离散数学(1)期末考试

清华大学本科生考试试题姓名__________ 班号__________ 学号______________
考试课程《离散数学1》2016年1月8日（A卷）（共2页——正反两面）
该页面的所有题目的解答直接写在这张试题纸上，该试题纸一并上交。

背面的题目写在答题本上
一、选择题（共13分，每空1分）在下列各小题中选择其中的一种答案，标注在小标题后面的括号中
1.（）简而言之，命题逻辑的公理系统是
A. 用来建立公理的系统；
B. 由公理产生推理规则的系统；
C. 用来完善已有公理的系统；
D. 从精选的几条公理出发，根据规定的演绎规则，推导出一系列定理的形式符号系统。

2.（）孔子曰：“己所不欲，勿施于人。

”以下哪一选项不是这句话的逻辑推论？
A. 只有己所欲，才能施于人。

B. 除非己所欲，否则不施于人。

C. 若己所欲，则施于人。

D. 凡施于人的都应该是己所欲的。

3.（）与连续统假设（CH）的主要内容最接近的是：满足ℵ0<K<ℵ1成立的基数K
A. 已完整证明K肯定不存在；
B. 猜想K不存在；
C. 猜想K存在但数值待定；
D.K已找到
4.（）根据量词的定义，若(∃x)P(x)=F成立，试从下面选择一个最准确清晰的描述：
A. 对所有的x∈D，都有P(x)=F。

B. 至少存在一个x0∈D，使P(x0)=F。

C. 根据P(x)来定。

5.（）下面所有正确的联结词完备集是 A. 1,6; B. 1,2,3,5; C. 1,2,3,5,6; D. 1,2,3,
6. 其中
1.{¬，⋁，⋀};
2.{¬，⋀};
3.{¬，⋁};
4.{⋁，⋀};
5.{¬，→};
6.{↑}.
6.非空集合A上的恒等关系I A是（）；全关系E A是（）；空关系∅是（）。

A. 偏序关系但不是等价关系
B. 等价关系但不是偏序关系
C. 既是等价关系又是偏序关系
D. 既不是等价关系也不是偏序关系
7.（）对任意集合A，B和C，若A∪B=A∪C，且A∩B=A∩C，则B=C。

（标出√或×）
8.（）不存在这样的关系：它既不满足自反性，也不满足非自反性。

（标出√或×）
9.（）不存在这样的关系：它既不满足对称性，也不满足反对称性。

（标出√或×）
10.（）不存在这样的关系：它既满足对称性，同时又满足反自反性。

（标出√或×）
11.（）若希望所求关系R的闭包同时具有自反性(r)、对称性(s)和传递性(t)这三种性质，则可先求
r(R)，然后求出sr(R)，最后再求tsr(R)。

（标出√或×）
二、填空题（共19分，每空1分）完成下列计算或填空。

1.（2分）设A={∅,b,{2}}，则A+=_____________ P(A)=___________________________
2.（6分）对n个命题变元，可定义____________个n元命题联接词。

设A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，从A到B不同的二元关系共有__________个？|A×B|=_______
从A到B不同的函数共有___________个？在集合A上，可定义________个不同的等价关系？
在集合B上，写出等价类数目最多的那个等价关系R_________________________________
3.（4分）对有限集合A和B，|A|=m，|B|=n，试给出下列情形m和n应满足的条件：、
(1)_______时存在从A到B的单射函数；(2)________时存在从A到B的满射函数；
(3) _______时存在从A到B的双射函数；且有__________个不同的双射函数。

4.（6分）按照无穷公理表示的自然数以及连续统假设，用最简洁的形式写出下列计算结果。

⋃99=____________，⋂100=___________，⋂{96,97}=___________
|N N|=___________ |R R|=__________ |N P|=___________ 注：N P={n|n∈N∧n是素数}
5.（1分）在希尔伯特提出的23个数学问题中连续统假设位列第（），故又称希尔伯特第（）问题。

（注：本页的题目均须写在答题本上）
三、形式化下列语句，论域均为总论域（共10分，其中1-2小题每题2分，第3-4小题每题3分）
1.没有最大的素数。

2.天下乌鸦一般黑（要求写出两种形式，一种仅用全称量词，另一种仅用存在量词）。

3.斐波那契数列中的每个数有且仅有一个后继。

4.并非所有人都天赋好，而且天赋不好的人未必就不成功（仅需写出一种形式但全称和存在量词均需
出现）
四、写出计算与构造过程和结果（共15分，第1题2分，第2题5分，第3,4,5题每题4分）
1.用空集∅构造一个集合序列S0,S1,⋯,S i−1，满足|S i|=i，且S i⊆S i+1，试写出序列的前4个集合
S0,S1,S2,S3。

2.P↓Q=¬(P∨Q)，试仅用或非联结词↓分别表示出¬P，P∨Q，P→Q和P↔Q（说明：详细运算步
骤，要求结果尽量简洁。

换句话说，当使用或非门分别实现上述每种运算时，要求所用的或非门最少）。

3.对以下命题：“集合A上的一个关系R，如果R是对称的和传递的，则R一定是自反的，因为xRy，yRx
蕴含xRx。

”先指出该命题的错误，然后找出反例——在集合{a,b,c}上构造一个关系，使其是对称的和传递的，但不是自反的。

4.求下式的主析取范式和主合取范式：¬(P↔Q)∧(¬P→R)（写出步骤，最后结果用数字表示的简
洁形式）。

5.求[99,1000]的范围内不能被5,6,8中任一个数整除的数的个数。

五、证明题第一部分（共12分。

第1题3分，第2题5分，第3题4分）
1.(∃x)(P(x)→Q(x))=(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)是否正确，如正确试给出证明，如错误需举出反例。

2.利用推理规则或归结推理法证明下列推理：
(∀x)(P(x)→Q(x))∧(∀x)(R(x)→¬Q(x))⇒(∀x)(R(x)→¬P(x))
3.若R和S是A上的关系，且S={<a,b>|(∃c)(aRc∧cRb)}。

若R是等价关系，证明S也是等价关系。

六、设A={a,b,c,d,e,f,g,h}，R=I A∪{<a,c>,<a,d>,<a,e>,<b,c>,<b,d>,<b,e>,<c,e>,<d,e>,<f,g>}，
试完成以下4个步骤：
1)说明R是A上的偏序关系；
2)画出偏序集<A,R>的哈斯图；
3)写出<A,R>中所有最长的链和所有最长的反链；
4)对<A,R>指出其极大元、极小元、最大元和最小元。

七、证明题第二部分（共12分）
1.已知A⊕B=A⊕C，证明B=C。

2.设A、B和C是任意的集合，证明：(A−B)−C=(A−C)−(B−C)
3.用等势定义证明(0,c)≈R，其中R为实数域(−∞,+∞)，c为大于0的具体实数。

八、在会议室安装控制同一电灯L的3个开关K1、K2、K3，使得改变任一开关的状态，即可改变会议室电
灯的明暗。

试分别完成以下3个步骤：
1.用K1、K2、K3列写出L的真值表；
2.写出L的逻辑表达式；
3.用所学的联结词将L的逻辑表达式化为最简形式（指公式长度最短或字符数最少）
写出必要的过程或解释说明。