数列的单调性专题

数列的单调性以及恒成立的问题

一、数列的单调性

（一）数列的单调性与函数的单调性的区别

【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是 【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是

（二）a n =f (n )的单调性

【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2

-1)c n +c n-1

(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有

a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.

【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n

，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.

【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11

n n n

a a a +=+

(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；

（II ）令

n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.

【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足()

1

12

1212121

21

n n

n n b b b a -=

-++-+++，求数列{b n }的通项公式； （III ）若3n

n n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？

【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有33

32

12n n a a a S ++

+=，

其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.

（I ）求证：2

112n n n a S a ++=+；

（II ）求数列{a n }的通项公式； （III ）设()

1

312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的

n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.

（三）a n+1=f (a n )的单调性

【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1a 2，则数列{a n }递减. 特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是

a 1

【例题6】已知数列{}n a 满足1a =12

且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：11

2n

n a a +≤

≤（n ∈*N ）

； （2）设数列{}

2

n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)

n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.

【变式训练】在数列{}n a 中，13a =，2

110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈

（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********

k a k k ++<<+++

【变式训练】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2

+x n +c （n *N ∈） （I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0； （II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.

二、数列的单调性应用 （一）数列的最值问题

【例题7】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则

a k =a k -1，112k k k a

b b --+=

；若a k -1+b k -1<0，则11

1,2

k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；

（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；

（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.

【变式训练】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，… (I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<

11

24

n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.

（二）数列中的恒成立问题

【例题8】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，

12

111

n

m S S S +++

≤恒成立，试求实数m 的取值范围.

【变式训练】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *

∈N .

（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；

（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *

∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大

项；

（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小

值m ，且()2,2m

M

∈-.