1.2线性规划图解法(经典运筹学)

分析：设C=成本 =四个月正常生产的成本 +四个月加班生产的成本 +四个月库存成本
y 设第i个月正常生产 xi台柴油机 , 加班生产 i台柴油机
第i个月初库存 zi台柴油机 i 1,2,3,4
则C 5000 xi 6500 y i 200 zi (5000xi 6500yi 200z i )
2.9m 2.1m
方案1
1 0
方案2
2 0
方案3
0 2
方案4
1 2
方案5
0 1
(根) 长度
1.5m
合计 下角料
3
1Hale Waihona Puke Baidu
2
7.2m 0.2m
0
7.1m 0.3m
3
6.6 0.8m
7.4m
0m
7.3m
0.1m
下料方案：下料数
2.9m
2.1m 1.5m
合计
方案1 1
0 3
方案2 2
0 1
方案3 0
2 2 7.2m 0.2m
x3 x4 x5 x6 x7 24 x x x x x 25 4 5 6 7 1 s.t x1 x2 x5 x6 x7 19 x1 x2 x3 x6 x7 31 x1 x2 x3 x4 x7 28 x 0, i 1,2,,7 i
数学模型: 求 min Z x1 x2 x7 x1 x2 x3 x4 x5 28 x2 x3 x4 x5 x6 15
解得:
x1 12, x 2 0, x3 11, x 4 5, x5 0, x6 8, x7 0. Z 0 36
第3个月 x3 y3 z3 z 4 3500 第2个月 x2 y2 z 2 z3 4500 第1个月 x1 y1 z 2 3000 生产能力约束：
xi 3000 i 1,2,3,4 yi 1500 i 1,2,3,4 库存约束：z1 0
x1 , x2 , xn 0
四、线性规划应用举例
例3 福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的 需求经过统计分析如下所示：
时间 星期日 星期一 星期二 所需售货员 人数 28人 15人 24人
星期三
星期四 星期五 星期六
25人
19人 31人 28人
为保证售货人员充分休息， 售货人员每周工作五天，休 息两天，并要求休息的两天 是连续的，问应该如何安排 售货人员的作息，既满足了 工作的需要，又使配备的售 货人员的人数最少？
设x4 表示生产出的产品数
目标函数 Z=x4
5 x1 9 x 2 4 x3 , 3

线性
要求： 7 x1 6x2 8x3 4x4 ,5x1 9x2 4 x3 3x4
数学模型： max z x4
8x 5x 3x 100 6x 9x 8x 200 7 x 6x 8x 4x 0 s.t 5x1 9x2 4x3 3x4 0 x 0，x 0，x 0, x 0.
2、线性规划模型的一般形式：
max （或min z c1 x1 c2 x2 cn xn ）
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (或 ，或 ）b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (或 ，或 ）b2 s.t a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n (或 ，或 ）bm x1 , x2 , xn 0
1 2 3 1 2 3
1
2
3
4
1
2
3
4
线性规划问题
例6 （多周期动态生产计划问题）华津机器制造厂专 为拖拉机厂配套生产柴油机，今年头四个月收到的定 单数量分别为3000台、4500台、3500台、5000台。该 厂正常生产每月可生产3000台，利用加班还可生产 1500台，正常生产成本为每台5000元，加工生产还要 追加1500元，库存成本为每台每月200元。问华津厂 如何组织生产才能使生产成本最低？
7.3m
0.1m
7.2m
0.2m
7.1m
0.3m
6.6
0.8m
xi为按i第种方案下料的原料根 数（i 1,2,3,4,5) Z 总用料数
最优解：x1 30, x2 10, x3 0, x4 50, x5 0.最优值Z 0 90
最优下料方案： 按方案1下料30根， 方案2下料10根， 方案4下料50根， 共需原料90根。
上堂课主要内容： 一、线性规划模型引例 二、线性规划模型的建立
1、建模的一般步骤：
步骤一：确定决策变量
即用变量取不同的值来表示可供选择的各种不同方案 步骤二：建立目标函数 即找到目标值与决策变量的数量关系
步骤三：确定约束条件
即决策变量所受到的外界条件的制约。
约束条件一般为决策变量的等式或不等式
要求：目标函数与约束条件均是线性的， 且目标函数只能是一个。
min C (5000xi 6500yi 200z i )
4
x4 y4 z 4 5000 x3 y3 z3 z 4 3500 x y z z 4500 2 2 3 2 s.t x1 y1 z 2 3000 xi 3000 i 1,2,3,4 yi 1500 i 1,2,3,4 z1 0 xi , yi , zi 0 i, 1,2,3,4
例3 福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的 需求经过统计分析如下所示：
时间 星期日 所需售货员 人数 28人
星期一
星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
15人
24人 25人 19人 31人 28人
为保证售货人员充分休息， 售货人员每周工作五天，休 息两天，并要求休息的两天 是连续的，问应该如何安排 售货人员的作息，既满足了 工作的需要，又使配备的售 货人员的人数最少？
µ ä ³ ¼ Ú 1Ö Ô ² Á µ Ö ­ Ä Ï × ¼ Ò ± ø 8 5 3 Ú 2Ö Ô ² Á µ Ö ­ Ä Ï 6 9 8 AÁ ¼ ã ú 7 6 8 BÁ ¼ ã ú 5 9 4
问这三个车间各应开多少班才能使这种产品的配套数达到最大
解：设 x1，x2，x3分别是甲、乙、丙三个 车间所开的生产班数
星期四 19人 x x3 x4 x5 x631人 7 24 星期五 x x x x 28人 25 1 5 6 x7 星期六 4 s.t x1 x2 x5 x6 x7 19 x1 x2 : 非负约束 x3 x6 x7 31 x1 x2 x3 x4 x7 28 xi 0,,ii 1,2,,7 xi 0 1,2,,7
例4 某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m, 和1.5m的圆钢各一根,已知原料每根长7.4m, 问应如何下料,可使所用原料最省. 下料方案：下料数
2.9m
方案1 1 方案2 2 方案3 0 方案4 1 方案5 0 (根) 长度
2.1m
1.5m
合计
下角料
0
3
0
1
2
2
2
0
1
3
7.4m
0m
方案4 1
2 0 7.1m 0.3m
方案5 0
1 3 6.6 0.8m
(根) 长度
7.4m
0m
7.3m
0.1m
下角料
解：设xi为按i第种方案下料的原料根 数（i 1,2,3,4,5) Z表示总用料数 数学模型： min Z x1 x2 x3 x4 x5 求 x1 2 x2 x4 100 2 x3 2x4 x5 100 s.t 3x1 x2 2x3 3x5 100 x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0.
解 设x1为周一开始休息的人数 x2为周二开始休息的人数 ， ，
x6为周六开始休息的人数 x7为周日开始休息的人数 ， ，
Z表示商场的售货员人数 x1 x2 x7
求 min Z x1 x2 x7
, 约束条件 : xi为星期i日开始休息的人数i 1,2,,7 星期日 售货员人数要求: 时间 所需售货员人数 x1 x2 x3 x4 x5 28 数学模型: 星期日 28人 求 min Z x1 x2 x7 星期一 售货员人数要求: 星期一 15人 x2 x3 x4 x5 x6 15 x 星期二 x1 x2 x3 x4 24人5 28 星期三 星期二 售货员人数要求: x2 x3 x4 x5 25人 6 15 x x3 x4 x5 x6 x7 24
z 产品的配套数 约束条件为： 8x1 5x2 3x3 100 ,6x1 9x2 8x3 200 x1 0，x2 0，x3 0
x1，x2，x3分别是甲、乙、丙三个 车间所开的生产班数
z 产品的配套数
¿ à ÷ Ï ù ¨¿ © à °½ Á Ê £ Ë £ µ ä ³ ¼ µ 1Ö Ô ² Á Ú Ö ­ Ä Ï ¼ × Ò ø ± 8 5 3 µ 2Ö Ô ² Á Ú Ö ­ Ä Ï 6 9 8
4 4 i 1 i 1 4 4 i 1 i 1
约束条件：
设第i个月正常生产 xi台柴油机, 加班生产yi台柴油机 第i个月初库存 zi台柴油机 其中z1 0 i 1,2,3,4 四个月定单数量分别为3000台、4500台、3500台、5000台 每月可生产3000台，利用加班还可生产1500台 需求约束： 数学模型： 第4个月 x4 y4 z 4 5000
解 设x1为周一开始休息的人数 x2为周二开始休息的人数 ， ，
x6为周六开始休息的人数 x7为周日开始休息的人数 ， ， Z表示商场的售货员人数
解得：x1 12, x 2 0, x3 11, x 4 5, x5 0, x6 8, x7 0. Z 0 36
例4 某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m, 和1.5m的圆钢各一根,已知原料每根长7.4m, 问应如何下料,可使所用原料最省. 分析: 每根原料做一套钢架, 下角料： 0.9m 用套裁方式 下料方案：下料数
目标函数
约束方程
其中 aij , bi , c j (i 1,2, , m; j 1,2, , n) 为已知常数
非负约束
决策变量
三、线性规划求解：
max （或min z c1 x1 c2 x2 cn xn ）
计算机应 用软件
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (或 ，或 ）b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (或 ，或 ）b2 s.t a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n (或 ，或 ）bm
¿ à ú ¿ ¨· ù © Ã °² Á £ ö Ê £ AÁ ¼ ã ú 7 6 8 BÁ ¼ ã ú 5 9 4
目标函数：
三个车间共生产A零件：
7 x1 6 x2 8x3
三个车间共生产B零件
5x1 9 x2 4 x3 则z min 7 x1 6 x 2
4
非线性
8 x3
例5 (产品配套问题）假定一个工厂的甲、乙、丙三个车间生产 同一个产品，每件产品包括4个A零件，和3个B零件。这两种 零件由两种不同的原材料制成，而这两种原材料的现有数额 分别为100克和200克。每个生产班的原材料需要量和零件产 量如下表所示。 ¿ à ÷ Ï ù ¨Ë © à °½ Á Ê £ ¿ £ ¿ à ú ¿ ¨ö ù © à °² Á £ · Ê £
星期三 售货员人数要求:
x1 x4 x5 x6 x7 25
星期四 售货员人数要求:
x1 x2 x5 x6 x7 19
星期五 售货员人数要求:
x1 x2 x3 x6 x7 31
星期六 售货员人数要求:
x1 x2 x3 x4 x7 28