弹性力学期末复习

弹 性 力 学
Elasticity Theory
简答题
1、弹性力学的基本假定及其应用？何谓理想弹性体？
2、弹性力学与材料力学、结构力学的异同点？弹性力学的研 究方法？
3、平面应力和平面应变问题的异同点。
4、圣维南原理及其应用。 5、相容方程的基本概念及其作用。 6、平面问题中应力分量在什么情况下与材料本身的性质无关？ 7、常体力情况下，平面问题中应力函数必须满足那些条件？
y
与 无关
f ( )
P
sin
P
f ( )sin
荷载形式与应力函数的关系
应力分量中 的幂次
N
应力函数
cos
f ( ) cos
cos 2
f ( ) cos 2
z / 2 z
• 在三结点三角形单元中，对于位移分量：
u a1 a2 x a3 y, v a4 a5 x a6 y
g -- ML-2S-2
-- 无量纲
f ( g, ) x g ( g, ) y
应力--
应力函数--
Ax3 Bx 2 y Cxy 2 Dy3
•
设有矩形截面的竖柱，容重为P, P g q作用，求应力分量。
O
x
在右侧面上受到均布剪力
采用半逆解法。
x 0
yf ( x) g ( x)
简答题
8、逆解法与半逆解法。
9、三种接触状态及其边界条件。 10、孔口应力集中现象。 11、最小势能原理、虚功原理。 12、有限单元法的基本思想和基本原理。
13、三角形单元的位移模式及其满足的条件、三结点三角形单 元形函数的含义及其基本性质。
14、单元劲度矩阵中kij与整体劲度矩阵中Kij各表示什么含义？
e O a b F M C x
y
• 边长为b的正方形薄板，板周边上受到拉、压和剪切荷 载（集度为q）。设板中心有个小孔，其半径为a(a<<b)， 试求孔边最大和最小正应力。已知该板只在左右两边受 0, 均布拉力q时，孔边的应力表达式为：
q (1 cos 2 )
15、薄板弯曲问题中薄板的定义及其基本假定。
16、薄板的弹性曲面微分方程
写出下列受力体的边界条件
q1
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
M
O
x
h
y
q2
Q
y
O
P
x
b
y
O
q
2 2
0
h
x
y
写出下列受力体的边界条件
P
P
O

a b

ρ
x
M
x
O
q
y
y
写出下列受力体的边界条件
薄板弯曲的边界条件
O
a
C
x
b
A B
y
•
已经求得一点的应力状态， x 100MPa, y 50MPa, xy 10 50MPa 试求：（1）主应力和主应力方向，并画图表示。 （2）最大和最小剪应力及其方向，并画图表示。 （3）作用在过此点的平面3x+4y=1沿着坐标轴方向 的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。
2
2C

A
2C
0
荷载形式与应力函数的关系
如图由内外半径分别为阿a,b的小圆筒，外套一个内外半径为b,c的大圆筒 组成的组合筒，小圆筒内壁受到均布压力q的作用,小圆筒的弹性模量和泊 松比为E1, 1 ,大圆筒的泊松比为E2, 2,
（1）试求小圆筒的应力分量和厚度的改变。
•
某一平面问题的应力表达式如下，试求A,B,C的值（体力不计），并 求其应变分量。 2 3
x xy Ax 3 y Bxy 2 2 xy By3 Cx2 y
•
图中三角形悬臂梁只受到重力作用，梁的密度为 ，试求梁的应 力分量。
L
x
O

g
y
采用半逆解法，量纲分析法。 应力--ML-1S-2
（2）假设大圆筒的弹性模量或者厚度趋于无穷大，试求小圆筒的应力分量
qa b
已知轴对称平面应力问题的应力分量和位移分量表达式：

A
2
c
1 A u [(1 )] 2(1 )C ], u 0 E
2
2C

A
2C
0
相容方程
q
f ( x), g ( x)
g
x 0
y
y
2qy 3x (1 ) Py h h
qx 3x y (2 ) h h
•
如图所示水坝宽度为h，自重为 P g 力分量。
O
h
，水的容重为 ，试求应
y
采用半逆解法。
y xf ( y)
2 y 2 xf ( y) x x3 f ( y) f1 ( y) f 2 ( y) 6
荷载形式与应力函数的关系
假设应力 应力函数
q
O
x
y 0
xf ( y ) f1 ( y )
y
O
x
y f ( y)
x2 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2
y
O
x
y xf ( y)
x3 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 6
y
荷载形式与应力函数的关系
如图由内外筒组成的组合筒，装配前内筒的外半径比外筒的内半径大 ，求 接触压力P，并导出环向预应力的表达式。
a0 b0
c0
已知轴对称平面应力问题的应力分量和位移分量表达式：

A
2
1 A u [(1 )] 2(1 )C ], u 0 E
q
(2)
• 可改写为：
u a1 a2 x
a5 a3 a a3 y 5 y, 2 2
v a4 a6 y
a5 a3 a a3 x 5 x 2 2
• 与式（2－9）对比： u u0 y,
u0 a1 ,
v v0 x
v0 a4 ,

a5 a3 2
•
下列应变分量为一种可能的应变状态，是确定常数A0,A1,B0,B1,C0,C1,C2 之间的关系，并写出其应力分量。
x A0 A1 ( x2 y 2 ) ( x4 y 4 )
y B0 B1 ( x2 y 2 ) ( x4 y 4 )
xy C0 C1 xy( x2 y 2 C2 )
q q b b x y q
q
荷载形式与应力函数的关系
应力分量中 的幂次 应力函数
M O
x
0
f ( )
y
P
O
x
q

f ( )
y
O
x
q1

2
2 f ( )
y
荷载形式与应力函数的关系
q
O
应力分量中 的幂次
应力函数
x
q2 q1
3
3 f ( )
荷载形式与应力函数的关系
楔形体右侧面受到均布荷载q的作用，见图，试求其应力分量。
y
0

q
, , , q
q

ML-1S-2 L ML-1S-2
x
Nq
N为无量纲量的组合
2 f ( )
• 如图所示的曲杆，一端固定，而另一端C处受到集中力F与力 矩M 的作用，若用 作为应力函数来求解该问题，试求 出M 与F之间应满足的关系，并求解应力分量。
x
g
………..
x
4 y2 3 x ( 2 2 ) xy Px h h 5 h
2 x2
2 y3 3 y 1 y ( 3 )x 2h 2 3 h 2 3y 3 2 y 3y h xy ( 3 ) x ( 3 )y 4h 80 h h 10h
因而反映了刚体的平移和转动。 • 将位移分量代入几何方程，得到: x a2 , y a6 , xy a3 a5
反映了常量的线应变和切应变。
位移分量 u a1 a2 x a3 y, v a4 a5 x a6 y ,反映了相 邻单元之间的位移连续性。 （1）对于图示的两个相邻单元, ijm 和ipj，它们在结点i和j具有相同的位移。 （2）上式位移分量在每个单元都是坐标的线性函数，在公共边界ij上也是线性变化， 所以在相邻边界ij上任意一点都有相同位移。 • （3）在每个单元的内部，线性函数是单值连续函数，因而位移也是连续的。
y
p i
j
O
u a1 a2 x a3 xy, v b1 b2 x b3 xy
m x
平面三角形三结点的位移分量取为下式，是否满足收敛性要求，并说明理由。
计算并写出下列三结点三角形单元的节点荷载列阵
y
m(1, 5) j (6, 4)
q
i(3, 2))
o
x
1 im 3
(1)
P
W
(3) (4)