单元质量评估

单元质量评估

(第一讲)

(90分钟120分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2021·聊城高二检测)假如a,b,c满足c

A.ab>ac

B.c(b-a)>0

C.cb2

D.ac(a-c)<0

【解析】选C.由已知可得,a>0,c<0,b-a<0,a-c>0.故A,B,D均正确,当b=0时,C 不正确.

2.若-4

A. B.

C.-1

D.1

【解析】选C.=-[(1-x)+]≤-1.

当且仅当x=0时,等号成立.

3.(2021·西安高二检测)函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为( )

A.2

B.

C.4

D.6

【解析】选A.y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2.

4.已知x>1,y>1,且lgx+lgy=4,则lgxlgy的最大值是( )

A.4

B.2

C.1

D.

【解析】选A.由x>1,y>1,故lgx>0,lgy>0,

因此4=lgx+lgy≥2

因此lgxlgy≤4,当且仅当x=y=100时取等号.

5.(2021·宿州高二检测)不等式|x2-x|<2的解集为( )

A.(-1,2)

B.(-1,1)

C.(-2,1)

D.(-2,2)

【解析】选A.原不等式可化为-2

解得-1

6.(2021·广州高二检测)在下列函数中,最小值是2的是( )

A.y=+(x∈R且x≠0)

B.y=lgx+(1

C.y=3x+3-x(x∈R)

D.y=sinx+

【解析】选C.A中,当x<0时,y<0;B中,因为12;故A,B中最小值都不是2.

D中,02.无最小值.

只有C正确.

7.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是

( ) A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.因为a+b=2×=1,

因此α+β=a++b+=1++

=1++=3++≥5,

当且仅当a=b=时等号成立.

8.设0

( ) A.(a-b)2 B.(a+b)2

C.a2b2

D.a2

【解题指南】本题的关键是利用x+(1-x)=1结合差不多不等式加以求解.

【解析】选B.由+=[x+(1-x)]

=a2+b2++

≥a2+b2+2ab=(a+b)2,

当且仅当=时等号成立,

因此m≤(a+b)2,m的最大值为(a+b)2.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

9.(2021·东营高二检测)不等式|x+3|-|x-1|=a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范畴为.

【解析】设f(x)=|x+3|-|x-1|,

则f(x)≤|(x+3)-(x-1)|=4,

因此原不等式恒成立等价于a2-3a≤4.

解得-1≤a≤4.

答案:[-1,4]

10.(2021·广州高二检测)函数f(x)=3x+(x>0)的最小值为.

【解析】f(x)=3x+=++≥3=9,当且仅当=,即x=2时取等号. 答案:9

【补偿训练】函数y=x2+(x>0)的最小值是( )

A. B.

C. D.

【解析】选A.y=x2+=x2++

≥3=3=.

当且仅当x2=即x =时等号成立.

11.(2021·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范畴是.

【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,

又f(x)是偶函数,

因此由f(2|a-1|)>f(-)=f()知,2|a-1|<,

即|a-1|<,解得

答案:

12.(2021·连云港高二检测)已知关于x的方程x2+x++=0有实根,则实数a的取值范畴为.

【解析】因为关于x的方程x2+x++=0有实根,因此Δ=1-4(+)≥0,

即+≤,

解得0≤a≤.

答案:0≤a≤

三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

13.(10分)已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范畴.

【解析】因为x>0,y>0,因此30=x+2y+xy

≥2+xy=2+xy,

因此()2+2-30≤0,

因此(-3)(+5)≤0,

因此0<≤3,即0

当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立.

因此xy的取值范畴为(0,18].

【一题多解】本题还可用消元的方法:

因为x+2y+xy=30,因此y=,

因此xy=x·=

=

=-x+32-=-(x+2)-+34,

又因为x>0,

因此(x+2)+≥2=16,

当且仅当x+2=,即x=6时,等号成立,

因此xy≤-16+34=18,

当且仅当x=6,y=3时等号成立.

因此xy的取值范畴是(0,18].

14.(10分)(2021·郑州高二检测)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.