概率论期末考试试题A卷及答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案

一、 填空题（满分15分）：

1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为

10

1

。 解答：10

1

!5!321=⨯=

p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。 解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k a

k X P k

则a =

3

2

. 解答：32233

111310

=⇒=-⋅==

∑

∞

=a a a a k

k

4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答：

37

4.065236252)(),cov()

,cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=

-+=-ηξηξρηξηξηξη

ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D

5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1

===-k p q

k P k ξ。则ξ的特征函数

=)(t f ξ 。

()()

.1)(:1

1

1

1

it it k k it it

k k itk it qe

pe qe pe

p q

e e E t

f -====∑∑∞

=--∞

=ξ

ξ解 二、 单项选择题（满分15分）：

1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).

① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++

2.下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.

①.()⎪⎩

⎪⎨⎧≥<=010

x x e x F x

②()⎪⎩

⎪⎨⎧≥<=-010

x x e x G x

③()⎩

⎨⎧≥-<=Φ0100

x e x x x

④()⎩

⎨⎧≥+<=-0100

x e x x H x

3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（② ）。

①n k p p p k n k P k n k ,...,1,0,10,)1()(=<<-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-ξ .

②,...2,1,3

1

)3)1((==-=k k P k k k

ξ. ③..2,1,0,0,!

)(=>=

=-k e k k P k

λλξλ .

④. ,...2,1,10 ,)1()(1

=<<-==-k p p p k P k ξ

4.设),(ηξ服从二维正态分布);,;,(2

22

121r a a N σσ，0=r 是ηξ,独立的（ ③ ）。 ①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.

③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.

5. 设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为（ ③ ）。

① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布

三、（满分20分）

（1）把长度为a 的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概率。

解：设y x 、分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为)(y x a +-，则

{}a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(，

又设

A =“三条线段能构成一个三角形”

={}

x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<<>

+2,2,2,a y a x a y x y x ,

A 的面积为8

)2(212

2a a =

⋅，则 41

2

81)(22

==Ω=a

a

A A P 的面积的面积。

（2）炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为、、,而在各处射击时命中目标的概率分别为、、,现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解：设A 表示“目标被击中”，1B 表示“炮弹距目标250米射出”，2B 表示“炮弹距目标200米射出”，3B 表示“炮弹距目标150米射出”，

23

1

2.02.01.07.005.01.005.01.0)

()()

()()(3

1

111=

⨯+⨯+⨯⨯=

=

∑=i i

i

B A P B P B A P B P A B P = 四、（满分16分）设ηξ,的密度函数为

()其他

1

00

8,<<<⎩⎨

⎧=y x xy

y x p

求：（1）求ηξ,的边际密度函数；（2）ηξ,是否相互独立？为什么？（3）()

y x p ；（4）ηE 。

解：(1)

()

.

100

4)(,

100141

00

8),()(3

2

1

其他

同理其他其他

<<⎩⎨

⎧=<<⎩

⎨⎧-=<<⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞

+∞

-y y y p x x x x ydy

x dy y x p x p x

ηξ

（2）.)()(),(不独立与，故因为ηξηξy p x p y x p = （3）当10<

()其它

其它y

x y

x

y x y xy y x p <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪

⎨⎧=00

200482

3