人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”

或“弧AB”.

①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相

等．

推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

6、圆周角

（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

（2）.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

（3）.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

7.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

9、垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

（3）、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

①平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

10、点和圆的位置关系

（1）点和圆的三种位置关系：

由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

11、直线和圆的位置关系

（1）直线和圆的三种位置关系：

①相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯

一的公共点叫做切点．

③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

（2）直线与圆的位置关系的判定和性质．

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．

图(1)中直线与圆心的距离小于半径；

图(2)中直线与圆心的距离等于半径；

图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，

那么

12、切线的判定定理、性质定理和切线长定理

（1）切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（2）切线的判定方法：

①定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；

②定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

③判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中

强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一

不可）.

13、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

切线的性质：

（1）切线和圆只有一个公共点；

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

14．切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

（切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

15、切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

(切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.)

16．三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

(不在同一直线上的三个点确定一个圆.)

17、三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.

要点诠释：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3) 三角形的外心与内心的区别：

名称确定方法图形性质

外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂

线的交点

(1) 到三角形三个顶点

的距离相等，即

OA=OB=OC；(2)外心不一

定在三角形内部

内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平

分线的交点

(1)到三角形三边距离相

等；(2)OA、OB、OC分别

平分∠BAC、∠ABC、∠

ACB； (3)内心在三角形

内部.