二次函数与相似三角形之间的综合题

二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计

田敏

教材分析：

1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了10%。所以在初中数学中占着重要的地位。

学情分析：

2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型。应用信息技术解决重点难点的地方：本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题。重在思考线路。

3、学习二次函数，对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下的作用。同时也是学习物理等其他学科的重要工具。

教学过程

一、复习预习

1.二次函数的基础知识

2.勾股定理

3.相似三角形的性质

二、知识梳理

考点1 二次函数的基础知识

1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．

2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2

才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

考点2 勾股定理及逆定理

1.定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2）

2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

考点3 相似三角形的性质

1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项

7.c/d=a/b 等同于ad=bc.

8.相似三角形的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比

三．例题讲解

例1.如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置．

(1)求过C、B、A三点的二次函数的解析式；

(2)若(1)中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由．

解：（1）由题意知，C、B、A三点的坐标分别为：C（-3，0）、B（0，3）、A（1，0）；

设二次函数的解析式为y=a（x-1）（x+3），依题意，有：a（0-1）（0+3）=3，解得：a=-1（此方法为交点式法）

故过C、B、A三点的二次函数的解析式为y=-x2-2x+3．

（2）△MDC是等腰直角三角形，理由如下：

由（1）知，抛物线的解析式：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，则M（-1，4）；易知：C（-3，0）、D（0，1），则：

MC2=（-1+3）2+（4-0）2=20，

MD2=（-1-0）2+（4-1）2=10，

CD 2=（-3-0）2+（0-1）2=10 （根据已知和题中所给的条件确定定值即MC 、 MD 、 CD 长度）

则MC 2=MD 2+CD 2，且MD=CD ，（依据题目要求，按照事物的性质即勾股定理逆定理来完成题目所求）

因此△MDC 为等腰直角三角形．

解析:（1）△OCD 是由△OBA 旋转所得，因此OB=OC 、OA=OD ，所以由OA 、OB 的长，即可得出A 、B 、C 、D 四点的坐标，利用待定系数法即可求出过C 、

B 、A 三点的二次函数的解析式．即用一般式法也可以完成

（2）由（1）的二次函数解析式不难求出顶点M 的坐标，在已知M 、C 、D 三点坐标的情况下，由坐标系两点间的距离公式可求出MD 、CD 、MC 三边的长，再由三边长来判断△MCD 的形状．

例2.直线113

y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，且A 与C 对应B 与D 对应，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．

(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．