离散数学(1)期末考试

清华大学本科生考试试题姓名__________ 班号__________ 学号______________

考试课程《离散数学1》2016年1月8日（A卷）（共2页——正反两面）

该页面的所有题目的解答直接写在这张试题纸上，该试题纸一并上交。背面的题目写在答题本上

一、选择题（共13分，每空1分）在下列各小题中选择其中的一种答案，标注在小标题后面的括号中

1.（）简而言之，命题逻辑的公理系统是

A. 用来建立公理的系统；

B. 由公理产生推理规则的系统；

C. 用来完善已有公理的系统；

D. 从精选的几条公理出发，根据规定的演绎规则，推导出一系列定理的形式符号系统。

2.（）孔子曰：“己所不欲，勿施于人。”以下哪一选项不是这句话的逻辑推论？

A. 只有己所欲，才能施于人。

B. 除非己所欲，否则不施于人。

C. 若己所欲，则施于人。

D. 凡施于人的都应该是己所欲的。

3.（）与连续统假设（CH）的主要内容最接近的是：满足ℵ0

A. 已完整证明K肯定不存在；

B. 猜想K不存在；

C. 猜想K存在但数值待定；

D.K已找到

4.（）根据量词的定义，若(∃x)P(x)=F成立，试从下面选择一个最准确清晰的描述：

A. 对所有的x∈D，都有P(x)=F。

B. 至少存在一个x0∈D，使P(x0)=F。

C. 根据P(x)来定。

5.（）下面所有正确的联结词完备集是 A. 1,6; B. 1,2,3,5; C. 1,2,3,5,6; D. 1,2,3,

6. 其中

1.{¬，⋁，⋀};

2.{¬，⋀};

3.{¬，⋁};

4.{⋁，⋀};

5.{¬，→};

6.{↑}.

6.非空集合A上的恒等关系I A是（）；全关系E A是（）；空关系∅是（）。

A. 偏序关系但不是等价关系

B. 等价关系但不是偏序关系

C. 既是等价关系又是偏序关系

D. 既不是等价关系也不是偏序关系

7.（）对任意集合A，B和C，若A∪B=A∪C，且A∩B=A∩C，则B=C。（标出√或×）

8.（）不存在这样的关系：它既不满足自反性，也不满足非自反性。（标出√或×）

9.（）不存在这样的关系：它既不满足对称性，也不满足反对称性。（标出√或×）

10.（）不存在这样的关系：它既满足对称性，同时又满足反自反性。（标出√或×）

11.（）若希望所求关系R的闭包同时具有自反性(r)、对称性(s)和传递性(t)这三种性质，则可先求

r(R)，然后求出sr(R)，最后再求tsr(R)。（标出√或×）

二、填空题（共19分，每空1分）完成下列计算或填空。

1.（2分）设A={∅,b,{2}}，则A+=_____________ P(A)=___________________________

2.（6分）对n个命题变元，可定义____________个n元命题联接词。

设A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，从A到B不同的二元关系共有__________个？|A×B|=_______

从A到B不同的函数共有___________个？在集合A上，可定义________个不同的等价关系？

在集合B上，写出等价类数目最多的那个等价关系R_________________________________

3.（4分）对有限集合A和B，|A|=m，|B|=n，试给出下列情形m和n应满足的条件：、

(1)_______时存在从A到B的单射函数；(2)________时存在从A到B的满射函数；

(3) _______时存在从A到B的双射函数；且有__________个不同的双射函数。

4.（6分）按照无穷公理表示的自然数以及连续统假设，用最简洁的形式写出下列计算结果。

⋃99=____________，⋂100=___________，⋂{96,97}=___________

|N N|=___________ |R R|=__________ |N P|=___________ 注：N P={n|n∈N∧n是素数}

5.（1分）在希尔伯特提出的23个数学问题中连续统假设位列第（），故又称希尔伯特第（）问题。

（注：本页的题目均须写在答题本上）

三、形式化下列语句，论域均为总论域（共10分，其中1-2小题每题2分，第3-4小题每题3分）

1.没有最大的素数。

2.天下乌鸦一般黑（要求写出两种形式，一种仅用全称量词，另一种仅用存在量词）。

3.斐波那契数列中的每个数有且仅有一个后继。

4.并非所有人都天赋好，而且天赋不好的人未必就不成功（仅需写出一种形式但全称和存在量词均需

出现）

四、写出计算与构造过程和结果（共15分，第1题2分，第2题5分，第3,4,5题每题4分）

1.用空集∅构造一个集合序列S0,S1,⋯,S i−1，满足|S i|=i，且S i⊆S i+1，试写出序列的前4个集合

S0,S1,S2,S3。

2.P↓Q=¬(P∨Q)，试仅用或非联结词↓分别表示出¬P，P∨Q，P→Q和P↔Q（说明：详细运算步

骤，要求结果尽量简洁。换句话说，当使用或非门分别实现上述每种运算时，要求所用的或非门最少）。

3.对以下命题：“集合A上的一个关系R，如果R是对称的和传递的，则R一定是自反的，因为xRy，yRx

蕴含xRx。”先指出该命题的错误，然后找出反例——在集合{a,b,c}上构造一个关系，使其是对称的和传递的，但不是自反的。

4.求下式的主析取范式和主合取范式：¬(P↔Q)∧(¬P→R)（写出步骤，最后结果用数字表示的简

洁形式）。

5.求[99,1000]的范围内不能被5,6,8中任一个数整除的数的个数。

五、证明题第一部分（共12分。第1题3分，第2题5分，第3题4分）

1.(∃x)(P(x)→Q(x))=(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)是否正确，如正确试给出证明，如错误需举出反例。

2.利用推理规则或归结推理法证明下列推理：

(∀x)(P(x)→Q(x))∧(∀x)(R(x)→¬Q(x))⇒(∀x)(R(x)→¬P(x))

3.若R和S是A上的关系，且S={|(∃c)(aRc∧cRb)}。若R是等价关系，证明S也是等价关系。

六、设A={a,b,c,d,e,f,g,h}，R=I A∪{,,,,,,,,}，

试完成以下4个步骤：

1)说明R是A上的偏序关系；

2)画出偏序集的哈斯图；

3)写出中所有最长的链和所有最长的反链；

4)对指出其极大元、极小元、最大元和最小元。

七、证明题第二部分（共12分）

1.已知A⊕B=A⊕C，证明B=C。

2.设A、B和C是任意的集合，证明：(A−B)−C=(A−C)−(B−C)

3.用等势定义证明(0,c)≈R，其中R为实数域(−∞,+∞)，c为大于0的具体实数。

八、在会议室安装控制同一电灯L的3个开关K1、K2、K3，使得改变任一开关的状态，即可改变会议室电

灯的明暗。试分别完成以下3个步骤：

1.用K1、K2、K3列写出L的真值表；

2.写出L的逻辑表达式；

3.用所学的联结词将L的逻辑表达式化为最简形式（指公式长度最短或字符数最少）

写出必要的过程或解释说明。