信号系统-附录A 离散时间信号与系统的基本知识

图A7 系统输入输出的时域关系
同样，卷积和也满足交换律、分配 律和结合律。
其计算步骤也与卷积分十分类似， 可分为如下5步。
（1）将参与卷积的两个序列的变量由n改 写为k，得到x(k)和h(k)。
（2）任选其中一个序列关于k=0进行折叠 反转，得到逆时间序列，例如h(−k)。
（3）将h(−k)右移n位（n现在是参数，不 是自变量）得h(n−k)。
系统频率特性概念也完全类似于连 续时间域，用于表征单频复正弦序列通 过系统时系统对其所产生的作用。
对于x(n) ejn (∞ n ∞) ，系统 h(n)的输出为
y(n) x(n) * h(n)
∞
h(k )e j(nk)
k ∞
∞
ejn
h(k)e jk
k ∞
（A29） (∞ n ∞)
（4）对所有k值求出乘积 x(k)h(n k)并求
和，得到相应n值时的输出序列值y(n)。
（5）对所有可能的n值重复上述过程（如
涉及 n 0 的情况，将h(−k)左移n位），
得到全部的序列值y(n)。
A2.5 差分方程表示的LSI系统
在不少情况下，LSI系统输出的卷积 和形式可以得到进一步的改进，如对于因
在S域中，esT代表了一个延迟时间等 于T的延迟器，而T是信号采样时的采样 间隔，也即各个样本之间的间隔，因此
z1 应该是单位延迟器在Z域中的表示。
事实上，对序列 x(n 1) 来说，其
Z变换为
∞
∞
L x(n 1) x(n 1)zn z1 x(k)zk z1X (z)（A35）
n∞
k ∞
4．单边实指数序列
x(n) an (n) (0 a 1) (n 0, 1, 2, )（A9）
其图形如图A3所示。
图A3 单边实指数序列
5．矩形序列
1, 0 ≤ n ≤ N 1
RN (n) 0,
其他
其图形如图A4所示。
（A10）
图A4 矩形序列RN(n)
6．实正弦序列
x(n) Acosn
式（A22）所示的形式称为常系数线 性差分方程，其一般形式为
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k) （A23）
k 1
k 0
与模拟域中描述系统行为的微分方程
一样，在给定了合适的初始条件后，这一 差分方程可以用于描述因果LSI系统的输 入输出关系。
它表明，系统的当前输出可以从输 出的N个过去值及当前输入和M个过去输 入计算得到，而所涉及的基本运算单元 有下列3种。
式（A17）的形式非常类似于模拟域内 卷积分的表达式（2-8），所不同的是以求 和代替了积分，故称之为卷积和，简称为卷 积，并同样用符号“*”来表示参与卷积的 两个信号的关系，即
∞
y(n) x(k)h(n k) x(n) * h(n) k ∞
（A18）
图A7所示为引入h(n)后系统的输入 输出关系图。
平面的复 tnT ，即可得到 序列x(n)的一个变换，即
∞
L x(n) X (z)
x(n)zn
X
s
(s)
e
sT
z
（A34）
1
n∞
这一变换称为序列的Z变换。
这是一个复变量z的幂级数，复变函 数理论中称为罗朗（Laurent）级数，其 收敛域 Rx是Z平面上以原点z=0为中心的 一个环域，而在收敛域内，X(z)是一解析 函数。
图A6 LSI系统的单位采样响应
单位采样响应完全表征了LSI系统的 性质。
引入这一概念后，任意序列x(n)输入 系统后由这一输入引起的响应y(n)可容易 求得为
y(n)
T
x(n)
T
∞
x(k)δ(n k)
k ∞
∞
x(k)T δ(n k) k ∞
∞
x(k)h(n k) k ∞
（A17）
近30多年来，随着集成电路技术的 发展，更小、更快、更便宜，而功能强 大的电子计算机和专用数字硬件得到了 充分发展。
基于这些数字器件构成的数字系统
可以以数字方式完成复杂的信号处理任 务，而且具有成本低廉、性能稳定、一 致性好的优点。
可编程器件的出现更使这一处理手 段具有了灵活性高的优点。
因此，现在除了带宽极大信号的实
（A12）
式中，A、、分别是正弦序列的
幅度、频率和初相位。
注意，这里的是数字频率，单位
为弧度。
A2.3 离散时间系统及重要性质
离散时间系统的定义完全平行于1.4.2节 中的连续时间系统，即系统可视为一个算子 （operator），对输入序列x(n)进行规定的 操作运算，使其变换为输出序列y(n)，其符 号表示为
有意义。
有关H(ej)的周期性、对称性等性质，这 里不予细述。
A3.3 信号通过LTI系统的频域分析
系统频率特性从频域角度全面表征 了系统对输入序列的作用，因此，系统 现在已可用H(ej)来表示。
利用LSI系统的线性性，很容易得到 任一序列x(n)通过系统后的输出。
图A9所示为离散时间信号通过LSI 系统的频域分析。
上述对样本序列分配二进制数的操 作称为量化编码，简称为量化。
量化得到的信号称为数字信号。
数字信号与离散时间信号具有相同
的定义域，但其值域是一个有限的离散 集，也即其取值范围不再是连续的。
这样，量化得到的数字信号的取值将 不可能完全与x(nT)相同，而是在其基础上 引入了一个由量化引入的随机误差，即
y(n) T x(n)
（A14）
其中，符号 T 表示对操作对象的
某种变换或算法，简称为系统。
其框图表示如图A5所示。
图A5 离散时间系统的框图示意
1．线性性 2．移不变性 3．因果性 4．稳定性
A2.4 LSI系统的时域分析：单位采样 响应与卷积和
在连续时间系统中，LTI系统在系统初始 松弛时对(t)的响应被称为系统的单位冲激响 应，对于离散时间下的LSI系统，其对应概念 是如图A6所示的单位采样响应h(n) T[δ(n)]。
Q[x(n)] x(n) eq (n)
（A1）
式中，Q[x(n)] 是x(n)量化后的值， eq (n) 是量化引入的随机误差，通常称
为量化噪声。
显然，存储器位数越多，量化噪声 越小，而其代价是增加了数据长度，因 而会增大处理和传输负担。
实际应用中，上述的采样与量化过 程通常一起由A/D变换器完成。
x(n)是一个离散时间信号，其定义域 为整数集（即在整数n上有定义），其值 域为x(t)动态范围内的任意值。
为了要用计算机或数字硬件对x(n)进行 操作处理，x(n)的取值必须用二进制数来 表达，也即必须对数字序列x(n)的每一个
值按一定的规则分配一个二进制数，在存 储器为N位时，可供使用的二进制数共有 2N个。
将模拟信号即连续时间信号变换成 二进制数所需的操作是采样与量化。
由采样定理可知，对于有限带宽的 连续时间信号x(t)，在采样率足够高也即 采样间隔T足够小时，x(t)的所有性质可
由其样本值 x(nT) (∞ n ∞) 表征。
这样，只要默认各样本之间的间隔
为T，这组样本可进一步简化表示为数字
序列x(n) (∞ n ∞) 。
这是一个与输入序列同频的复正弦
序列，而
∞
h(k)e jk
反映了系统h(n)对输
入的作用k。∞
由此，系统频率特性定义为
∞
H (ej )
h(n)e jn
（A30）
n∞
显然，H(ej)是个复数，可写为
H (e j ) H (e j ) e jargH (ej )
（A31）
其中|H(ej)|称为系统的幅度特性， arg H (ej )称为系统的相位特性。
连续时间信号与系统和离散时间信 号与系统存在着很多相似之处，许多概 念和结论存在着对应的关系，但两者之 间也存在着明显而重要的差别。
因此，在学习过程中，既要注意两 者之间的联系，更应注意两者之间的差 别。
A2 离散时间信号与系统基本概念
A2.1 离散时间信号与数字信号
为了使用数字方式对模拟信号进行处 理，首先需要把模拟信号变换成为能为计 算机和数字硬件识别、操作的形式，也即 二进制数的形式。
器将允许300~3 000Hz的语音频率分量通 过，滤除3 000Hz以上的频率分量，而采 样率则取为8kHz。
理论分析中通常不考虑以上两种误差， 而仍用x(n)表示数字信号，并用十进制数来 表达信号值。
但读者应该记住，在用数字方式表达和 处理信号时，信号和系统参数都只能具有有 限的表数精度。
A2.2 几个重要的数字信号
因此，将x(n)的取值转换成二进制 数时，只能按规则选取这2N个二进制数 中的一个。
通常使用的转换分配规则有“舍入 ”和“截尾”两种。
所谓“舍入”是指，若x(n)转换成二 进制数后剩余的尾数大于存储器最小单 位的一半，则予以进位，否则舍弃；所 谓“截尾”是指x(n)转换二进制数后的剩 余尾数一律丢弃。
附录A 离散时间信号与系统的基本知识
A1 引言
在科学与工程中，信号通常以连续 时间信号形式即模拟信号形式出现。
20世纪70年代之前，由于技术的限 制，除了少数需要进行复杂信号处理的 应用，如地球物理数据的分析已经使用 数字计算机外，在绝大多数应用中，仍 是用模拟设备直接在连续时间域内对信 号进行处理。
果系统h(n) an (n)，其输出为
∞
∞
y(n) h(k)x(n k) ak x(n k) （A21）
k ∞
k 0
经过简单的变量替换，上式可进一 步写为
y(n) y(n 1) x(n) （A22）
从计算的角度说，式（A22）显然比 式（A21）更为有效，因为系统的当前输 出可在过去输出的基础上计入输入的当前 值迭代求出，而无须对每个n值重新求取 卷积和。
因此证实了 z1 是单位延迟器在Z域
时处理还仍须使用模拟信号处理或光信 号处理技术外，凡在能够使用数字信号 处理技术且处理速度足够应用的场合， 用数字方式进行信号处理已成为首选。
用数字方式处理信号时，所涉及的
信号是离散时间信号，信号处理器是离 散时间系统，为此，这里从信号的数字 处理这一应用目的出发，对离散时间信 号与系统的基本知识做一介绍。
这样，频率为的单频复正弦序列
通过系统h(n)后，在系统的作用下，视
频率的不同，其幅度将变化|H(ej)|倍，
相位将变化 arg H (ej ) 。 因此，H(ej)也称为系统的正弦稳
态响应。
由式（A30）可知，系统频率特性H(ej) 实际上就是系统单位采样响应h(n)的DTFT。
因此，对于稳定的系统，其频率特性必
图A9 离散时间信号通过LSI系统的频域分析
A4 Z变换与系统函数
A4.1 Z变换
上一节通过考察采样数据信号xs(t)的 傅里叶变换导出了序列x(n)的离散时间傅 里叶变换，现来考察xs(t)的拉氏变换。
根据定义，可得
∞
Xs (s)
x(nT )esnT （A33）
n∞
对上式作变换 esT z1，将其从S
定义：序列x(n)的DTFT为
∞
X (ej )
x(n)e jn
n∞
上式存在的条件是
∞
x(n) ∞
n∞
即x(n)绝对可和。
（A24） （A25）
图A8 X(j)、Xs(j)和X(ej)的示意图
反变换IDTFT的表达式为
x(n)
1
π
X (e j )e jnd
2π π
（A28）
A3.2 系统频率特性
（1）移位寄存器：用于存储当前和过去时刻的 序列值。
（2）常数乘法器：用于对序列值乘以常数。 （3）加法器：用于对序列值两两相加或相减。
A3 傅里叶分析
A3.1 离散时间傅里叶变换与反变换
由于序列x(n)定义于离散时间，其傅里 叶变换需另行重新定义，并称之为离散时间 傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform， DTFT）。
除了量化误差外，连续时间信号采
样时可能发生的频谱混叠是另外一个误 差源。
为了尽可能地消除混叠误差，通常采用的
办法是让信号通过一个阻止不必要高频分量通 过的抗混叠保护滤波器（guard filter），再用 过采样（over sampling）技术也即提高采样率 方法来进一步减小频谱混叠。
例如，在数字电话中，抗混叠滤波
1．单位采样序列
δ(n)
1, 0
n0 n0
其图形如图A1所示。
（A2）
图A1 单位采样序列
2．单位阶跃序列
(n)
1, 0,
n≥0 n0
（A3）
其图形如图A2所示。
图A2 单位阶跃序列
3．复正弦序列
频率为w的离散时间复正弦序列的表 达式为
x(n) ejn (n 0, 1, 2, ) （A5）