最短路径问题数学模型
最短路径问题数学模型
最短路径问题数学模型
最短路径问题是指在一个给定的图中，求出两个顶点之间的最短路径的问题。
在实际生活中，这类问题很常见，比如我们要从一个城市到另一个城市，就需要找到最短的路线。
这个问题可以用数学模型来描述。
首先，我们可以把这个问题抽象成一个图论问题，其中图的顶点表示城市，边表示两个城市之间的道路。
每条边都有一个权值表示道路的长度。
假设我们要求从顶点s到顶点t的最短路径，我们可以用一个数组d来记录s到各个顶点的最短距离，初始化为无穷大。
然后，我们可以使用一种叫做Dijkstra算法的算法来求解这个问题。
具体的过程是：
1. 初始化d[s]=0，d[v]=无穷大（v≠s）。
2. 从未标记的节点中选择标号最小的节点v，对v进行标记。
3. 更新所有v的出边相邻节点的距离，具体为：若d[v]+v到该节点的距离< d[该节点]，则更新d[该节点]为d[v]+v到该节点的距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被标记。
5. d[t]即为s到t的最短距离。
这个算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是节点数。
当然，还有更快的算法，比如Floyd算法，但是它的时间复杂度更高，达到了O(n^3)。
总之，最短路径问题是一个经典的数学问题，可以用图论和算法
来描述和求解。
熟练掌握这个问题对于计算机科学专业的学生来说非常重要。
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
人教版数学九年级中考专题复习微专题2最短路径模型课件
∴C（1，-1）.
【答案】(12,0)
∴点P的坐标为
.
1.“将军饮马”模型
【解析】如图，作A关于x轴的对称点C，连接BC并延长交x
轴于点P. ∵A（1，1）， ∴C（1，-1）.
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则 k + b = -1， ∴ k = -2，
2k + b = -3.
b = 1.
∴直线BC的解析式为y＝-2x+1.
则点P与点E重合．
则∵点A（P与1，点1E）重，合当． |PA-PB|最大时，点P的坐标为_______.
当两定点A,B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得
当两定点A,B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得
例1 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是.
1.“将军饮马”模型
当y＝0时，x＝1 .
2 ∴点P的坐标为（
1 ，0）
.
2
∵当B,C,P不共线时，根据三角形三边的关系可得|PA-PB|＝
|PC-PB|＜BC，
∴此时|PA-PB|＝|PC-PB|＝BC取得最大值．
【答案】(12,0)
1.“将军饮马”模型
例4如图，在△ABC中，∠A=15°，AB=2，P为AC边上的一 个动点(不与A,C重合)，连接BP，则 2 AP + PB 的最小值是
当两定点A,B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得 最大.
【答案】4
∴点P的坐标为
.
过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
【答案】4
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
军旅导航——最短路径问题的数学模型
军旅导航——最短路径问题的数学模型1. 引言最短路径问题（Shortest Path Problem，SPP）是图论中的一个经典问题，旨在寻找图中两点之间的最短路径。
在军旅导航领域，最短路径问题同样具有重要的应用价值。
本文将详细介绍最短路径问题的数学模型，并探讨其在军旅导航中的应用。
2. 最短路径问题的数学模型2.1 图的定义首先，我们需要明确图的概念。
图是由顶点（节点）集合和边集合组成的一种数学结构。
其中，顶点表示图中的点，边表示顶点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，本文主要讨论有向图。
2.2 路径和距离路径是由一系列顶点组成的序列，表示图中两点之间的连线。
路径的长度等于路径上边的数量。
两条路径如果包含相同的顶点，且边的顺序相同，则称这两条路径为同一路径。
距离是指图中两点之间的最短路径长度。
在有向图中，距离可以是带权重的，即每条边都有一个权重。
2.3 最短路径问题最短路径问题旨在寻找图中两点之间的最短距离路径。
根据图中边的权重，最短路径问题可以分为以下两种：1. 权重均为正数的最短路径问题：这种情况下，最短路径问题可以通过Dijkstra算法或Bellman-Ford算法求解。
2. 含有负权重的最短路径问题：这种情况下，最短路径问题可以通过Floyd-Warshall算法求解。
3. 军旅导航中的应用在军旅导航领域，最短路径问题可以用于计算部队行进的最短路线、最优调度等问题。
以下是一个具体的应用场景：假设有一支军队需要从起点A到达终点B，沿途有多个城市C、D、E等，每个城市之间的道路都有不同的长度和通行条件。
我们需要找到一条从A到B的最短路径，以确保军队能够尽快到达目的地。
通过构建一个有向图，顶点集合包含A、B以及沿途的城市C、D、E等，边集合表示城市之间的道路及长度。
利用最短路径算法，我们可以计算出从A到B的最短路径，从而为军队提供导航。
4. 总结本文从军旅导航的实际应用出发，介绍了最短路径问题的数学模型。
最短路径的数学模型
最短路径的数学模型最短路径的数学模型：从A到B的最短路径问题引言：在现实生活中，我们常常需要找到两个地点之间的最短路径，比如从家里到公司的最短路线，或者从一个城市到另一个城市的最短航线。
这种最短路径问题在数学中有一种通用的数学模型，被广泛应用于计算机科学、运筹学以及交通规划等领域。
本文将介绍这个数学模型，并通过一个具体的例子来说明其应用。
一、问题描述：最短路径问题可以被定义为：给定一个图G，其中包含一些节点和连接这些节点的边，每条边都有一个权重（或距离）值，我们希望找到从节点A到节点B的最短路径。
二、数学模型：为了解决最短路径问题，我们需要构建一个数学模型。
这个模型可以使用图论中的图和路径的概念来描述。
1. 图的定义：在最短路径问题中，图G可以被定义为一个由节点和边组成的集合。
其中节点表示地点或位置，边表示连接这些地点的路径。
每条边都有一个权重值，表示从一个地点到另一个地点的距离或成本。
2. 路径的定义：路径是指从一个地点到另一个地点经过的一系列节点和边的组合。
在最短路径问题中，我们希望找到一条路径，使得路径上所有边的权重之和最小。
3. 最短路径的定义：最短路径是指从节点A到节点B的路径中，路径上所有边的权重之和最小的路径。
三、最短路径算法：为了解决最短路径问题，我们需要使用一种算法来计算最短路径。
下面介绍两种常用的最短路径算法：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于计算带权重的图中节点A到其他所有节点的最短路径。
该算法的基本思想是从起始节点开始，依次选择与当前节点距离最近的节点，并更新到达其他节点的最短路径。
这个过程不断重复，直到找到从节点A到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算带权重的图中任意两个节点之间的最短路径。
该算法通过一个二维数组来存储节点之间的最短路径长度，并不断更新这个数组，直到找到所有节点之间的最短路径。
军旅导航——最短路径问题的数学模型
军旅导航——最短路径问题的数学模型引言军队战斗中的导航问题十分重要，其中最短路径问题是一个常见且关键的挑战。
本文将介绍一种基于数学模型的军旅导航最短路径解决方案。
问题描述军队需要从起点A到达目标点B，但是在中间有多个地点需要经过。
军队希望找到一条最短的路径，以最小化时间和资源的消耗。
数学模型我们可以使用图论中的最短路径算法来解决这个问题。
以下是一个简单的数学模型：1. 将地点和道路表示为图中的节点和边。
2. 将起点A和目标点B分别设为图中的起始节点和目标节点。
3. 对于每个节点，计算其与相邻节点之间的距离或代价。
4. 使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）计算从起点到目标点的最短路径。
5. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
算法流程以下是一个简单的算法流程：1. 初始化图中的节点和边的信息。
2. 将起点A设为当前节点。
3. 对于每个相邻节点，计算从起点A到该节点的距离或代价。
4. 选择距离或代价最小的节点作为下一个当前节点，并更新当前节点。
5. 重复步骤3和4，直到当前节点为目标节点B。
6. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
实例应用假设军队需要从基地出发，穿越多个村庄，最终到达敌方阵地。
每个村庄之间的距离和敌方阵地的位置已知。
我们可以使用上述数学模型来解决这个问题。
结论通过使用数学模型和最短路径算法，我们可以为军队提供一种有效的军旅导航最短路径解决方案。
这将有助于军队在战斗中更快地到达目标地点，以及更有效地利用资源。
最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
一、问题描述
假设从一座城市A出发，要到达另一座城市B，可以选择从A到B的6条路线中的一条，每条路线的里程数都不相同，试求出从A出发到B的最短路径。
二、数学模型
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，目标为： min z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)
s.t. {m1,m2,m3,m4,m5,m6>=0}
约束条件中：m1、m2、m3、m4、m5、m6>=0，表示每条路线的里程数都不小于0，即每条路线至少要有一定里程才能到达终点B。
三、求解方法
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，可将求解最短路径的问题转换为求解极值问题，即求解最优解
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)的极小值问题，可采用贪心算法求解。
具体步骤如下：
（1）从6条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m1；
（2）再从剩下的5条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m2；
（3）依次类推，从剩余的4条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m3；
（4）直到把所有的6条路线挑选完毕，最后求出最短路径，即
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)。
四、结论
根据以上步骤，可以求得从一座城市A出发，到另一座城市B的最短路径。
勾股定理中的四类最短路径模型(学生版)--初中数学
勾股定理中的四类最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。
人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
注意：1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算；2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
1(2023·广东·八年级期中)如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为()A.413cmB.15cmC.14cmD.13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则BD=24×12=12cm，又因为AD=9-4=5cm，所以AB=122+52=13(cm)，即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．2(2023·重庆·八年级期末)如图，圆柱形玻璃杯高14cm，底面周长为18cm，在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是cm．【答案】15【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×18=9(cm)，EF=14-1-1=12(cm)，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=SE2+EF2=92+122=15(cm)，故答案为15．【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．3(2023春·山东济宁·八年级校考期中)春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．1.(2023·湖北十堰·统考一模)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB= CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()A.28mB.24mC.20mD.18m【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．【解析】解：将半圆面展开可得：AD =12米，DE =DC -CE =AB -CE =16米，在Rt △ADE 中，AE =122+162=20(米)．即滑行的最短距离为20米．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB =CD =20m .本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2.(2023春·四川德阳·八年级校考期中)如图，圆柱底面半径为2πcm ，高为9cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条竖直直线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为cm ．【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是：AC →CD →DB ；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A 沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2πcm ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4cm ；又∵圆柱高为9cm ，∴小长方形的一条边长是3cm ；根据勾股定理求得AC =CD =DB =32+42=5(cm )；∴AC +CD +DB =15(cm )；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．3.(2022·山东青岛·八年级期末)如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是( )(π取3)A.60cmB.40cmC.30cmD.20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解析】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
最短路径 数学表达
最短路径数学表达在数学中，最短路径问题是一种最优化问题，它涉及从一个源点到一个终点的最短路径查找。
最短路径问题在很多实际场景中都有广泛的应用，比如交通系统中的最短路径规划、位置服务（GPS）、物流规划、图像处理等等。
最短路径的数学表达可以用来解决路径优化问题，其一般形式如下：最短路径问题：给定一个有向图G=(V,E)，给定两个结点s和t，求从s到t的一条最短路径。
最短路径问题的数学模型可以表示为：min f(x) = c(x)s.t. x∈P(s, t)其中x是最短路径中的路径矢量，c(x)是路径代价函数，P(s,t)是从s到t的所有路径集。
该模型可以把最短路径问题转化为一个求最小值的优化问题，即求出代价值最小的最短路径。
最短路径问题的求解通常有多种算法，比如贪婪算法、动态规划等等。
其中最常用的方法是Dijkstra算法，它是一种潜伏机制，通过合理的搜索，可以在有向图中找到最短路径。
Dijkstra算法的步骤如下：1.定源点s，初始化s的距离为0，设定其他结点的距离为无穷大，表示尚未探测;2.较上一个节点的所有邻接节点，把当前访问节点的距离和邻接节点的距离加起来，求出新的距离，取最小值更新邻接节点的距离；3.复以上步骤，直到把终点t也更新为最短路径；4.最终结果抽象为路径，返回最短路径。
由于有了最短路径数学表达式和算法，可以利用数学建模求解各种实际场景中的最短路径优化问题，比如位置服务（GPS），它可以帮助你避免在交通拥挤的城市中走着走着就迷路，便捷高效地达到目的地；物流规划中也可以利用最短路径的数学模型来求解路径最优化问题，从而找到最快、最省费用的路线；在图像处理中，最短路径可以用来求解最短连接问题，例如计算机视觉系统中视觉对象的精确轮廓提取。
综上所述，最短路径问题在实际场景中具有重要的应用价值，它可以帮助求解许多优化问题，而最短路径的数学表达以及求解算法也成为实现这些问题的基础和依据。
数学建模最短时间路径(新)
最短时间路径摘要：本问题是一个最短时间问题，本文首先对路线图进行分析，找出并画出了汽车在拐弯时所消耗时间的等效图，经分析，找到四条规则（具体见：五、模型的建立与求解），可以按这四条规则把转弯的时间算在南北走向的路线上，对图形上数据进行处理，然后通过Dijkstra算法求的从入口点v1到出口点的v8最短时间路径为：v1——>v2——>v4——>v7——>v8，时间为：15。
关键词：最短路径Dijkstra算法的最1.2.15（53.3条路线使东西2条路线相同，那么是否可以把转弯的时间统一加在南北路线上，经分析是可行的，而且有一定的规则（具体见：五、模型的建立与求解）问题的关键:1.找到把转弯时间附加在南北路线的内在规则。
2.找到一个等效的图形（等效的办法）使得求解更为方便。
三、模型假设1.无论何时交通路线是可行的。
2.城市的路线均为方行路线（直线图）。
四、符号说明v i ——两条路的交汇处或重要地点.L i,j ——v i 与v j 两地之间的这条路。
T ij ——vi 到v j 所花费的时间 T ——是时间的总和。
五、模型建立与求解一、问题的回答把转1.2.3.4.，而此时 图一T于是建立问题的最短时间模型如下：T=T ij +T jk +···+ T km (1)按照图二写出G 的带权邻接矩阵),(v u wDijkstra 算法【1】：求G 中从顶点0u(即v 1)到其余顶点的最短路. 设G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负． 对每个顶点，定义两个标记（l v ()，z v ()），其中: l v ()：表从顶点u 到v 的一条路的权．z v ()：v 的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l v ()为从顶点u 到v 8的最短时间的权．S ：具有永久标号的顶点集。
输入: G 的带权邻接矩阵),(v u w (1)赋初值：令 S ＝{u 0, l u ()0=0},∀∈=v S V S \，令l v ()=W u v (,)0,z v ()= u 0 u ←u 0 （2）更新l v ()、z v ()： ∀∈=v S V S \,若l v ()>l u W u v ()(,)+ 则令l v ()=l u W u v ()(,)+,z v ()= u就得>v8，，为六、模型推广一、对问题的进一步的讨论对于题中简单图形进行分析，通过把转弯时所要浪费的时间附加再南北路线上进行处理，可以求的一定点到另一定点所需时间最少。
最短路径问题初中数学模型
课后精练
【提示】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C 作CM⊥OA于M；证明△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE， 再根据相似三角形线段的比例关系，求解即可．
【答案】8
答案图
课后精练 11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝ 6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD， 点M为BD中点，线段CM长度的最大值为______．
OC 交圆 O 于点 F，如图．
由题可得∠AED＝∠AEB＝90°，
∴点 E 在以 AB 中点 O 为圆心的圆上(在△ABC 内部)．
由题意，得 AC＝AB＝4，半径 OE＝OA＝2，
∴由勾股定理，得 OC＝2 5.
答案图
根据三角形三边的关系，得
CE≥OC－OE＝2 5－2(取等号时非三角形)，
∴当点 C，E，O 三点共线时，CE 最小，最小值为 2 5－2.
15
11 由相似三角形线段的比例关系表示出
A.4
B. 4
C.3
D. 4
HF，DH，再由S△CEF＝S梯形HFCD＋S△CDE－
S△EHF列关系式即可．
课后精练 5．如图，E是边长为4 cm的正方形ABCD的边AB上 一点，且AE＝1 cm，P为对角线BD上的任意一点，则 AP＋EP的最小值是___5___cm．
课堂精讲
例 2 如图，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°， AB＝2 2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF，则 EF 的最小值是________．
课堂精讲
【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短．如图，连接 OE，OF，过点 O 作 OH⊥EF，垂足为 H，
数学建模最短路径问题模型
数学建模最短路径问题模型数学建模是利用数学方法和技巧解决实际问题的过程。
最短路径问题是指在图中找到一个节点到另一个节点的最短路径。
这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如导航系统、物流运输等。
最短路径问题可以使用多种方法来解决，其中最常见的方法是使用图论中的最短路径算法，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带非负边权的单源最短路径问题。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化，将源节点到其他节点的距离都设为正无穷，将源节点到自身的距离设为0。
2. 选择一个当前节点，将其加入已确定最短路径的节点集合。
3. 对于当前节点的邻居节点，更新其到源节点的距离，如果通过当前节点的距离更短，则更新最短距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都加入已确定最短路径的节点集合。
5. 返回从源节点到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有节点对之间的最短路径问题。
它的基本思想是通过逐步迭代来更新节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化，将节点之间的距离设为正无穷，将每个节点到自身的距离设为0。
2. 对于每一对节点(i, j)，判断从节点i到节点j是否存在经过其他节点的更短路径，如果存在则更新最短距离。
3. 重复步骤2，直到所有节点之间的最短路径都被求出。
4. 返回任意两个节点之间的最短路径。
除了以上两种算法，还有其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法和A*算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体情况选择合适的算法。
此外，最短路径问题还可以使用线性规划、整数规划和动态规划等数学建模方法来解决。
这些方法可以将问题转化为数学模型，通过求解模型得到最优解。
对于复杂的最短路径问题，可以将其转化为有向图或无向图来进行建模。
初中八年级上次路径最短问题模型
初中八年级上学期，学生们在数学课程上接触到了路径最短问题模型。
这是一个重要的数学问题，也是实际生活中常见的问题之一。
本文将对路径最短问题模型进行深入的探讨和解析，帮助读者更好地理解和应用这一数学概念。
一、路径最短问题模型的定义1.1 路径最短问题是指在一个图中，从一个特定的起点到达目标点所经过的最短路径。
这个问题常常用于交通运输、网络通信等实际问题中。
1.2 在数学上，路径最短问题可以用图论的方法进行描述和求解。
通常情况下，我们可以将路径最短问题抽象成一个带有权值的有向图或无向图，然后利用特定的算法来求解最短路径。
二、路径最短问题的常见算法2.1 迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）是一种常用的求解路径最短问题的算法。
该算法利用了贪婪算法的思想，通过不断更新起点到各个顶点的最短距离来求解整个图的最短路径。
2.2 弗洛伊德算法（Floyd algorithm）是另一种常用的路径最短问题算法。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新图中各个顶点之间的最短路径，最终求解整个图的最短路径。
2.3 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）是针对带有负权边的图而设计的一种路径最短问题算法。
该算法利用了松弛操作和负权环的判定，能够有效地求解带有负权边的图的最短路径。
三、路径最短问题模型的应用3.1 在交通运输领域，路径最短问题模型常常用于规划最佳的行车路线，以使得车辆能够以最短的时间和距离到达目的地，从而提高交通效率。
3.2 在网络通信领域，路径最短问题模型可以用于路由器的选择和数据包的传输路径规划，以实现网络中数据传输的高效和稳定。
3.3 在物流配送领域，路径最短问题模型可以帮助物流公司合理规划配送路线，提高配送效率和降低成本。
3.4 在工程建设领域，路径最短问题模型可以用于规划管道、电缆等线路的敷设，以实现最短距离和最低成本的布局。
四、路径最短问题模型的拓展和深化4.1 针对不同类型的图，如稠密图、稀疏图等，路径最短问题模型的求解方法和算法都会有所不同。
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。
下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。
问题描述：假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。
我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。
数学建模：1. 数据准备：a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。
我们可以用一个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。
b. 节点间道路的时间数据。
这是一个关键的数据，可以通过实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。
2. 建立数学模型：a. 定义问题中的主要变量和约束条件。
- 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。
- 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。
b. 建立目标函数。
我们的目标是最小化路径上的时间，所以目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。
c. 建立约束条件。
- 定义起始节点和目标节点。
- 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。
- 定义路径不能重复经过同一节点。
3. 解决模型：a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。
4. 结果分析和验证：找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。
我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。
总结：最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。
通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。
在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。
八年级数学中的最短路径问题模型与练习
最短路径问题的13个模型与30道培优考题一、一条直线两定点一动点1.如图在直线上取一点P，使得PA+PB最小？A，B位于直线异侧，连接AB交直线于P。
2. 如图在直线上取一点P，使得PA+PB最小？作点A关于直线的对称点A＇，连接A’B交直线于点P3.如图在直线上取一点P，使得|PA-PB|最大？作直线AB交直线l于P。
4.如图在直线上取一点P，使得|PA-PB|最大？作点B关于l的对称点B’，直线AB’交l于P。
二、两条直线一定点两动点5.点A在∠O的内部，在角的两边上分别取两个点M,N使得△AMN的周长最小？分别作点A关于两直线的对称点A’，A”，连接A＇A”与角的两边交于M,N。
6. 点B是水平直线上的一个动点，点P在另一条直线上，点A在两直线外，确定点P和点B的位置，使得AP+PB 最小。
过点A作垂线段AB垂直于水平的直线，垂足为B，AB与另一直线交点P即为所求。
常见的变形，当点A位于两直线内，先作点A的对称点，再作垂线段即可。
三、两条直线两定点两动点7. A,B在两条直线外，在两条直线上分别取两点P,Q使得AP+PQ+QB最小？连接AB并与直线分别交于PQ。
8. 点A在直线内，点B在直线外，在两条直线上分别取点P,Q使得AP+PQ+QB最小？作点A关于B反向的直线对称点A’,连接A’B与两直线交于P,Q。
9.点A,B都在两条直线内部，在两条直线上分别取点P,Q，使得AP+PQ+QB最小？首先要看哪个点离哪条线最近，然后作这点关于这线的对称点，另点关于另线的对称点，两个对称点再连与两线交点即为所求。
常见的变形情况：角内两点A,B，在角的两边上分别取点M,N，使得AM+MN+NB最短？分别向外侧作点AB关于两边的对称点A’,B’，连接A’B’。
10.分别以两条平行的直线代表一条河的两岸，河两岸分别是A村和B村，现在准备在河上修一座桥MN（桥垂直河岸），问修在哪个位置，从A村到B村的路程最短？作AA’垂直于河岸，且AA’距离等于桥长，连接A’B交河岸于N’，再作N’对岸点M。
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问题重述：
现准备在7 个居民点v 1, v 2, … , v7中设置一银行.问设在哪个点, 最合理？要建2个银行呢？
解：先作出距离矩阵,如下:
D （0）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ v7 1.5 0 4 ∞ ∞ 2.5 ∞ v6∞ 4 0 3 2 18 ∞ v5∞ ∞ 3 0 6 ∞ ∞ v4∞ ∞ 2 6 0 2 ∞ v3∞ 2.5 18 ∞ 2 0 3 v2∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 0 v1 v7 v6 v5 v4 v3 v2v1 然后对k=1,2,3…,n 依次利用算法原理中第n 步递归公式，由已知的D n-1各元素确定D n 的各元素值。
插入v 1后D （1）的个元素和相应的最短路径因为对成性，D （1）的第一行元素和第一列元素与D (0)相同，D （1）的主对角线上的元素均为0，所以只需要计算其余15个元素的值：
D 23(1)=min{d 23(0),d 21(0)+d 13(0)}=min{2,3+∞}=2
D 24(1)=min{d 24(0),d 21(0)+d 14(0)}=min{∞,3+∞}=3
D 25(1)=min{d 25(0),d 21(0)+d 15(0)}=min{18,3+∞
}=3
D 26(1)=min{d 26(0),d 21(0)+d 16(0)}=min{2.5,3+∞}=2.5
D 27(1)=min{d 27(0),d 21(0)+d 17(0)}=min{∞,3+∞}=3
D 34(1)=min{d 34(0),d 31(0)+d 14(0)}=min{6,∞+∞}=6
D 35(1)=min{d 35(0),d 31(0)+d 15(0)}=min{2,∞+∞}=2
D 36(1)=min{d 36(0),d 31(0)+d 16(0)}=min{∞,∞+∞}=∞
D 37(1)=min{d 37(0),d 31(0)+d 17(0)}=min{∞,∞+∞}=∞
D 45(1)=min{d 45(0),d 41(0)+d 15(0)}=min{3,∞+∞}=3
D 46(1)=min{d 46(0),d 41(0)+d 16(0)}=min{∞,∞+∞}=∞
D 47(1)=min{d 47(0),d 41(0)+d 17(0)}=min{∞,∞+∞}=∞
D 56(1)=min{d 56(0),d 51(0)+d 16(0)}=min{4,∞+∞}=4
D 57(1)=min{d 57(0),d 51(0)+d 17(0)}=min{∞,∞+∞}=∞
D 67(1)=min{d 67(0),d 61(0)+d 17(0)}=min{1.5,∞+∞}=1.5
由此可知
D （1）=⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞0 1.5 3 1.5 0 4 2.5 4 0 3 2 3 3 0 6 3 2 6 0 2 3 2.5 3 3 2 0 3 3 0,依次插入中间点v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7
可得不断更新的距离矩阵为：
D （2）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 6 6 5 3 6 1.5 0 4 5.5 4.5 2.5 5.56 4 0 3 2 3 66 5.5 3 0 5 3 65 4.5 2 5 0 2 53 2.5 3 3 2 0 36 5.5 6 6 5 3 0， D （3）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 6 6 5 3 6 1.5 0 4 5.5 4.5 2.5 5.56 4 0 3 2 3 66 5.5 3 0 5 3 65 4.5 2 5 0 2 53 2.5 3 3 2 0 36 5.5 6 6 5 3 0 D （4）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 6 6 5 3 6 1.5 0 4 5.5 4.5 2.5 5.56 4 0 3 2 3 66 5.5 3 0 5 3 65 4.5 2 5 0 2 53 2.5 3 3 2 0 36 5.5 6 6 5 3 0，D （5）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 6 6 5 3 6 1.5 0 4 5.5 4.5 2.5 5.56 4 0 3 2 3 66 5.5 3 0 5 3 65 4.5 2 5 0 2 53 2.5 3 3 2 0 36 5.5 6 6 5 3 0 D （6）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 6 6 5 3 6 1.5 0 4 5.5 4.5 2.5 5.56 4 0 3 2 3 66 5.5 3 0 5 3 65 4.5 2 5 0 2 53 2.5 3 3 2 0 36 5.5 6 6 5 3 0，D （7）=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 1.5 6 6 5 3 6 1.5 0 4 5.5 4.5 2.5 5.56 4 0 3 2 3 66 5.5 3 0 5 3 65 4.5 2 5 0 2 53 2.5 3 3 2 0 36 5.5 6 6 5 3 0 求得距离矩阵D （7）的各元素值就是就是相应定点间的最短距离。
最后，计算第i 行各元素值之和C （v i ）即为v i 到其他个点的距离之和。
由计算可得，v 1到其他点的距离和为 C （v 1）=31.5， 同理C(v 2)=17.5, C(v 3)=23.5, C(v 4)=28.5, C(v 5)=24, C(v 6)=23.5, C(v 7)=27.5。
比较可得，v 2 到其他个点的距离最短，所以得，应将银行建在v 2 点。
若要建设两个银行，则可将银行地址选在v 2和 v 3 或 v 2 和 v 6 。