九年级数学专题04 利用相似三角形解决实际问题(经典题型汇总)(解析版)

九年级数学专题04 利用相似三角形解决实际问题

重难突破

解题关键：通过题干信息构建相似三角形，利用相关知识求解问题。

题型一利用相似三角形解决高度问题

1．（2019·秦皇岛市期中）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得

BC=3.2m"，CA=0.8m，则树的高度为（）

A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m

【答案】C

【解析】

解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，

设树高x米，则

1.6

AC

AB x

=，即

0.8 1.6

0.8 3.2x

=

+

∴x=8

故选C．

2．（2019·合肥市期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）

A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺

【答案】B

【详解】设竹竿的长度为x尺，

∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

∴

1.5 150.5

x

=，

解得x=45（尺），

故选B．

3．（2019·南昌市期中）已知：如图，小华在打羽毛球时，扣球要使球恰好能打过网，而且落在离网前4米的位置处，则球拍击球的高度h应为（）

A．1.55m B．3.1m C．3.55m D．4m

【答案】B

【详解】

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

即DE AE BC AB

=，

则1.554

44

h

=

+

，

∴h＝3.1m．

故选：B．

4．（2019·福田区期中）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5m，EF=0.25m，目测点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m，则旗杆的高度为( )

A．105m B．(105 1.5)

+m C．11.5m D．10m

【答案】C

【详解】

解：∵∠FDE=∠ADC，

∠DEF=∠DCA=90°，

∴△DEF∽△DAC，

∴DE EF CD AC

=，

即：0.50.25

20AC

=，

解得AC=10，

∵DF与地面保持平行，目测点D到地面的距离DG=1.5米，

∴BC=DG=1.5米，

∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．

故选：C．

5．（2019·福田区期中）要测量一棵树的高度，发现同一时刻一根1米长的竹竿在地面上的影长为0.4米，此刻树的影子不全落在地上，有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上，测得台阶水平面上的影长为0.2米，一级台阶的垂直高度为0.3米，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高（）

A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米

【答案】C

【详解】

根据题意可以构造出以下三角形模型

其中AB 为树高，EF 为树影在台阶上的影长，BD 为树影在地面上部分的长，ED 为台阶高.

延长FE 交AB 于点G

则AGF ABC V :V 10.4

AG AB GF BC ∴== ,GF GE EF GE BD =+=Q

4.40.2 4.6GF ∴=+=

11.5AG ∴=

11.50.311.8AB AG GB ∴=+=+=

6．（2019·临清市期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位

置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，

EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ）

A ．12m

B ．13.5m

C ．15m

D ．16.5m

【答案】D

【详解】 ∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D ，

∴△DEF ∽△DCB ，

∴BC DC EF DE

=，

∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，

∴

20 0.30.4 BC

=，

∴BC=15米，

∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．

故答案为16.5m．

题型二利用相似三角形解决长度问题

1．（2019·南阳市期中）如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD 长0．55米,则梯子AB的长为( )米

A．3．85 B．4．00 C．4．4 D．4．50．

【答案】C

【详解】

因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，

即△ABC∽△ADE，则DE AD BC AB

=

设梯子长为x米，则

0.55 1.4

1.6

x

x

-

=，

解得，x=4.40．

故选C．

2．（2018·市中区期末）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（）