巧借轴对称求最短距离

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(完整版)利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题基本题引入：如图（1）,要在公路道a 上修建一个加油站，有A,B 两人要去加油站加BN A No因为直线a 是A A ’的对称轴，点 M,N 在a 上，所以 AM= A M,AN= A ’ N 。

••• AM+BM= A M+BM= A B在^ A BN 中,•/ A B< A N+BN ••• AM+B < AN+BN即 AM +B M!小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。

思路如下：②••• BC = 9 （定值），•••△ PBC 的周长最小，就是 PB+ PC 最小.由题意可知，点 C 关于直线DE 的对称点是点 A ,显然当P 、A B 三点共线时PB+PA 最小.此时 DP = DE PB+PA = AB.由/ ADM / FAE / DFA=/ ACB= 90°,得^ DAF^A ABC. EF// BC115 9 得 AE= BE= — AB=丄,EF= - . •• AF： BO AD ： AB,I 卩 6 : 9 = AD ： 15. •• AD= 10. Rt △ADF2229 25中，AD= 10, AF = 6,.・.DF = 8. •• DE = DF + FE = 8+ —=——.•••当使AM 与BM 的和最小。

设 A M 与BM 的和最小。

在连接A B 的线中，线段AB 最短。

因此，线段 A B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。

如图3,为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点 N,连接AN25X = —— 时，△ PBC 的周长遵循学生认知规律，合理油。

加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短?A '是A 的对称点，本问题也就是要使 M2 2最小，y值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程,组织教学内容，建立科学的训练系统。

巧用“对称关系”,妙求“最短路径”

2018年3月巧用“对称关系'妙求“最短路径⑩江苏徐州市第十三中学杨亚秋在初中阶段，我们经常会碰到求线段之和最短、多边形的周长最小等类型的问题，面对这些问题，许多学 &往往朿手无策，h 头雾水，究其原因，多半是平时不養于对所学知识、所做题型进行小结与反思，一&学生平时缺少整理与反思，碰到问题时，自然会无据可依，无从下手，今天，我就和大家一起来谈谈最短路径问题中的一类简单问题的处理策略，以獪读者.【问题背景】我们知道，当点4在直线丨的异侧时，要在直线U ：找点P ，使得P A +P S 值最小，只需连接与直线Z 的交点P 即为所求.那么，若点在直线Z 的同侧，要在直线/上找点P ,使得M +P 6值最小，我们又该如何处理呢？对于这种类型，可以找出4点关于直线啲对称点f ，连接与直线I 交于点P ，由对称性可知，M，此时^、6在_ w 意线上>,，汛+邢有最小值.许多考题中都隐含了这种处理的策略，先来看一道函数题，如下：【问题1】如團1,已知点P 是抛物幾户-#+2*+3的对称轴Ji 的一个动点，拋物线与无轴交于瓜S 两点f '与交于(：点，灣PA +P C 的值最.小时，求P 点的坐标，【思路分析】由于4、B 两点关于对称轴对称，所以可以利用二次函数的对称性，将线段烈转化成线段P 6，这样当点C 、i \雄^条意线上时，M +P C f 最小值.【简析】根据抛物线的表达式尸-^+2料3，易求得点 4(-l ，〇)、B (3,0:)、a 〇,3),厲为4、fi 两点关于对称轴对称，所以fi 4 =P fi ,如圈2, 故(E l +PC :U = (i ®+PC :W 不难发规,肩C 、P 、5在一条直,线上时，，此时重线SC 的解析式为产-*+3，与拋物线的对称轴直线的交處为K 1，2).【点评】这是二次函数中典型的最短路径问题，解题时关键是要借助二次函数本身固有的对称性，将对称轴同侧的两定点转化到对称轴的并侧，这样问题就变得清晰、明朗了.再来看“道几何题：【问题2】如图3;,虞方形4B C D 的边长为3，点五在边爲M =1羞處难对角线B D 上移动，则iM +P 瓦的最小值是_______•【思路分析M 、五两点分布在直线D S 的同侧.由于疋方形关于其对角线成轴对称，所以可以借助4、C 两点关于对角线对称，将线段以转化成线段P C 来解决.当点 C J 、®®同一重_上时，E 4 +PS 有最小值，图3 图4【简析】连接(：£交洲于点尸，连接烈，如图4.由正方形的对称性，可知网=H ：，则+视)>*=(p c +p e X ^e c ^V T o .【点评】遇到正方形这类本身就具有对称性.的特殊图形，要仔细分析题说条件，挖掘图形中隐含的对称关系，发现其中蕴含的基本图形结构，从而輕利解题，最層我似一起来看一道中考题：【考题再现】如图5,矩形中,4B =10，B C =5,点五、f 、G 、丑分别在矩形4S C D 各边上，里厕四边形£扣丑周长的最小值为_____.【思路分析】由4£=C G，易怔得四边形ETGff为平行四边形.要求平行四边形财1Gfl ：周长的最小值，具要求得其周长的1的最小值即可，即现的最小值.点G 分布在直线B C 的同一侧,求最小值何题，这就又回到了两点在宣线的同侧，求线段之和最小值的基本问题上了.【简析】如图6，作五点关于BC ：的对称点私，连接C &,86 十•？农，？初中2018年3月解法探究巧用错题资源提升学习能力_浙江省宁波市奉化区剡溪中学郑锋王祥表所谓错题就是指习题本身在文字语官或者图形语會表述上出现了条件欠缺、互相矛盾或结论不可求证的题目.教师们在教学中经常会遇到一些错题，有的错题题旨本身就出现了表达性错误，解答者得不到答案;有些错题没有明显的離，只郁麟中才会出现相互矛盾的结果t我们在教学中发现了错题,通过师生合作、生生合作的方式更正错题，进而对于更正后的错题一题多解，或者变式练习，这种方式有效地激发了学生对数学学习的热情，培养了学习数学的兴趣.数学学习的兴趣'一旦激发，课堂效率也随之提高，学生学习能力也得以提升.在農国数学教育家r〇m.Sere»写'的《数学教育研究一竺角形5—书中，他提出了把数学教育研究的对象视作三角形的合个顶点，即数学教育是有S个研究方面:课程、教学、学习.而S角形的中心称为“兴趣中心”，指学习者学习数学的兴趣(如图1).由此可见，错题资源的有效利用，有利于培养学生数学学习的兴趣，也能有效地提高课堂效率，最终转化成学生学习能力的提升.以下是由学生在练习中所发现的一个错题，笔者以此为例谈谈错题资源对学生学习能力提升方面所起到的作用，一、试题呈现如图2,在正方形中，折线4£=3，£^=2，风：=4,乙砂=zL£TC=6(F，贝！]正方形45C D的边长为______.本题条件中出现了正方形.及/L M E= :I A E F= A E FC=6(T%由此学生会朝着正方形的性质、等边兰角形、30°特殊直角兰角形方向思考，以此添加辅助线.在课堂中，同学们很快解答出7答案，几乎每个同学都有自已的想法，加上参考答案，大致有以下四种解法.二、解法展示解法1:如图3,分别延长和交S C于点G和丑.因为在掘.方形A S C Z)中,服Z[FC=60〜所以又西为厶Z M S=60。

巧用轴对称解决最短路线问题

巧用轴对称解决最短路线问题
作者：于胜军
来源：《中学生数理化·教与学》2018年第01期
第一，几何模型见鲁教版初中数学七年级上册第二章第48页.
原题：如图1，直线l是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮水，然后再到B地军营视察.那么，他走什么样的路线行程最短呢？
解析：作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.
第二，模型应用.
1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题
变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.
解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在
Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值为10.
2.轴对称的知识解决圆中的最短路线问题
分析：作点D关于直径AB的对称点D′求解.
3.轴对称的知识解决函数中的最短路线问题
（1）求该函数的解析式.
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2）已知在对称轴上存在一点P，使△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
（2）连接AC，BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B 点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.
由待定系数法可知直线AC的表达式为y=-23x-2.。

用轴对称求最短距离

用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。

把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段。

现举例说明，供同学们参考。

一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1. 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD，，且A处到河岸CD中点的距离为500m。

（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：这个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A，B，在直线CD 上求一点M，使最小。

”（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点，再连接交CD于点M，则点M为所求的点。

证明如下：在CD上任取一点，连接、、、AM。

点A、关于直线CD对称，点M、在CD上，。

最小。

（2）由（1）知，，。

故M为CD中点，且最短路程为。

二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。

例2. 如图3，牧童家在A处。

现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。

问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？解析：设点B、点C分别是马饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA 的最小值。

我们通常需要把它和固定线段相比较。

可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。

如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A”，点A关于直线b的对称点A””。

连接A”A””。

A”A””交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A”B+BC+CA””＝A”A””。

而对其他地点B”、C”，也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A””，即为A”、A””两点间的折线段的长。

利用轴对称求两点一线型最短距离

利用轴对称求“两点一线”型最短距离几何模型：模型：“两点一线”模型条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．+的值最小．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，+=的值最小．则PA PB A B'模型应用：一. 两点一线间的对称二.三角形中的对称1.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是__2.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．三.四边形中的对称1.如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？2.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则+的最小值是___________；PB PE△是等边三角形，点E在正方形3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE+的和最小，则这个最小值为（）ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PEA．B．C．3 D四.圆中的对称1.如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。

2.如图，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；五.立体图形中的对称如图是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．课堂练习： 1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是．2.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE=2 （AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB 的最小值是．3.如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，5.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．6.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．7.在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为（计算结果不取近似值）．8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．9.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB长为．解答题：１.如图，45AOB∠=°，P是AOB∠内一点，10PO=，Q R、分别是OA OB、上的动点，求PQR△周长的最小值．2.一次函数y kx b=+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．ABPRQ图3中考题综合演练：1.（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP 的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD^的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；3 时，求正方形的边长.⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1。

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。

利用轴对称求最短距离精修订

分析：由题意知：首先找点B或者点M关于AC所在直线的对称点。由菱形的轴对称性不难发现：点D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度
分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。由正方形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。
（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：
如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？
（3）、以圆为媒介的最短距离问题：
如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，
∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值
（4）、以二次函数为媒介的最短距离：
如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P点坐标。
三、巩固加深：
（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：
如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°,∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少
分析：由AD是∠BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N′一定在线段AC上，则直线AD是线段NN′的垂直平分线，则MN=MN′,则求BM+MN的最小值就是求BM+MN′的最小值。易知点B、M、N′三点共线时BM+MN′最小，根据“点到直线上点的距离中垂线段最短”得：过点B作AC的垂线，垂足为N′′，则BN′′的长度就是BM+MN′的最小值，也就是BM+MN的最小值。由△ABN′′为等腰直角三角形，AB=4立得。

运用“轴对称”解决最短路径问题

ＣＨＵＺＨｏＮＧＳＨＥＮＧＳＨｌＪｌＥ
运用“ 轴对称’ ’ 解决最短路径问题
刘军
在学习 “ 轴对称图形 ” 时，我们经常会枞Ｑ＋ＱＢ与ＡＰ＋ＰＢ的大小，并说明理由．遇到与最短路径有关的问题，同学们往往
Ｃｌ
ｈ
、
【变式训练】已知
点Ｐ、Ｑ是ＡＡＢＣ的边
ＡＢ、ＡＣ上的点，你能在
ＢＣ上确定一点Ｒ。使
△ＰＱ的周长最短吗？
图４
【点拨】ＡＰＱＲ的周长等于ＰＱ＋ＰＲ＋ＱＲ，
因为Ｐｐ的长度不变，所以只要线ｆ￣ｔ．ＰＲ＋ＱＲ的和最小，就能使 △ Ｒ的周长最短．
＝、已知一点在两条相交直线的内部例２如图５，ＯＡ、ＯＢ是两条相交的公
（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）
６０
Ｔｎｔｅ … ｇｅｎｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
１ ■ 慧数掌
点Ｐｌ、Ｐ２，Ｐ１Ｐ２分别交ＯＡ、ＯＢ于点Ｅ、Ｆ，由轴
Hale Waihona Puke 路一恫市交汇于点Ｏ，在
ＤＢ的内部Ｃ、Ｄ
图５
平分线以及ＣＤ的垂直平分线，交点即是Ｐ点的位置．
Ｂ
图６
，
处各有一个工厂．现要修建一个货站Ｐ，使货站Ｐ到两条

利用图形的对称性(轴对称)求最短路径问题

利用图形的对称性（轴对称）求最短路径问题一、已知两点求一点例1设A，B两点在直线L的异侧，图-1，在L上找一点M使AM+BM最小。

说明理由。

BLMA图-1例2设A，B两点在直线L的同侧，图-2，在L上找一点M使AM+BM最小。

方法：寻找对称点，运用定理，两点之间直线最短。

ABLMA’图--2二、已知两点求两点例3 设A，B两点位于两相交直线L1、L2所形成的某一夹角内。

图-3，求作M,N使得M,N分别在两相交直线L1、L2上且满足AN+MN+BM最小。

L1B’. AM . BL2NA’图--3例4 设P，Q两点位于锐角 ABC的BC边上，有两动点M,N分别位于另外两边上，图-4，求作M,N使四边形PQNM的周长最短。

P’ BM PQCA N图--4Q’三、已知一点求两点例5 点P位于三角形的某一边上，动点M,N分别位于另外两边上。

图-5，试作M,N使得❒PMN周长最短。

P’ BPMA N CP’’图—5例6 点P位于两相交直线L1，L2所形成的夹角内，动点M,N分别位于两直线上。

图-6，试作M,N使得❒PMN周长最短。

L2PML1N图-6我们将这些情况放在直角坐标系下考虑。

第一种情况：设A,B两点都在第一象限，直线L与X轴重合，M点在X轴上，且使AM+BM最小。

求（1）M点的坐标。

（2）AM+BM的长度。

第二种情况设A,B两点，B点在第Ⅰ象限，M,N分别在Y轴，X轴上，A点分别在第Ⅰ象限，第Ⅱ象限，第Ⅲ象限，第Ⅳ象限时，试求（1）M,N的坐标，使得AM+MN+BN最小，并求出最小值。

（2）两动点M,N到达何处时，四边形AMNB周长最短。

Y训练题1.已知，AB是圆O的直径，P、Q是圆O上的两点，且直线PQ//AB,M是直径AB是上动点，试问：∆PQM周长最短时，M点处于何处？并证明。

A B【思路】由于三角形∆PQM的一边PQ是定长，因此要使它的周长最短就是要求动点M到点P、Q的距离之和最短。

利用图形的对称性，作Q关于直线AB的对称点Q’，连接PQ’，它与AB相交于M即为所求。

(完整版)利用轴对称求最短距离

利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

分析：根据“两点之间线段最短”，可知：连接AB，与直线的交点即为P点.此基本类型为：一线（直线）两定点（点A、B）。

分析：作点A关于直线的对称点A′，连接AA′，则直线就是线段AA′的垂直平分线，根据“垂直2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使平分线上一点到线段两PA+PB最小。

端点的距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A′的距离。

事实上，这个问题就可以转化成：在直线异侧各有点A′、B,在直线上找一点p，使PA′+PB最小。

即：一线两定点的问题。

由（1）得，连接BA′，与直线的交点即为点P。

分析：由题意知：首先找二、典型例题：点B或者点M关于AC所（1）、以菱形为媒介的最短距离问题：在直线的对称点。

由菱形如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，的轴对称性不难发现：点P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是多少？D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。

那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度分析：由题意知：首先找（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：点D或者点E关于AC所如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E在直线的对称点。

由正方在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，形的轴对称性不难发现：则这个最小值为多少？点B即是点D关于直线AC的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。

那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。

分析：由题意知：首先找（3）、以圆为媒介的最短距离问题：点A或者点C关于OB所如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，在直线的对称点。

由圆的∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值轴对称性不难发现：延长AO交圆于点A′，则点A′即是点A关于直线OB的对称点，则连接CA′与线段OB的交点即为P点。

巧用轴对称求最短路径

六、教师要培养学生的“问题”意识，这是创新学习的关键
首先要培养学生敢问“问题”的勇气和精神,激发学生问“问题”的欲望。教师对学生“问题”要认真对待,不能嘲笑。谁都知道“, 苹果为什么会落到地上”,这个看似肤浅甚至可笑的问题成就了一位科学家。因此,教师要杜绝从语言上和行动上挫伤学生提问的积极性。一个好教师常常是以“问题”为突破口,捕捉学生创新的“火花”，推动学生不断发现和提出新问题,最终达到创新的目的。
总之,人的个性的张扬,创造性的普遍化,是时代的要求,是发展的必然趋势。教师要适应这一潮流, 确立正确的创新教育理念, 在语文课堂教学改革的实践中不断探索、完善,使我们的教育早日进入一种新境界, 培养出越来越多的富有创造精神的有用人才。
（作者单位：江西省崇仁县第一中学）
巧用轴对称求最短路径
个图形关于直线 L 成轴对称。性质：轴对称是图之间，线段最短”可知：
形的一种变换，不改变图形的形状和大小。利用轴
当点 C 与原点 O 重合时，
对称不仅可以给我们画出优美的图形, 同时它在由上例知，AC＋BC 的值最小。
我们解决一系列问题时起着非常重要的作用。一、建立模型，解决问题例:p93 页（古代问题）古希腊亚历山大城有一
□ 袁龙槟
人教版八年级数学在第十三章介绍了轴对称点 A ' 为（2，2），连接 A 'B，根据 A （' 2，－2）， B
的定义和性质。定义：将某个图形(a)沿直线 L 折（－4，4）的坐标，可知，直线
叠,如果它能与另一个图形(b)重合,那么就说这两 AB 与 x 轴交于原点，由“两点
五、要优化教学过程，实施点拨教学
“教师是主导,学生是主体”,创新学习离不开及时的启发、引导,而启发引导的关键是实施点拨。所谓点拨,就是针对教材重点、难点和学生的实际需要,对学生学习过程中存在的知识思维和心理障碍,运用画龙点睛和排除障碍的方法, 启发学生开动脑筋自己去思考研究,寻找解决问题的途径和方法, 以达到掌握知识, 培养创新能力的目的。教学过程中,教师要做到“五不”:凡是学生能看懂的,不教;凡是自己能学会的,不教;凡是学生能自己探究出结论的,不教;凡是学生自己能说的,教师不说;凡是学生能自己做的,教师不做,确保学生的独立发展, 主动发展。在教学过程中.教师不能一切包办, 否则会遏止学生创新人格的形成和发展。

轴对称解决实际问题(最短路程)(超经典、超全)

轴对称解决实际问题（最短路程问题）（1）利用轴对称解决几何极值问题仅仅是轴对称应用的一个方面，比较典型的是平面镜成像、光的反射等问题也经常用到轴对称。

（2）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。

（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。

问题1（分析1）如何用数学的方法解决这个问题？把这条河抽象为一条直线，而把将军的出发地（山脚）和宿营地分别看作直线同侧的两个点，建立几何模型，（如图①）把实际问题转换成“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。

（分析2）连结AB ，作AB 的垂直平分线交直线a 于P 点，根据线段的垂直平分线的性质定理有PA ＝PB ，此时PA ＋PB 是否最短？（如图②） (用几何画板的度量及计算功能否定这种作法)(分析3)作A 点关于直线a 的对称点A ′连结P A ′,由轴对称的性质知PA ＝PA ′,那么PA ＋PB ＝PA ′＋PB ，P 点在何处PA ′＋PB 最短？（如图③）由一名学生上讲台拖动P 点，显然当B 、P 、A ′三点共线时PA ′＋PB 最短。

探索得出作法：（如图④）（1）作A 点关于直线a 的对称点A ′. （2）连结BA ′，交直线a 于P 点. P 点即为所求。

如何证明？ (分析4)在直线a 上另取一点P ′，连结PA 、A P ′、B P ′、 P ′A ′，（如图⑤）要证PA ＋PB 最小，由任意性，只要证：PA ＋PB ＜A P ′＋B P ′，由对称性可知：PA ＝PA ′, P ′A ＝P ′A ′只要证：PA ′＋PB ＜P ′A ′＋B P ′只要证： A ′B ＜P ′A ′＋B P ′而△BA ′P ′中，有三角形两边之和大于第三边，问题得证。

a · · B A 图① a · · B A 图② P a · · B A 图③ A ′ · · P a · · B A 图④ A ′ · P a · ·B A 图⑤A ′ · P P ′问题2、如图，已知牧马营地在P 处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。

利用轴对称解决最短距离问题定

A
O
P
M
X
H
B′
模型应用 E为边长是2的正方形ABCD的边BC的中点，在对角线AC上找一点M，BM+EM的 5 。最小值是______
B
D C

E
C
M
E
A
A
B
D
拓展问题: 环保局接紧急通知,上游某化工厂有废水流入河道,工作人员需迅速从位于B处的办公室去两段河道取水样,然后回来化验污染情况。请你帮他设计一条最短路线.
潍坊北海国际中学
陈明芳
民生直通车：寒流来袭,气温骤降，由于A、B
两小区供暖温度达不到,紧急决定在供暖主管道L 上新修建一个换热站P，分别向A、B两个小区供暖，换热站P修在管道的什么地方可以最大限度地节省原材料和时间？
B A
L
首先将其转化为一个数学问题
已知：如图,A、B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.
E
D’
模型应用如图菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°， E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．
D P A E B C
勇攀高峰已知点D是线段AB上一动点，且 BE⊥AB,AF⊥AB,BE=1，AF=5，AB=8设 BD=X.（1）用含X的式子表示DE+DF的长 (2) DE+DF的最小值是多少？（3）你能利 2 2 x 4 ( 12 x ) 9 的最小值吗用上述规律求
B
A
你能说明为什么此时 PA+PB最小吗？
M
l
P B′
小结: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、依据什么解决问题的？

(完整版)利用轴对称求最短距离[1]

④ 如图所示，在/ AOB 的边AO , BO 上分别找一点 E , F 使得DE + EF + CF 最小.分别过点C , D 作关于AO , BO 的对称点 DC '，连接D C '，并与AO , BO 分别交于点 E , F , 此时DE + EF + CF 最小，则点E , F 即为所求.最短路径问题和最小【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）•如图所示，在直线直线AB 与直线I 的交点时，PA + PB 最小. l 上找一点 P 使得PA + PB 最小.当点P 为 B 4P , B' 【方法归纳】 ①如图所示，在直线I 上找一点B 使得线段AB AB 即为所求.最小•过点A 作AB 丄I ，垂足为B ,则线段 ②如图所示，在直线 BB 与直线I 交于点 I 上找一点P 使得PA + PB 最小.过点B 作关于直线I 的对称点B P ,此时PA + PB 最小，则点P 即为所求. B a p. B'③如图所示，在/ AOB 的边AO , BO 上分别找一点 C , D 使得PC + CD + PD 最小.过点P 分别作关于 AO , BO 的对称点E , F ，连接EF ，并与AO , BO 分别交于点 C , D ，此时PC + CD + PD 最小，则点C , D 即为所求.BA D' A⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线I上运动，在直线I上找到使得AC + BD最小的CD的位置.分别过点A, D作AA 7/ CD , DA '// AC, AA '与DA '交于点A',再作点B关于直线I的对称点B '，连接A'B与直线I交于点D 7,此时点D'即为所求.0 Ir f f-A'D D'B'1⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y= -x2) 上的一点，点 A (0, 1 )在y 轴正半轴.点P在什么位置时PA+ PB最小？过点B作直线I: y=- 1的垂线段BH BH ' 与抛物线交于点P',此时PA+ PB最小，则点P即为所求.1.(13广东)已知二次函数y= x2—2mx + m2- 1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点0( 0, 0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m = 2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PC + PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由.A D' A【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点0（0, 0）,直接代入求出m的值即可；（2）把m= 2代入求出二次函数解析式，令x= 0,求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC + PD最短，求出CD 的直线解析式，令y= 0，求出x的值，即可得出P点的坐标.【解题过程】解：（1）•••二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），•••代入二次函数y= x2—2mx + m2—1，得出：m2— 1 = 0，解得：m=± 1，•••二次函数的解析式为：y= x2—2x或y= x2+ 2x;（2）• m= 2，•••二次函数y= x2—2mx + m2—1 得：y = x2—4x + 3 =（x—2）2—1，•抛物线的顶点为：D （2，—1），当x= 0 时，y= 3，「. C 点坐标为：（0，3），• C （0，3）、D （2，—1）;（3）当P、C、D共线时PC+ PD最短，【方法一】• C （0，3）、D （2，—1），设直线CD的解析式为y= kx + 3，代入得：2k+ 3 =—1，• k=—2，「.y=—2x + 3，当y= 0时，一2x+ 3= 0，解得x= 3，• PC + PD最短时，P点的坐标为：P （|，0）.【方法二】过点D作DE丄y轴于点E，•PO〃DE，• DO=CO，• P0=4 解得:PO=2,•PC + PD最短时，P点的坐标为：P （2，0）.12. (11荷泽)如图，抛物线 y = ?x 2+ bx -2与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1, 0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2) 判断△ ABC 的形状，证明你的结论；(3) 点M ( m , 0)是x 轴上的一个动点，当 MC + MD 的值最小时，求 m 的值.【思路点拨】(1) 把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点 D 的坐标；(2)观察发现厶ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明.由抛物线的解析式，分别求出点B , C 的坐标，再得出AB , AC , BC 的长度，易得AC 2+ BC 2= AB 2,得出△ ABC 是直角三角形；(3) 作出点C 关于x 轴的对称点C',连接C'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC + MD 的值最小.求出直线 C'D 的解析式，即可得出点 M 的坐标，进而求出 m 的值. 【解题过程】解：(1 )• ••点A (- 1, 0)在抛物线 y =护+ bx —2 上,1X 2(—1 ) 2+ b X(— 1)— 2=0,解得 . 3b 一 3，-25) 抛物线的解析式为1 2 y=2x2-3 1/3、-?x—2=(x—p2 25—8 ,•顶点D的坐标为 (j,(2) 当x= 0 时y=—2,. • C (0,—2), OC = 2 .当y= 0 时，|x2—|x—2= 0,• •• X1=—1 , X2=4, • B(4, 0), • OA = 1 , OB = 4,AB = 5.•/ AB 2= 25, AC 2 = 0A 2+ 0C 2= 5, BC 2= 0C 2+ OB 2= 20,「. AC 2 + BC 2 = AB 2. •••△ ABC 是直角三角形.(3)作出点C 关于x 轴的对称点C',贝U C ' ( 0, 2), 0C = 2,连接C 'D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC + MD 的值最小.【方法一】x + 2.24• m =41.41 24.•.当 y = 0 时，—祛 + 2= 0, x = 41 【方法二】设抛物线的对称轴交 x 轴于点E .•/ ED // y 轴，•/ OC 'M = / EDM ，/ C'OM =Z .OM = OCJ • EM = ED ， 2 24 = ，…m =25 41 .DEM C 'OMDEM .设直线C D 的解析式为y = kx + n ,则 n = 2 |k + n 一 25 解得: n = 2k =-芸.y = 4112。

用轴对称求最短距离

用轴对称求最短距离最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，本文举例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。

例1. （湖北潜江）如图１，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．（１）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？（２）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？分析（１）到Ａ、Ｂ两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．（２）要使厂部到Ａ村、Ｂ村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．解：（１）如图２，取线段ＡＢ的中点Ｇ，过中点Ｇ画ＡＢ的垂线，交ＥＦ与Ｐ，则Ｐ到Ａ、Ｂ的距离相等．（２）如图３，画出点Ａ关于河岸ＥＦ的对称点Ａ′，连结Ａ′Ｂ交ＥＦ于Ｐ，则Ｐ到ＡＢ的距离和最短．点评：如果我们注意一下，在我们的生活中有很多都利用了轴对称，如果平时多观察、多思考，就会发现轴对称还可以帮助我们解决问题.例2. 如图3，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

巧借轴对称求最短距离

图5l图1巧借轴对称求最短距离大家知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题.例1如图1，公路l 两旁有两工厂A 、B ，现要在公路上建一仓库. ⑴若要使仓库到A 、B 两工厂的距离相等，仓库应建在何处？ ⑵若要使仓库到A 、B 两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？分析：⑴线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”可知仓库应建在AB 的垂直平分线上，又因为仓库在公路上，所以AB 的垂直平分线与公路l 的交点即为仓库应建的地点. ⑵ 如果A 、B 两点在直线l 的两侧，那么连接AB 与l 的交点即为所求，由于现在A 、B 两点在l 的同侧，因此可考虑作A （或B ）点关于l 的对称点C ，由轴对称的性质可知，直线l 上任意一点到A 、C 的距离相等，这样就把直线l 上一点到点A 的距离转化为到点C 的距离，因此连接CB 与l 的交点即为所求.解：⑴如图2，作AB 的垂直平分线交l 于点P ，点P 就是所要求作的仓库的位置. ⑵如图3，作点A 关于l 的对称点C ，连接AC 交l 于点D ，点D 就是所要求作的仓库的位置.例2如图4，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水. ⑴求到河边饮水的最短路线.⑵如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图.图4l图2l分析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要. ⑴可抽象为点M到直线a的最短距离. ⑵可抽象得到这样的数学模型：直线a、b间有一点M，试分别在a、b 上求出两点，使M点与这两点构成的三角形的周长最短. 要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题.解：⑴如图5，过点M作MA⊥a于A，MA即为最短路线.⑵如图6，分别作点M关于a、b的对称点A、B，连接AB分别交a、b于点C、D，则最短的牧马路线为：M→C→D→M.点评：⑴利用垂线段最短获解. ⑵中点A、M关于直线a对称，则可得到CA＝CM，同理DM＝DB，所以MC＋CD＋DB＝AC＋CD＋DB，这实际上将ΔMCD的周长，即三条不在同一直线上的线段和转化成了两点之间的距离问题，由于“两点之间，线段最短”，因此连接AB与直线a、b的交点即为所求的两点.。

如何利用对称轴原理，解决最短路径问题

如何利用对称轴原理，解决最短路径问题大家好，这里是周老师数学课堂，欢迎来到头条号学习！今天是星期六，我想分享一篇八年级的内容:如何利用轴对称知识解决最短路径问题。

最短路径问题一般有两种情况。

1.求已知直线上一点与直线异侧两点所连线段的和的最短问题:这类问题，我们只要连接这两点，根据两点之间直线最短的原理，所得线段与直线的交点，即为所要确定的点。

如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时的点C为直线l与线段AB的交点2.求已知直线上一点与直线同侧两点所连线段的和的最短问题：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得的线段与该直线的交点即为所要确定的点。

如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求的点C；或者先作点A关于直线l的对称点A'，连接BA’，BA'与直线l的交点即为所求的点C.我们在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变换将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径。

下面举例说明轴对称变换在解决距离和最短问题时的应用，解这些题的关键是要把握好“两点之间，线段最短”的原理。

例1.[解析](1)因为AB在EF同侧，作点A关于EF的对称点A'；(2)连接A'B交EF于点C，则点C为所求的点，此时，△ABC的周长最短.由于AB为定长，问题转化为在EF上求一点C，使AC+BC最短。

[解答]例2.[解析]要使总路程最短，需要将三条线段设法转化到一条线段上，根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路l1的对称点A，作B关于公路Ⅰ2的对称点B'，连接AB与公路Ⅰ1、Ⅰ2分别相交于点C、D，然后沿A→C→D→B走才能使总路程最短.[解答]求最短离问题，在实际生活中的应用非常广泛，如水泵站的选址，煤气管道的铺设，天桥的选址等。