高中数学联赛多项式专题练习(详解版)
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高中数学联赛多项式专题练习（详解版)
一、单选题
1．若实数 ，且 ， 满足 ， ，则代数式 的值为
A． B．
C． 或 D． 或
2．已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为（）
A． B．2C．22D．30
3．设 的两实根为 ， ，而以 ， 为根的一元二次方程仍是 ，则数对 的个数是（）
A．2B．3C．4D．0
（1）是否存在实数k， 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值．
7．已知关于 的实系数一元二次方程 的两个复数根为 、 ，试用实数 表示 的值．
8．已知关于 的不等式 ．
（1）若不等式的解集为 ，求 ；
（2）当 时，解此不等式．
9．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 .（以上长度单位：cm）
【详解】
设方程 的两根为 、 ，方程 的两根为 、 .由题意知 ， ，又 ， ，
这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确；
， ， ， ，
，
故C正确；
，
， 、 均为负整数， ，
. ， , . ， ，
、 均为负整数， ，
，即 ， ，故D正确.
综上所述，正确的结论有A，C，D.
故选:ACD.
【点睛】
本小题主要考查一元二次方程根与系数关系，考查不等式的证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.
四、填空题
13．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值是_______.
14．设是_______.
15．已知 ， 是方程 的两个根，则 ____________.
16．若 是方程 的一个根，则 ______.
17．已知 是 的三边长，关于 的方程 的解集中只有一个元素，方程 的根为 ，则 的形状为________；若 为关于 的两个实数根，则实数 的值_________．
6．（1）不存在，理由见解析；（2）－2，－3，－5．
【解析】
【分析】
(1)因为一元二次方程 的两个实数根，所以利用判别式求出 的取值范围，将 化为 结合韦达定理以及 的取值范围，即可判断.
(2)将关系式 化为 ，结合韦达定理以及整除的性质即可求解.
11．关于x的实系数方程 .
（1）设 （i是虚数单位）是方程的根，求实数a，b的值；
（2）证明：当 时，该方程没有实数根.
12．已知m是实数，关于x的方程E：x2﹣mx+（2m+1）＝0．
（1）若m＝2，求方程E在复数范围内的解；
（2）若方程E有两个虚数根x1，x2，且满足|x1﹣x2|＝2，求m的值．
本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.
3．B
【解析】
【分析】
利用根与系数关系列方程，通过解方程求得 的所有可能取值，由此得出正确选项.
【详解】
根据题意得， ①， ②， ③， ④，
由②、④可得 ，解得 或 ，即 或 .
由①、②、③可得 ，即 .
当 时， ，解得 或 ，
即 或 把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当 时， ，解得 或 ，即 或
【详解】
①当 时， ；
②当 时，因为实数 、 满足 ， 所以 、 可看成是方程 的解，所以 ， .
，
把 ， 代入得 .
综上， 的值为2或 .
故选C.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
5．ACD
【解析】
【分析】
列出两个方程的根与系数关系，判断A,B两个选项的正确性.根据两个方程的判别式为非负数，判断C选项的正确性.根据两个方程的根与系数关系，分别求得 的表达式，证得 和 ，由此判断D选项的正确性.
本题表面是求出 的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解.
2．D
【解析】
【分析】
将 代入方程 ，由此化简 的表达式，根据根与系数的关系求得 ，进而化简求得 的值.
【详解】
是方程 的实根， ，
即 ， ，
原式
， 是方程 的两实根， ， 原式 .
故选:D.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查代数式的变形，属于基础题.
4．若实数 、 满足 ， ，则 的值是（）
A． B．2C．2或 D．
二、多选题
5．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（）
A．这两个方程的根都是负根B．这两个方程的根中可能存在正根
C． D．
三、解答题
6．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）用含 、 的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为________；
（3）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求 的值.
10．设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）令 （ ），求实数 的取值范围.
把它们代入原方程的判别式中可知 不合题意，舍去.所以数对 的个数是3，
故选B.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
4．C
【解析】
【分析】
当 时，计算出所求表达式的值为 ，当 时，根据已知可知 是方程 的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.
18．若不等式 的解集是（4，b），则实数a=_____，b=_____.
19．若 、 分别是方程 的两个根，则 ______.
20．已知 ，且 、 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么 的值为________
参考答案
1．A
【解析】
【详解】
满足 ，
可看着方程 的两根，
，
，故选A.
【方法点睛】
一、单选题
1．若实数 ，且 ， 满足 ， ，则代数式 的值为
A． B．
C． 或 D． 或
2．已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为（）
A． B．2C．22D．30
3．设 的两实根为 ， ，而以 ， 为根的一元二次方程仍是 ，则数对 的个数是（）
A．2B．3C．4D．0
（1）是否存在实数k， 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值．
7．已知关于 的实系数一元二次方程 的两个复数根为 、 ，试用实数 表示 的值．
8．已知关于 的不等式 ．
（1）若不等式的解集为 ，求 ；
（2）当 时，解此不等式．
9．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 .（以上长度单位：cm）
【详解】
设方程 的两根为 、 ，方程 的两根为 、 .由题意知 ， ，又 ， ，
这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确；
， ， ， ，
，
故C正确；
，
， 、 均为负整数， ，
. ， , . ， ，
、 均为负整数， ，
，即 ， ，故D正确.
综上所述，正确的结论有A，C，D.
故选:ACD.
【点睛】
本小题主要考查一元二次方程根与系数关系，考查不等式的证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.
四、填空题
13．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的正整数根，则整数 的值是_______.
14．设是_______.
15．已知 ， 是方程 的两个根，则 ____________.
16．若 是方程 的一个根，则 ______.
17．已知 是 的三边长，关于 的方程 的解集中只有一个元素，方程 的根为 ，则 的形状为________；若 为关于 的两个实数根，则实数 的值_________．
6．（1）不存在，理由见解析；（2）－2，－3，－5．
【解析】
【分析】
(1)因为一元二次方程 的两个实数根，所以利用判别式求出 的取值范围，将 化为 结合韦达定理以及 的取值范围，即可判断.
(2)将关系式 化为 ，结合韦达定理以及整除的性质即可求解.
11．关于x的实系数方程 .
（1）设 （i是虚数单位）是方程的根，求实数a，b的值；
（2）证明：当 时，该方程没有实数根.
12．已知m是实数，关于x的方程E：x2﹣mx+（2m+1）＝0．
（1）若m＝2，求方程E在复数范围内的解；
（2）若方程E有两个虚数根x1，x2，且满足|x1﹣x2|＝2，求m的值．
本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.
3．B
【解析】
【分析】
利用根与系数关系列方程，通过解方程求得 的所有可能取值，由此得出正确选项.
【详解】
根据题意得， ①， ②， ③， ④，
由②、④可得 ，解得 或 ，即 或 .
由①、②、③可得 ，即 .
当 时， ，解得 或 ，
即 或 把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当 时， ，解得 或 ，即 或
【详解】
①当 时， ；
②当 时，因为实数 、 满足 ， 所以 、 可看成是方程 的解，所以 ， .
，
把 ， 代入得 .
综上， 的值为2或 .
故选C.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
5．ACD
【解析】
【分析】
列出两个方程的根与系数关系，判断A,B两个选项的正确性.根据两个方程的判别式为非负数，判断C选项的正确性.根据两个方程的根与系数关系，分别求得 的表达式，证得 和 ，由此判断D选项的正确性.
本题表面是求出 的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解.
2．D
【解析】
【分析】
将 代入方程 ，由此化简 的表达式，根据根与系数的关系求得 ，进而化简求得 的值.
【详解】
是方程 的实根， ，
即 ， ，
原式
， 是方程 的两实根， ， 原式 .
故选:D.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查代数式的变形，属于基础题.
4．若实数 、 满足 ， ，则 的值是（）
A． B．2C．2或 D．
二、多选题
5．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（）
A．这两个方程的根都是负根B．这两个方程的根中可能存在正根
C． D．
三、解答题
6．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根．
（1）用含 、 的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为________；
（3）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 ，试求 的值.
10．设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）令 （ ），求实数 的取值范围.
把它们代入原方程的判别式中可知 不合题意，舍去.所以数对 的个数是3，
故选B.
【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
4．C
【解析】
【分析】
当 时，计算出所求表达式的值为 ，当 时，根据已知可知 是方程 的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.
18．若不等式 的解集是（4，b），则实数a=_____，b=_____.
19．若 、 分别是方程 的两个根，则 ______.
20．已知 ，且 、 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么 的值为________
参考答案
1．A
【解析】
【详解】
满足 ，
可看着方程 的两根，
，
，故选A.
【方法点睛】