北师大版七年级数学下册第二章 ：相交线和平行线培优讲义(含解析)

第二章 相交线与平行线培优讲义

如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另

一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

邻补角的概念：

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：

（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对

4

3

2

1

D C

B

A

顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：

（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直

线的垂线，它们的交点叫垂足.

如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”

（2）垂线的性质：

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

5.同位角、内错角、同旁内角的概念：

①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同

一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.

②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分

别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角

③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线

的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.

D

C

B

A

看图识角：

（1）“F ”型中的同位角.如图.

（2）“Z ”字型中的内错角，如图.

（3）“U”字型中的同旁内角.如图.

平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

876

54

321F

E D

C

B

A F

M

N

D

B F M N

C

A

M

N

D

B E

M

N

E

C

A

N M

D

A

N

M

B

C

N

M

C

A

平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.

两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

平行线的画法：

平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：

一“落”（三角板的一边落在已知直线上），

二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），

三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），

四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．

平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

平行线的判定

两直线平行的判定方法

方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

简称：内错角相等，两直线平行

方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁内角互补，两直线平行

方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行

方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行

平行线的性质：

性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等

简称：两条直线平行，同位角相等

性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等

简称：两条直线平行，内错角相等

性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补

简称：两条直线平行，同旁内角互补

两条平行线间的距离：

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等

【例1】如图，直线AB、CD交于O，OE平分AOD

∠，30

BOC BOD

∠=∠-°，求COE

∠的度数．

【解析】由BOC

∠、BOD

∠互为邻补角可知，180

BOC BOD

∠+∠=︒．又30

BOC BOD

∠=∠-︒，故105

BOD

∠=︒，75

BOC

∠=︒．由对顶角相等可知，75

AOD BOC

∠=∠=°．

图3

O

E

B

D

A

C