立体几何中的向量方法(一)

3.2立体几何中的向量方法（一）

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．

知识点一直线的方向向量与平面的法向量

思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP

→

来表示．我们把向量OP

→

称为点P的位置向量．

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP

→

＝tAB

→

，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP

→

＝x a＋y b.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．

梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量

能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方

向向量

平面的法向量

直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α

的法向量

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝k b (k∈R)

线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0

面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝k v (k∈R)

线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0

线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)

面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0

知识点二

思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．

(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？

(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？

答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R )．

(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．

梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.

类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系

例1 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)；

(2)设μ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)；

②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；

(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系：

①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)．

解 (1)①∵a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)， ∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.

②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.

(2)①∵μ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－1

2， ∴μ·v ＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v ，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)， ∴μ＝－3

2

v ，∴μ∥v ，∴α∥β.

(3)①∵μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)， ∴μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.

②∵μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)． ∴μ＝1

4

a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.

反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；

(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)． 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3) ∴a ＝－1

3

b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.

(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面，但不垂直． (3)∵μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)， ∴μ·v ≠0且μ≠k v (k ∈R )，

∴μ与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (4)∵a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a ，

∴μ∥a ，即l ⊥α. 类型二 求平面的法向量

例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1

2

，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．

解 ∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →、AB →

、

AS →

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，