是a b c ==．例7．求方程210x kx ++=与20x x k ++=有一个公共根的充要条件．解析：22100x kx x x k ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩⇔222()100x x x x x x k ⎧--+=⎪⎨++=⎪⎩⇔22(1)(1)00x x x x x k ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩12x k =⎧⇔⎨=-⎩ 所以两方程与有一个公共根的充要条件是2k =-．例8．已知2:45p x x --≤0，:|3|q x -<a (a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的范围．．解析：设A ={245x x --≤0}={|1x -≤x ≤5}，{|3B x a =-+<x <3}a +，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B ⊂，故3135a a -+<-⎧⎨+>⎩,解得a >4．都是“定义域”惹的祸函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．一、求函数解析式时例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 . 错解：令1+=x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=x t 得1≥t ，1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ）这样才能保证转化的等价性.正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=x t 得1≥t ，()21-=∴t x 代入原解析式得1)(2-=t t f （1≥t ），即1)(2-=x x f （1≥x ）． 二、求函数最值（或值域）时例2．若,62322x y x =+求22y x +的最大值．错解：由已知有 x x y 32322+-= ①，代入22y x +得 22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，∴当3=x 时，22y x +的最大值为29．剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件x y x 62322=+中x 的限制条件．正解：由032322≥+-=x x y 得20≤≤x ，∴22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，[]2,0∈x ，因函数图象的对称轴为3=x ，∴当[]2,0∈x 是函数是增函数，故当当2=x 时，22y x +的最大值为4．例3．已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ）A ．33B ．22C ．13D ．6错解：()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在()19x ≤≤上是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33．正解：由已知所求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域是21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩得13x ≤≤， ()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在13x ≤≤是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13．例4．已知()()4232≤≤=-x x f x ，求()[]()2121x f x f y --+=的最大值和最小值．错解：由()()4232≤≤=-x x f x 得91≤≤y ．∴()()91log 231≤≤+=-x x x f ．∴()[]()()6log 6log log 2log 232323232121++=+++=+=--x x x x x f x f y()33log 23-+=x ． ∵91≤≤x ，∴2log 03≤≤x ．∴22max =y ，6min =y ．剖析：∵()x f 1-中91≤≤x ，则()21x f -中912≤≤x ，即31≤≤x ，∴本题的定义域应为[]3,1．∴1log 03≤≤x ．正解：（前面同上）()33log 23-+=x y ，由31≤≤x 得1log 03≤≤x ．∴13max =y ，6min =y ．例5．求函数3254-+-=x x y 的值域． 错解：令32-=x t ，则322+=t x ，∴()1253222++=+-+=t t t t y87874122≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t ．故所求函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,87．剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122++=t t y 在[)+∞,0上是增函数，随着t 增大而无穷增大．所以当0=t 时，1min =y ．故所求函数的值域是)+∞,1．三、求反函数时例6．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为[]6,2∈y ,又6)2(2+--=x y ，即 y x -=-6)2(2∴y x -±=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤-±=x x y ．剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．正解：由242(02)y x x x =-++≤≤的值域为[]6,2∈y , 因y x -=-6)2(2，又02≤-x ∴y x --=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤--=x x y ．四、求函数单调区间时例7．求函数)4lg()(2x x f -=的单调递增区间.错解：令24x t -=，则t y lg =，它是增函数. 24x t -= 在]0,(-∞上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数)4lg()(2x x f -=在]0,(-∞上为增函数，即原函数的单调增区间是]0,(-∞.剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．正解：由042>-x ，得)(x f 的定义域为)2,2(-.24x t -= 在]0,2(-上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数)4lg()(2x x f -=的单调增区间是]0,2(-.例8．求()23log 27.0+-=x x y 的单调区间．错解：令232+-=x x t ，t y 7.0log =，⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈23,x 时，232+-=x x t 为减函数，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 时，232+-=x x t 为增函数，又t y 7.0log =为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,，减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23．剖析：在定义域内取1=x ，y 值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内．由0232>+-x x ，得1<x 或2>x ，故增区间为()1,∞-，减区间为()+∞,2．例9．指出函数22ln y x x =+的单调增区间． 错解：∵22ln y x x =+，∴22y x x'=+，∴当0y '>时，1x ≥或1x ≤-，∴函数22l n y x x=+的单调增区间为(][),1,1,-∞-+∞． 剖析：此题错在没有考虑函数的定义域()0,+∞，故本题的答案为[)1,+∞． 五、判断函数的奇偶性时 例10．判断()()xxx x f +-+=111的奇偶性． 错解：∵()()()()()()x f xxx xx x xxx x f =+-+=-+-=-+-=-1111111112， ∴()x f 为偶函数．。
充要条件练习题
充要条件练习题一、选择题1. 已知命题P：x²-4=0，命题Q：x=2或x=-2。
以下哪个选项正确描述了P和Q的关系？A. P是Q的充分条件B. P是Q的必要条件C. P是Q的充要条件D. P和Q是互不相关的2. 如果“x>0”是“x²>0”的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列哪个命题的逆命题是真命题？A. 如果两个角是对顶角，则这两个角相等。
B. 如果两个角相等，则这两个角是对顶角。
C. 两个直角三角形是相似的。
D. 两个相似的三角形是直角三角形。
二、填空题4. 如果命题P：x>0，命题Q：x²>0，那么P是Q的_________条件。
5. 命题P：x>1，命题Q：x>0，Q是P的_________条件。
6. 命题P：x²-1=0，命题Q：x=1或x=-1，P是Q的_________条件。
三、判断题7. 如果命题P是命题Q的充分条件，那么P成立时Q一定成立。
（）8. 如果命题P是命题Q的必要条件，那么Q成立时P一定成立。
（）9. 如果命题P是命题Q的充要条件，那么P和Q是等价的。
（）四、解答题10. 已知命题P：x>3，命题Q：x>2，证明P是Q的充分条件，但不是必要条件。
11. 给定命题P：x²-4x+4=0，命题Q：x=2，证明P是Q的充要条件。
12. 已知命题P：x²+y²=1，命题Q：x和y的绝对值都小于1。
证明P是Q的必要条件，但不是充分条件。
五、证明题13. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
14. 证明：如果一个数的平方根是正数，那么这个数本身是正数。
15. 证明：如果两个角的和是180度，那么这两个角是互补的，并且互补角是互为充要条件。
六、逻辑推理题16. 在一个班级中，如果一个学生是班长，那么他一定是班级的积极分子。
北师大版数学第一册 充要条件练习题附答案
第二课时充要条件课标要求素养要求通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养.新知探究主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.问题请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.提示张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.拓展深化[微判断]判断下列说法的正误.1.p：1x<1，q：x>1，p是q的必要不充分条件.(√)2.p：M＝∅，q：M∩N＝∅，p是q的充分不必要条件.(√)3.“A⊆B”是“A∪B＝B”的充要条件.(√)[微训练]1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A2.设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A3.“m＝1”是“函数y＝x m2－4m＋5为二次函数”的________条件.解析当m＝1时，y＝x m2－4m＋5＝x2是二次函数，y＝x m2－4m＋5是二次函数，则m2－4m＋5＝2，∴m＝1或m＝3.答案充分不必要[微思考]1.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示p是q的充要条件说明p是条件，q是结论，p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.2.证明充要条件的一般步骤是什么？提示根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：一般地，证明“p成立的充要条件为q”的步骤是：(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.题型一充要条件的判断【例1】判断下列各题中，p是否为q的充要条件？(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：a>b；(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p ：|x |>3，q ：x 2>9.解 (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔a >b ， 所以p 是q 的充要条件.(2)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，即p ⇒q ； 若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，故p ⇔q ， 所以p 是q 的充要条件.(3)由于p ：|x |>3⇔q ：x 2>9，所以p 是q 的充要条件.规律方法 判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立.若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件. 【训练1】 a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab ＝0B.ab >0C.a 2＋b 2＝0D.a 2＋b 2>0解析 a 2＋b 2>0，则a 、b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0. 答案 D题型二 充要条件的证明【例2】 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.证明 ①必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则 ⎩⎨⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，（x 1－1）＋（x 2－1）>0，（x 1－1）（x 2－1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，（x 1＋x 2）－2>0，x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－（2k －1）－2>0，k 2＋（2k －1）＋1>0， 解得k <－2.②充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.【训练2】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，x＝0时y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.题型三递推法判断命题间的关系【例3】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解(1)∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q.即s是q的充要条件.(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件.(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要不充分条件.规律方法解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.【训练3】如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙.综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.答案 A一、素养落地1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.二、素养训练1.设a，b是实数，则“a>b”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝12，故p是q的必要不充分条件.选B.答案 B3.“1<x<2”是“x<2”成立的________条件.解析当1<x<2时，必有x<2；而x<2时，如x＝0，推不出1<x<2，所以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件.答案充分不必要4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，则“a＝b”是“A＝B”的________条件.解析“a＝b”等价于“A＝B”.答案充要基础达标一、选择题1.已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴A∩B ＝{4}，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件.答案 A2.设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析若a>b>0，则a2>b2成立，若a＝－2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，故选C.答案 C3.设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件. 答案 D4.已知两个三角形△ABC ，△A ′B ′C ′，则“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“S △ABC ＝S △A ′B ′C ′”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 △ABC ≌△A ′B ′C ′可得S △ABC ＝S △A ′B ′C ′，但S △ABC ＝S △A ′B ′C ′不可以推出△ABC ≌△A ′B ′C ′.故选A. 答案 A5.四边形ABCD 中，则“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB 綊CD ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 四边形ABCD 为平行四边形等价于AB 綊CD ，故选C. 答案 C 二、填空题6.“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的________条件.解析 当x ，y 均为奇数时，一定可以得到x ＋y 为偶数；但当x ＋y 为偶数时，不一定必有x ，y 均为奇数，也可能x ，y 均为偶数. 答案 充分不必要7.设x ∈R ，则“x >12”是“(2x －1)(x ＋1)>0”的________条件. 解析 由⎩⎨⎧2x －1>0，x ＋1>0，或⎩⎨⎧2x －1<0，x ＋1<0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12{x |2x 2＋x －1>0}.答案 充分不必要8.函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1， 其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 答案 －2 三、解答题9.已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0. 证明 法一 充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y . 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0. 因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0. 法二 1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy <0. 由条件x >y ⇔y －x <0，知y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0.10.已知ab ≠0，求证：a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1. 证明 充分性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2＋b 2－ab )＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2>0，∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1.能力提升11.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，1x>1y，则p是q的________条件.解析当x>0，y<0时，x>y且1x>1y成立，当x>y且1x>1y时，得⎩⎪⎨⎪⎧x－y>0，x－yxy<0⇒⎩⎨⎧x>0，y<0.所以p是q的充要条件.答案充要12.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性.∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性.由a＋b＋c＝0，即c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.创新猜想13.(多选题)在下列各命题中，p是q的充要条件的是()A.p：A⊆B，q：A∩B＝AB.p：a＝b，q：|a|＝|b|C.p：x2＋y2＝0，q：x＝y＝0(x，y∈R)D.p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数解析A、C中，p都是q的充要条件.B中，p是q的充分不必要条件.D中，p 是q的充分不必要条件.答案AC14.(多空题)p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形的三个角对应相等，r：两个三角形全等，则p是r的________条件；q是r的________条件.解析p⇒r，r⇒p；q⇒r，r⇒q，故前者为充要条件，后者为必要不充分条件.答案充要必要不充分如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。
证明充要条件的步骤
证明充要条件的步骤充要条件的证明步骤一、引言充要条件是数学推理中常常遇到的概念。
在数学中，我们常常需要确定某个命题的充要条件，即当且仅当某个条件成立时，该命题才成立。
如何证明一个命题的充要条件是一个重要而困难的问题，需要合理的推理和论证。
本文将介绍充要条件的证明步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、充分条件的证明步骤充分条件的证明是指当某个条件成立时，命题一定成立。
证明充分条件的步骤如下：步骤一：假设条件成立我们假设充分条件成立。
也就是假设条件A成立，然后我们将根据这个假设来进行推理和论证。
步骤二：推理和论证在假设条件成立的基础上，我们可以利用已知的数学定理、推理规则和定义等进行推理和论证。
通过逻辑推理和数学推导，我们可以从假设条件A出发，推导出命题成立的结论B。
步骤三：总结和证明需要总结这些结论并进行证明。
证明的方法可以是直接证明、间接证明、归谬法等。
根据具体情况选择合适的证明方法，并进行详细的推理和论证。
步骤四：结论我们得到了命题成立的结论B。
根据充分条件的定义，我们可以得出结论：当条件A成立时，命题一定成立。
因此，我们证明了充分条件。
三、必要条件的证明步骤必要条件的证明是指当命题成立时，某个条件一定成立。
证明必要条件的步骤如下：步骤一：假设命题成立我们假设命题成立。
也就是假设命题B成立，然后我们将根据这个假设来进行推理和论证。
步骤二：推理和论证在假设命题成立的基础上，我们可以利用已知的数学定理、推理规则和定义等进行推理和论证。
通过逻辑推理和数学推导，我们可以从命题成立的条件B出发，推导出某个条件A成立。
步骤三：总结和证明需要总结这些结论并进行证明。
证明的方法可以是直接证明、间接证明、归谬法等。
根据具体情况选择合适的证明方法，并进行详细的推理和论证。
步骤四：结论我们得到了条件A成立的结论。
根据必要条件的定义，我们可以得出结论：当命题成立时，条件A一定成立。
因此，我们证明了必要条件。
四、充要条件的证明步骤充要条件的证明是指当且仅当某个条件成立时，命题才成立。
1.2.2 充要条件(第一课时)
∴m≥3，即 m 的取值范围是[3，＋∞).
归纳
总结
1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p⇔q”表示 p 等价于 q，要证 p⇒q，只需 证它的逆否命题¬q⇒¬p 即可；同理要证 p⇐q， 只需证¬q ⇐¬p 即可．所以 p⇔q，只需¬q⇔¬p. (3)利用集合间的包含关系进行判断．
归纳
总结
1.p是q的充分条件包括两种可能,即p是 q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样， p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要 不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性 和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就 是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题 的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.
解 : 记A x | x m, B x | ( x 1)( x 2) 0,
即B x | x 1, 或x 2 由题意知A m 1.
B,
A A B mm B
1
2
3．如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题，而它的逆否
必要不充分 条件． 命题是假命题，则 A 是 B 的______________
Байду номын сангаас
所以有 Δ＝4＋4a<0，解得 a<－1.
反之，若 a<－1，
则 Δ<0，方程 x2－2x－a＝0 无实根，即函数没有零点．
概念
辨析
p是 q
的充分不必要条件
即 : p q, 且q p
专题5 充要条件(解析版)
专题5 充要条件题组1 充要条件的判断1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A.0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D.0＜a≤1或a＜0【答案】C【解析】方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.方法二 (排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.4．在下列三个结论中，正确的有（ ）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.②，AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C. 题组2 寻求充要条件5.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5【答案】A【解析】A ∩(∁U B )满足∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则∴6.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0①，x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.【答案】方程①有实数根的充要条件是即m ≤1且m ≠0.方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m )2－4(4m 2－4m －5)≥0，即m ≥－.∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m ≤1，且m ≠0，即－≤m ＜0或0＜m ≤1. 题组3 充要条件的证明7.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.【答案】证明 (1)充分性：当0＜m ＜时，Δ＝4－12m ＞0，所以方程mx 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根，设为x 1，x 2.由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1x 2＝＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.即0＜m ＜⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则∴0＜m ＜，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜.综上可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.8．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【答案】见解析．【解析】充分性：若0ac <，则240b ac ->，且0c a<，∴方程20ax bx c ++=方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，则240b ac ∆=->，12,0,0c x x ac a =<∴<，即可得结论.试题解析：(1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.9．已知,a b 是实数，求证：44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【答案】必要条件,证明见解析.【解析】由44221a b b --=，即442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为2210a b ++≠,故()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=,所以44221a b b --=成立的必要条件是221a b -=.题组4 由充分、必要条件求参数的范围10.已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是() A.(－2，－1]B.[－2，－1]C.[－3,1]D.[－2，＋∞)【答案】A 【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞).不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0可以化为(x －1)(x ＋a )＞0，当－a ≤1时，解得x ＞1或x ＜－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a ＞1时，不等式(x －1)(x ＋a )＞0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为(－2，－1].11.已知p ：|x －4|＞6，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.【答案】0＜a ≤3【解析】依题意，可得p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，q ：B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，⇒0＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是0＜a ≤3.12.已知p ：，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.【答案】[9，＋∞) 【解析】由已知，p ⇒q ，q ⇏p . 13.已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)＞0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}.(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.【答案】M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}.(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件.(2)当M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.14．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =． 【解析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<， 所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-；（2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <， 根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞，即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3， 根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩， 所以52a =-，12b =． 15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件（2）当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件【解析】（1）{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤. 要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,12,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S ⊆P ，当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥要使S ⊆P ，则有11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩，解得0m ≤，所以0m =， 综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．题组5 含有否定性语句的命题处理16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或故所求实数a的取值范围是.17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需即∴a≤9.故所求实数a的取值范围是(－∞，9].17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁R B＝{x|－4≤x＜－2}，{x|x满足p}＝∁R A＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，则或即－≤a＜0或a≤－4.∴a的取值范围为.。
1.4.2--充要条件
四、典型例题
例3 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
分析: 设p:d=r，q:直线l与⊙O相切.要证p是q的
充要条件,只需分别证明充分性(p⇒q)和
O
必要性(q⇒p)即可．
证明:设p:d=r，q:直线l与⊙O相切.
(1)充分性(p⇒q)
PQ l
(6)若p⇏q且q⇏p，则p是q的 不充分也不必要条件. q是p的不充分也不必要条件.
三、充分条件、必要条件的理解
2.从集合观点来看(命题p：x∈P，命题q：x∈Q)
(1)若P⊆Q，则p是q的 充分条件. (2)若Q⊆P，则p是q的 必要条件.
= (3)若P Q，则p是q的充要条件.
(4)若P Q，则p是q的充分不必要条件. (5)若Q P，则p是q的 必要不充分条件. (6)若P⊈Q且Q⊈P，则p是q的 不充分也不必要条件.
(4)若p⇏q且q⇒p，则p是q的 必要不充分条件. q是p的 充分不必要条件.
(5)若p⇒q且q⇒p，则p是q的 充要条件. q是p的充要条件.
(6)若p⇏q且q⇏p，则p是q的 不充分也不必要条件. q是p的不充分也不必要条件.
五、课堂小结
2.从集合观点来看(命题p：x∈P，命题q：x∈Q)
(1)若P⊆Q，则p是q的 充分条件. (2)若Q⊆P，则p是q的 必要条件.
四、典型例题
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形， q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似， q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy＞0， q：x＞0，y＞0； (4)p：p=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根， q：a+b+c=0(a≠0)
充分条件必要条件充要条件及命题的四种形式模板
4）若A=B ，则甲是乙的
充分且必要条件
A
B
A =B
3)
4)
小结 充分必要条件的判断方法：
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
新课
复习 新课 小结 作业
练习1、 判断下列命题中前者是后者的什么条件？ 后者是前者的什么条件？
（1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。 （2）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （3）若a2>b2，则a>b。
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的
（Ａ ）条件
A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
充分条件与必要条件
典型例题
例2．填表
p
q
p是q的什么条件 q是p的什么条件
y是有理数 y是实数
充分
必要
x5
x3
充分
必要
m，n是奇数 m+n是偶数 充分
必要
ab
ab
必要
x A且x B x A B 充分 必要
充分 必要 充分
ab 0
a0
( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2
则b2 4ac 0 ．
真
（6方）程若a有b ax02， 则bx a c 0 0；(a 0) 两个不等的实数解假
b2 4ac 0
充要条件假言判断的例子
充要条件假言判断的例子
以下是 8 条关于充要条件假言判断的例子：
1. 要是你每天都坚持锻炼，那你的身体肯定倍儿棒，就像太阳每天升起那样必然呀！比如你看隔壁的王大爷，天天锻炼，身体多硬朗，这不就是最好的证明嘛！
2. 你对朋友真诚，朋友才会对你真诚呀，这就好比你给花浇水施肥，花才会鲜艳盛开嘛！你想想，如果你都不真诚待人，别人又怎么会真心对你呢？
3. 当你认真读书学习，那你就能取得好成绩，这是毫无疑问的！这就像盖房子，根基扎实了房子才能坚固，你不努力学习，成绩怎么会好呢？
4. 你只有勇敢面对困难，才能够战胜困难，这不是很明显的道理吗？好比战士上战场，不勇敢怎么能打赢呢！你瞧那些成功的人，哪个不是勇敢地闯过来的。
5. 要是你懂得感恩，你才会获得更多的快乐呀，就像种子得到阳光雨露就会茁壮成长！你不感恩拥有的一切，又怎么会真正快乐呢？
6. 你对工作负责，工作才会回报你呀，这跟播种和收获是一个道理！想想看，如果你敷衍工作，工作能给你好的结果吗？肯定不能啊！
7. 当你学会宽容，你才会拥有和谐的人际关系，这就好像春风能吹走寒冷一样自然！你要是心胸狭窄，谁愿意和你好好相处呢？
8. 你只有真心热爱生活，生活才会对你灿烂微笑，这难道还需要怀疑吗？好比花儿热爱阳光，才会绽放得如此美丽！你不热爱生活，生活怎么会善待你呢？
我的观点结论就是：充要条件假言判断在我们的生活中无处不在，理解并运用它能让我们更好地把握生活、学习和工作的各种情况，让我们的人生更加顺畅和有意义。
充要条件的测试题及答案
充要条件的测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项正确描述了充要条件？A. 条件A是条件B的充分条件B. 条件A是条件B的必要条件C. 条件A是条件B的充要条件D. 条件A是条件B的既不充分也不必要条件答案：C2. 如果A⇒B，B⇒A，则A和B的关系是：A. A是B的充分条件B. A是B的必要条件C. A是B的充要条件D. A与B互为独立条件答案：C二、判断题1. 如果A是B的充分条件，那么B也是A的必要条件。
（）答案：错误2. 如果A是B的必要条件，那么B是A的充分条件。
（）答案：正确三、简答题1. 解释什么是充要条件，并给出一个例子。
答案：充要条件指的是两个条件之间存在一种相互依赖的关系，即一个条件的存在必然导致另一个条件的存在，反之亦然。
例如，一个数是偶数（条件A）是它能够被2整除（条件B）的充要条件。
2. 区分“充分条件”和“必要条件”并给出各自的例子。
答案：充分条件指的是一个条件的存在足以保证另一个条件的存在，但不是唯一的保证。
例如，一个数是偶数是它能够被2整除的充分条件。
必要条件指的是一个条件的存在是另一个条件存在所必需的，但不是充分的。
例如，一个数能够被2整除是它为偶数的必要条件。
四、应用题1. 如果x > 0是x² > 0的充分条件，判断x < 0是否是x² > 0的必要条件。
答案：不是。
因为x < 0时，x²仍然是正数，但x > 0是x² > 0的充分条件，意味着x² > 0时，x一定大于0，但x < 0时x² > 0并不成立，所以x < 0不是x² > 0的必要条件。
2. 证明如果A是B的充要条件，那么B也是A的充要条件。
答案：如果A是B的充要条件，根据充要条件的定义，A⇒B且B⇒A。
这意味着如果A成立，则B必然成立；反之，如果B成立，则A也必然成立。
证明充要条件的问题
1 1 x y 当x Biblioteka 0, y 0时，有： . x y
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
知能迁移3
求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大
于3的必要条件是|a|> 吗？为什么？ 证明
3 , 这个条件是其充分条件
设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,
则平方和大于3的等价条件是
2 a 40 2 2 2 2 x x ( x x ) 2 x x ( a ) 2 3, 2 1 2 1 2 1
题型三
充要条件的证明
【例2】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围.
证明
充分性：
1 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 x , 2 方程只有一负根.
当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根.
a≤0或a=1.
12 分
探究提高
（1）条件已知证明结论成立是充分性.
结论已知推出条件成立是必要性；
（2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这
就要分清哪是条件，哪是结论.
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a≤0或a=1.
12 分
探究提高
（1）条件已知证明结论成立是充分性.
结论已知推出条件成立是必要性；
（2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这
就要分清哪是条件，哪是结论.
题型三
充要条件的证明
【例2】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围.
证明
充分性：
1 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 x , 2 方程只有一负根.
当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根.
引申
②从集合角度看
命题“若p则q”
已知A＝ {x | x满足条件p}，B＝ {x | x满足条件q}
1) A B, 则p是q充分条件， q是p必要条件 .
2) A B, 则p是q充分不必要条件， q是p必要不充分条件 .
3) A B, 则p是q的充要条件 .
4) A B且B A，则p是q既不充分也不必要条件 .
1 1 x y 当x 0, y 0时，有： . x y
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
知能迁移3
求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大
于3的必要条件是|a|> 吗？为什么？ 证明
3 , 这个条件是其充分条件
设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,
则平方和大于3的等价条件是
2 a 40 2 2 2 2 x x ( x x ) 2 x x ( a ) 2 3, 2 1 2 1 2 1
2分 4分
当a<0时,Δ =4(1-a)>0，方程有两个不相等的根，
1 且 <0，方程有一正一负根. a 必要性：
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时，适合条件. 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
6分
8分
则Δ =4-4a≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一负根x=-1. 10分 a 1 若方程有且仅有一负根， 则 1 , a 0. 0 a 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为
引申
①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q 的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不 必要条件.
即a 5或a 5. {a | a 5或a 5}
{a || a | 3},
∴|a|> 3 这个条件是必要条件但不是充分条件.
课堂小结
（1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 p q 和 p q 是否能成立。 （3）判别技巧： ① 可先简化命题； ② 否定一个命题只要举出一个反例即可； ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
1、已知x、y是非零实数，且 x y, 求证： x y 的充要条件是 xy 0.
注意：分清p与q. p : xy 0
证明：充分性 ( p q)
1 1 q: x y
x 0 x 0 若xy 0, 则 或 y 0 y 0