二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解

2011年 6月

第 25卷第 2期总 84期北京联合大学学报 (自然科学版

Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011

Vol．25No．2Sum No．84

[收稿日期 ]2010－09－20

[作者简介 ]王海菊 (1966— , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学。

二阶常系数线性非齐次微分方程

特解简易求法

王海菊

(北京联合大学基础部 , 北京

100101

[摘要 ]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大。本文

在不脱离教材特解的求法 ,

利用推导特解过程中出现的重要式子 Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2

+p λ+q Q (x =P m (x , 简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换 , 化简右端非齐次项。 [关键词 ]微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 [中图分类号 ]O 241. 8

[文献标志码 ]A

[文章编号 ]1005-

0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients

WANG Hai-ju

(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing

100101, China

Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．

Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars

0引言

一般教材中 , 二阶常系数线性的非齐次方程 yᵡ

+py' +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 [1]

, 计算量很大 , 也很繁琐 ; 有的文献给出特解公式

[2-3]

,

又很难记住公式。采取以下方法减少运算量 , 又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项 f (x 主要有两种类型 :

f (x =P m (x e λx 及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]

1

f (x =P m (x e λx

型

解法是设特解 y

*

=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,

其中 Q (x =x k

Q m (x 是 k +m 次多项式 , 将特解

y *代入方程 (1 , 化简并整理得 :

Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x 。 (2

结论

1 λ不是特征方程的根时 , 取 k =0,

2λ+p 及λ2

+p λ+q 都不为零 ;

2 λ是特征方程的单根时 , 取k =1, λ2

+p λ+

q =0, 此时式 (2 就简化为 Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;

3 λ是特征方程的重根时 , 取k =2, λ2+p λ+

q =0, 且2λ+p =0, 此时式 (2 就简化为 Qᵡ (x =P m (x 。北京联合大学学报 (自然科学版 2011年 6月

可见利用式 (2 , 只需求 Q' (x 及 Qᵡ (x 即

可 , 不需求 y *的一阶 , 二阶导数 , 可以大大简化此类题的计算量。以教材 [1]中例题或习题为例。求

yᵡ－2y' +y =(2x +1 e －x 的特解。

解 :由于λ=－1, 不是特征方程的单根 , 取 k

=0。

设特解 y *=(ax +b e －x , 则 Q (x =ax +b ,

将 Q (x 代入式 (2 有 :

(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,

即 :

4ax －4a +4b =2x +1。

由待定系数法得 :

a = 1

2

, b =

3

4

, Q (x =

1

2

x + 3 4。

因此求得一个特解为 y *=

1

2

x +

(3 4 e －x ,

求 yᵡ－5y' +6y =x e 2x 的特解。

解 :由于λ=2, 是特征方程的单根 , 取 k =1, Q (x 的系数为零。

设特解 y *=x (ax +b e 2x , 则 Q (x =ax 2+ bx , 将 Q (x 代入式 (2 有 : 2a +(4－5 (2ax +b =x ,

即 :

－2ax +2a －b =x 。

由待定系数法得 :

a =－ 1

2

, b =－1, Q (x =－