反应谱

1.2 弹性反应谱
在Maurice A. Biot []首先提出弹性反应谱的概念之后，经若干学者的发展，反应谱的概念已得到了较大程度的推广，且反应谱现在已被广泛地应用于地震工程的各个方面（如地震危险性分析、结构抗震设计、地震加速度记录的选择和调整及基于性能的地震工程等）。

目前，反应谱主要包括：傅立叶谱、弹性反应谱、弹塑性反应谱、能量反应谱和损伤谱等。

以下主要介绍弹性反应谱的定义，其余反应谱的定义与弹性反应谱类似。

所谓弹性反应谱就是在给定的地震加速度输入下，单自由度弹性系统的最大反应和体系的自振特征（自振周期或频率和阻尼比）之间的函数关系。

单自由度弹性系统的最大反应可以是：相对于地面的最大位移、相对于地面的最大速度、最大绝对加速度、拟速度和拟加速度。

在地面加速度的激励下，单自由度弹性系统的动力平衡方程为：
)()()()(t u m t ku t u c t u m g -=++
(1.1)
式（1）的解可由Duhamel 积分求得：
ττωτωτξωd t e u t u D t t
g D
)(sin )(1
)()
(0
--
=--⎰
(1.2)
将式（1.2）求导可得相对速度反应为：
τ
τωτωτξωd t e u
t u
D t t
g D
)(sin )(1
)()
(0
--=--⎰
(1.3)
将式（1.3）求导再与地面加速度相加可得绝对加速度反应为：
ττωτωτξωd t e u t u t u D t t
g D
g )(sin )(1
)()()(0
--
=+--⎰
(1.4)
在式（1.1）～（1.4）中，m 为单自由度弹性体系的质量；c 为阻尼系数；k
为体系的刚度系数；u(t)为体系相对于地面的位移；)(t u
为体系的相对速度；)(t u 为体系的相对加速度；)(t u g 为地面加速度；ω为体系的无阻尼自振圆频率(ω2=2
π/T=k/m )；T 为体系自振周期；ζ为阻尼比（ζ=c/2m ω）；ωD 为体系的有阻尼自振圆频率（21ξωω-=D ）。

根据弹性反应谱的定义可知，绝对加速度反应谱、速度反应谱和位移反应谱分别为：
ττωτωξτξωd t e u t u t u T S D t t
g D
g a )(sin )(1
)()(),()
(0
max --=+=--⎰ (1.5) τ
τωτωξτξωd t e u
t u T S D t t
g D
v )(sin )(1
)(),()
(0
max
--==--⎰
(1.6)
ττωτωξτξωd t e u t u T S D t t
g D
d )(sin )(1
)(),()
(0
max --
==--⎰
(1.7)
此外，令),(),(),,(),(2ξωξξωξT S T PSA T S T PSV d d ==，则有：
==),(),(ξωξT S T PSV d (1.8) ==),(),(2ξωξT S T PSA d (1.9)
其中，),(ξT PSV 和),(ξT PSA 分别为拟速度反应谱和拟加速度反应谱。

当周期不太长及阻尼比较小时，S v (T, ζ)和PSV (T, ζ)及S a (T, ζ)和PSA (T, ζ)之间的区别通常可忽略。

对于无阻尼体系，S a (T, ζ)= PSA (T, ζ)，但S v (T, ζ) ≠PSV (T, ζ)。

随着周期和阻尼比的增大，拟反应谱与反应谱之间的区别将逐渐增大。

例如：当周期很长时（如T →∞），体系的绝对位移趋于0，因而体系的相对位移将趋于地面位移。

所以当周期很长时，S d (T, ζ)趋于峰值地面位移PGD ，S v (T, ζ)趋于峰值地面速度PGV ，S a (T, ζ)趋于0。

然而由PSV (T, ζ)和PSA (T, ζ)定义可知，当周期很长时（如T →∞），PSV (T, ζ)和PSA (T, ζ)均趋于0。

因此，在长周期的范围内，S v (T, ζ)和PSV (T, ζ)将有显著的区别。

根据以上弹性反应谱的定义可知，弹性反应谱仅适用于线弹性体系，它包含了地面运动和体系弹性反应的特征，但不能反映体系非弹性反应和累积损伤的特征。

1.3 设计反应谱
由于弹性反应谱是由一条地面加速度记录计算得到的，它仅反映了该条记录的特征，所以为了设计的目的，应使用设计反应谱。

设计反应谱是对大量不同地震中记录到的不同地面记录经统计分析再结合工程经验加以修正而得到的。

不同的学者提出不同的设计反应谱。

由Housner []、Seed 等[]、Newmark 等[]和Newmark and Hall []提出的设计反应谱被广泛地使用。

此外，世界各国的抗震设计规范及指导均给出了相应的设计反应谱。

以下主要介绍 中给出的设计反应谱。

欧洲结构抗震设计规范EC8[]中的水平弹性设计反应谱由四部分组成（如图1.1所示）：直线上升段（周期小于T B 的区段）、水平段（T B 至T C 的区段）、衰减指数为1的曲线下降段（T C 至T D 的区段）和衰减指数为2的曲线下降段（T D 至4s 的区段）。

各区段反应谱曲线的计算表达式由式（1.10）给出。

⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧
≤≤≤≤≤≤≤≤-+=4
5.25.25.20)]
15.2(1[)(2T T T
T
T S a T T T T T
S a T T T S a T T T T
S a T S D D
C g
D C C
g C B g B
B
g e ηηη
η (1.10)
式中，S e (T)为水平弹性加速度谱；T 为体系自振周期；a g 为A 类场地的设计地面加速度（a g =γ1a gR ，γ1为重要性系数，与结构重要性等级有关；a gR 为A 类场地的参考峰值地面加速度，与结构的重现期或超越概率有关）；T B 和T C 分别为加速度平台段的下限周期和上限周期；T D 为位移敏感区的起始周期；S 为土的放大系数；η为阻尼调整系数，阻尼比为5%时η=1（)5/(10ξη+=，ξ为结构阻
尼比）。

EC 8规定在0≤T≤4s 的范围内位移反应谱可由加速度反应谱采用下式计算得到：
2
)2(
π
T S S e De = (1.11) 对比(1.11)和 (1.9)式可知，EC8中给出的加速度反应谱为拟加速度反应谱。

此外，EC8提供了两个水准的地震作用，分别用于承载力极限状态和损伤极限状态的设计。

对于承载力极限状态而言，EC8建议采用重现期为475年或50年超越概率为10%所对应的参考峰值地面加速度a gR 来确定相应的设计反应谱。

对于损伤极限状态而言，EC8建议采用重现期为95年或10年超越概率为10%所对应的参考峰值地面加速度a gR 来确定相应的设计反应谱。

两种水准下反应谱的形状相同。

式（1.10）中的T B 、T C 和T D 与震级和场地类别有关。

EC8按震级将反应谱分为Ⅰ和Ⅱ两类。

当对场点的地震危险性贡献最大的面波震级M s 小于5.5时，应采用第Ⅱ类反应谱，其他情况下采用第Ⅰ类反应谱。

两类反应谱在不同场地类别下参数T B 、T C 和T D 的值见表1.1和1.2。

表1.1 EC8中描述第Ⅰ类反应谱的参数值 场地类别
S T B (s) T C (s) T D (s) A 1.00 0.15 0.40 2.00 B 1.20 0.15 0.50 2.00 C 1.15 0.20 0.60 2.00 D 1.35 0.20 0.80 2.00 E
1.40
0.15
0.50
2.00
表1.2 EC8中描述第Ⅱ类反应谱的参数值 场地类别
S T B (s) T C (s) T D (s) A 1.00 0.05 0.25 1.20 B 1.35 0.05 0.25 1.20 C 1.50 0.10 0.25 1.20 D 1.80 0.10 0.30 1.20 E
1.60
0.05
0.25
1.20
图1.2给出了阻尼比为5%时，A 至E 类场地第Ⅰ和Ⅱ类弹性反应谱曲线。

由图可见，场地类别不仅对反应谱形状有影响，还对反应谱的平台段高度有影响。

EC8除了给出自振周期在0到4s 的拟加速度反应谱外，在附录A 中，EC8对弹性位移反应谱给出了相应的规定，该位移反应谱与第Ⅰ类拟加速度反应谱相对应且代表了周期大于4s 的结构的地震作用（见图1.3）。

当结构的自振周期不超过T E （见表1.3）时，弹性位移反应谱可采用式（1.11）求得；当自振周期超过T E 时，弹性位移反应谱采用规范中的计算公式计算。

在整个周期范围内，弹性位移反应谱的计算公式由式（1.12）给出。

⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≥≤≤---+≤=F
g F
E E
F E D C g E
e De T T d T T T T T T T T ST a T T T T S T S )]
5.21)((5.2[025.0)2)(()(2
ηηπ(1.12)
式中，S e 为拟加速度反应谱，见式（1.10）；T B 、T C 、T D 和S 见表1.1；η为阻尼调整系数；T E 和T F 为位移反应谱的控制周期，见表1.3；d g 为峰值地面位移。

峰值地面位移d g 采用下式计算：
D C g g T ST a d 025.0= (1.13)
当结构周期大于4s 时，第Ⅰ类弹性拟加速度反应谱可根据第Ⅰ类弹性位移反应谱并利用表达式22/)(4)(T T S T S De e π=求得。

表1.3 第Ⅰ类位移反应谱的控制周期 场地类别 T E (s) T F (s) A 4.5 10 B 5 10 C 6 10 D 6 10 E
6
10
我国抗震规范所采用的设计反应谱是以地震影响系数曲线的形式给出的。

《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）[]中的地震影响系数曲线由四部分组成（如图1.1所示）：直线上升段（周期小于0.1s 的区段）、水平段（0.1s 至特征周期T g 的区段）、曲线下降段（T g 至5T g 的区段）和直线下降段（5T g 至6s 的区段）。

各区段地震影响系数曲线的计算表达式由式（1.10）给出，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数由式（1.11）给出。

⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪
⎪⎨
⎧≤<--≤<≤<≤-+=0
.65)]
5(2.0[5)(1.01
.0]1.0)
45.0(45.0[max 12max
2max 2max 2T T T T T T T T T
T T T T g g g
g g g
αηηαηαηαηαγ
γ (1.10)
8
05.002.01ξ
η-+
= ξξγ55.005.09.0+-+= ξξη7.106.005.012+-+= (1.11)
在式（1.10）～（1.11）中，α为地震影响系数；αmax 为地震影响系数最大值；η1为直线下降段的下降斜率调整系数，小于0时取0；γ为曲线下降段的衰减指数；η2为阻尼调整系数，当小于0.55时取0.55；T g 为特征周期；T 为结构自振周期。

实际上，地震影响系数α等于绝对加速度反应谱除以重力加速度，即：
g
T S a )
,(ξα=
(1.12) 由此可知，我国抗震规范中提供地震影响系数曲线就是绝对加速度反应谱，这与美国和欧洲规范中提供的拟加速度反应谱是有区别的。

此外，我国抗震设计规范提供了三个地震烈度水准。

规范将50年超越概率为63.2%的地震烈度取为第一水准烈度，称为“多遇地震”，相应的重现期为50年；将50年超越概率为10%的地震烈度取为第二水准烈度，称为“设防地震”，相应的重现期为475年；将50年超越概率为2%～3%的地震烈度取为第三水准烈度，称为“罕遇地震”，相应的重现期为1600～2400年。

式(1.10)中的地震影响系数曲线最大值αmax 是根据地震烈度水准来确定的，体现了地震烈度对反应谱的影响，参见表1.1。

表1.1 水平地震影响系数最大值
地震影响 6度 7度 8度 9度 多遇地震 0.04 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 设防地震 0.12 0.23(0.34) 0.45(0.68) 0.90 罕遇地震
—
0.50(0.72)
0.90(1.20)
1.40
注：括号中数值分别用于设计基本加速度为0.15g 和0.30g 的地区。

式(1.10)中的特征周期T g 是根据场地类别和设计地震分组来确定的，体现了场地类别、震级和震中距等对反应谱的影响，参见表1.2。

表1.2 特征周期(s)
设计地震分组 场地类别 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组 0.25 0.35 0.45 0.65 第二组 0.30 0.40 0.55 0.75 第三组
0.35 0.45 0.65 0.90
我国《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）[]中的地震影响系数曲线的计算表达式与2001规范的相同，但对其参数进行了调整。

调整后的参数由式(1.13)给出。

ξξη32405.002.01+-+
= ξξγ63.005.09.0+-+= ξ
ξ
η6.108.005.012+-+= (1.13)
与2001规范相比，2010规范的地震影响系数曲线具有以下特点： 1 阻尼比为5%的地震影响系数与2001规范相同，维持不变。

2 基本解决了2001规范在长周期段，不同阻尼比地震影响系数曲线交叉、大阻尼曲线值高于小阻尼曲线值的不合理现象。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类场地的地震影响系数曲线在周期接近6s 时，基本交汇在一点上，符合理论和统计规律。

3 降低了小阻尼比（2%～3.5%）的地震影响系数值，最大降低幅度达18%。

略微提高了阻尼比（6%～10%）的地震影响系数值，长周期部分最大增幅约5%。

4 适当降低了大阻尼比（20%～30%）的地震影响系数值，在5T g 周期以内，基本不变，长周期部分最大降幅约10%，有利于消能减震技术的推广应用。

5 场地类别划分中，在2001规范的基础上增加了Ⅰ0类场地（岩石场地）。

6 计算罕遇地震时，特征周期要增加0.05s 。

图1.2和1.3给出了设计地震分组为第二组，阻尼比为5%时，2001规范和2010规范中各类场地的标准化地震影响系数曲线。

将我国建筑抗震设计规范中的反应谱与美国和欧洲规范中的反应谱对比可知：
1 在我国抗震规范中，场地类别只对反应谱的谱形状有影响，对平台段高度无影响；在美国和欧洲规范中，场地类别对反应谱的谱形状和平台段高度均有影响，这符合现有的研究结果[]。

2在位移敏感区，我国抗震规范中的反应谱以直线下降；美国和欧洲规范中的反应谱以衰减指数为2的曲线下降，符合反应谱理论[]。

1.4.6 断裂机制
在地震学中，将发震断层面滑动方向与断层走向之间的角度定义为倾斜角。

倾斜角对地面运动参数有不可忽视的影响。

然而，这个参数并未直接包含于地面运动衰减关系中，取而代之的是采用断裂机制来表征发震断层面滑动方向对地面运动参数的影响。

断裂机制（或断层类型）一般可分为三类：走滑断层、逆断层和正断层。

当断层两盘沿断层面发生滑动，但没有相对升降且滑动方向平行于走向，则称为走滑断层。

走滑断层又分为左滑和右滑两类。

左滑断层滑动方向与断层走向之间的倾斜角为 0 ；右滑断层滑动方向与断层走向之间的倾斜角为 180。

当上盘相对于下盘发生上升的断层称为逆断层。

逆断层滑动方向与断层走向之间的倾斜角为 90。

此外，当逆断层的倾角小于 45时，称其为逆冲断层。

倾角定义为断层面倾斜线与倾斜线在水平面上投影之间的夹角。

上盘相对于下盘发生下滑的断层称为正断层。

正断层滑动方向与断层走向之间的倾斜角为 270。

断层断裂时，各种滑动可能兼而有之，此时可称其为斜断层。

斜断层滑动方向与断层走向之间的倾斜角介于上述倾斜角之间，例如，逆右旋走滑断层滑动方向与断层走向的倾斜角介于 180～90之间（根据惯例，复合命名中，以后者为主）。

不同的断裂机制对地面运动参数的影响是不同的。

一般逆断层对地面运动参数的影响比其余断层的影响要大。

正断层的影响比走滑断层的影响要小。

1.4.7 局部场地条件
局部场地条件描述的是场地下沉积物的类别。

在不同场地条件的场地上记录到的地面加速度时程有显著的区别。

在过去，局部场地条件被分为土和岩石两类并且许多地面运动衰减关系也采用了这种简单的分类来考虑局部场地条件对地面运动参数的影响。

然而，已有研究[]表明：为了更合理地预测地面运动参数，应采用更精细的方法来划分场地类别。

目前，在实际工程中，普遍使用的场地分类方法是基于剪切波速的划分方法。

该方法以波的传播理论为基础。

根据波的传播理论，场地的地面运动振幅取决于近地面介质的密度和剪切波速[]。

由于近地面介质的密度随深度变化相对较小，所以剪切波速就表征了场地条件。

通常，有两种基于剪切波速的场地类别划分方法。

第一种方法是根据地表厚度30m 内平均剪切波速来划分场地类别。

本文将地表厚度30m 内平均剪切波速称为30m 速度，并用V s,30表示。

30m 速度可采用下式计算：
(a)走滑断层
(b)正断层
(c)逆断层
∑∑===
n
i
si i n i i s V d d V 1
1
30,)/(/ （1.10）
其中，d i 和V si 分别为第i 土层的厚度和剪切波速；所取土层的计算深度为地表30m ，即∑d i =30。

第二种方法是根据四分之一波长（波长取为指定频率分量的地震波长）范围内土层的平均剪切波速来划分场地类别[]。

该平均剪切波速称为有效波速。

有效波速也可采用(1.10)式计算，但所取土层的计算深度为四分之一波长。

该深度采用下式计算：
4/且
)(1
1
4/1T d d f D n
i
i n
i
i ==
∑∑== （1.11）
其中，f 为指定的频率，T 为指定的周期且T=1/4。

由于基于有效波速的场地划分方法所取土层土层的计算深度较大，超过了钻孔能经济抵达的深度，而基于30m 速度的场地划分方法克服了这种困难，因而基于30m 速度的划分方法得广泛的应用。

美国NEHRP 规范采用了基于30m 速度的场地划分方法，以V s,30作为划分场地类别的指标，将场地分为A 、B 、C 、D 、E 和F 等6类。

表1.1给出了该规范中场地划分的情况[]。

表？ NEHRP 规范中的场地类别
场地类别 A B C D E F V s,30 (m/s)
>1500
760～1500
360～760
180～360
<180
注：F 类场地代表需要专门研究的场地土，如：液化土、敏感的黏土和有机土等。

此外，我国建筑抗震设计规范GB50011-2010[]是根据等效剪切波速和场地覆盖层厚度来划分场地类别的。

等效剪切波速采用式（1.10）计算，但所取土层的计算深度为覆盖层厚度和20m 两者的较小值。

覆盖层厚度采用下述原则来确定： 1 一般情况下，应按地面至剪切波速大于500m/s 且其下卧各层岩土的剪切波速均不小于500m/s 的土层顶面的距离确定。

2 当地面5m 以下存在剪切波速大于其上部各土层剪切波速2.5倍的土层，且该层及其下卧各层岩土的剪切波速均不小于400m/s 时，可按地面至该土层顶面的距离确定。

3 剪切波速大于500m/s 的孤石、透镜体，应视同周围的土体。

4 土层中的火山岩硬夹层，应视为刚体，其厚度应从覆盖土层中口出。

表1.2给出了我国规范[]中场地划分的情况。

表1.2 各类建筑场地的覆盖层厚度（m ） 岩石或土的
场地类别
剪切波速(m/s)Ⅰ0Ⅰ1ⅡⅢⅣ
v s>8000
500<v s≤8000
250<v se≤500<5≥5
150<v se≤250<33～50>50
v se≤150<33～1515～80>80
注：表中v s系岩石的剪切波速
1.4.8构造环境
构造环境指的是地壳的地震性质及其应力状态。

构造环境对强地面运动的振幅和衰减有显著的影响。

为了合理地估计地震地面运动，通常将构造环境分为四种基本类型：构造活动区的浅源地震、构造稳定区的浅源地震、俯冲带向下地壳板块内的中源地震和沿俯冲带板块交界面的地震。