数列的单调性专题

数列的单调性以及恒成立的问题
一、数列的单调性
（一）数列的单调性与函数的单调性的区别
【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是 【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是
（二）a n =f (n )的单调性
【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2
-1)c n +c n-1
(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有
a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.
【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n
，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.
【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11
n n n
a a a +=+
(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；
（II ）令
n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.
【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足()
1
12
1212121
21
n n
n n b b b a -=
-++-+++，求数列{b n }的通项公式； （III ）若3n
n n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？
【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有33
32
12n n a a a S ++
+=，
其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.
（I ）求证：2
112n n n a S a ++=+；
（II ）求数列{a n }的通项公式； （III ）设()
1
312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的
n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.
（三）a n+1=f (a n )的单调性
【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1<a 2，则数列{a n }递增；②若a 1=a 2，那么数列{a n }是常数列；③若a 1>a 2，则数列{a n }递减. 特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是
a 1<a 2<a 3，且对于任意的n ≥2，n *N ∈，在[a 2，a n ]上，函数f (x )为单调递增函数.
【例题6】已知数列{}n a 满足1a =12
且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：11
2n
n a a +≤
≤（n ∈*N ）
； （2）设数列{}
2
n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)
n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.
【变式训练】在数列{}n a 中，13a =，2
110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈
（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********
k a k k ++<<+++
【变式训练】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2
+x n +c （n *N ∈） （I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0； （II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.
二、数列的单调性应用 （一）数列的最值问题
【例题7】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则
a k =a k -1，112k k k a
b b --+=
；若a k -1+b k -1<0，则11
1,2
k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；
（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；
（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.
【变式训练】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，… (I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<
11
24
n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.
（二）数列中的恒成立问题
【例题8】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，
12
111
n
m S S S +++
≤恒成立，试求实数m 的取值范围.
【变式训练】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *
∈N .
（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *
∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大
项；
（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小
值m ，且()2,2m
M
∈-.
【课时作业】
1、设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值.
2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a （a ≠3），a n+1=S n +3n
，n *N ∈. （I ）设b n =S n -3n
，求证：数列{b n }是等比数列，并写出{b n }的通项公式； （II ）若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.
3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，()24*,n n S a n n N R λλ=+-∈∈，且数列|a n -1|为等比数列.
（I ）求实数λ的值，并写出数列{a n }的通项公式； （II ）（i ）判断数列111n n a a ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
（n *N ∈）的单调性；
（ii ）设()1
1n n n
b a --=
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：22
9
n T <
.
4、已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，b n =2
211
11n
n n a a a ++⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，n *N ∈，数列{b n }的前n 项和为S n .
（I ）若a n =2
n -1
，求S n ；
（II ）是否存在等比数列{a n }，使得b n+2=S n 对于任意的n *N ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. （III ）若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2.
5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中，a 1=1，且1n
n n
S a a λ+=(n *N ∈). （I ）求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式； （II ）记3
n
n n a b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求最小的正整数k ，使得对任意的n ≥k ，都有3144n T n
-<成立.
6、数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，a n+12
+a n+1-1=a n 2
（n *N ∈），求证：当n *N ∈时，a n <a n+1.
7、【变式训练】设a 1=1，11n a +=
（n *N ∈），问：是否存在实数c ，使得
a 2n <c <a 2n+1对所有的n *N ∈成立？证明你的结论.
8、首项为正数的数列a n 满足：a n+1=
()2
134
n a +. n *N ∈ (I)证明：若a 1为奇数，则对于任意的n ≥2，a n 为奇数； (II)若对于任意的n *N ∈，都有a n+1≥a n ，求a 1的取值范围.。