基于小波包的图像压缩及matlab实现

基于小波包的图像压缩及matlab实现摘要：小波包分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用，它在信号处理、模式识别、图像分析、数据压缩、语音识别与合成等等许多方面都取得了很有意义的研究成果。

平面图像可以看成是二维信号，因此，小波包分析很自然地应用到了图像处理领域，如在图像的压缩编码、图像消噪、图像增强以及图像融合等方面都很好的应用。

本文将对小波包分析在图像处理中的应用作以简单介绍。

关键词：小波包图像处理消噪1.小波包基本理论1.1 小波包用于图像消噪图像在采集、传输等过程中，经常受到一些外部环境的影响，从而产生噪声使得图像发生降质，图像消噪的目的就是从所得到的降质图像中去除噪声还原原始图像。

图像降噪是图像预处理中一项应用比较广泛的技术，其作用是为了提高图像的信噪比突出图像的期望特征。

图像降噪方法有时域和频域两种方法。

频率域方法主要是根据图像像素噪声频率范围，选取适当的频域带通过滤波器进行滤波处理，比如采用Fourier变换（快速算法FFT）分析或小波变换（快速算法Mallat 算法）分析。

空间域方法主要采用各种平滑函数对图像进行卷积处理，以达到去除噪声的目的，如邻域平均、中值（Median）滤波等都属于这一类方法。

还有建立在统计基础上的lee滤波、Kuan滤波等。

但是归根到底都是利用噪声和信号在频域上分布不同进行的：信号主要分布在低频区域。

而噪声主要分布在高频区域，但同时图像的细节也分布在高频区域。

所以，图像降噪的一个两难问题就是如何在降低图像噪声和保留图像细节上保持平衡，传统的低通滤波方法将图像的高频部分滤除，虽然能够达到降低噪声的效果，但破坏了图像细节。

如何构造一种既能够降低图像噪声，又能保持图像细节的降噪方法成为此项研究的主题。

在小波变换这种有力工具出现之后，这一目标已经成为可能。

基于小波包变换消噪方法的主要思想就是利用小波分析的多尺度特性，首先对含有噪声的图像进行小波变换，然后对得到的小波系数进行阈值化处理，得到新的小波系数，对其进行反变换，这样我们就得到了消噪之后的图像，从而实现了对图像的恢复。

目前，已经发展了许多小波变换与传统图像消噪方法相结合的新的图像消噪算法，它们吸收二者的优点，从而提高了图像的消噪效果，得到了较好的应用。

1.2. 小波包用于图像压缩当今，我们正处在一个高速发展的信息时代，而信息的本质就是要求进行存储、交流和传输。

信息有多种形式，包括文字、声音、静止图像、视频图像等等。

在众多的信息形式中，图像信息最具有直观性和生动性，从而成为人们需求的主要信息形式。

然而由于图像信息的数据量太大，作数字传输时占有的信道频带有非常宽的问题，直接制约着图像信息的存储和传输。

因此，为了有效地利用现代通讯业务和信息处理中的宝贵资源，需要对大量的数据信息，尤其是图像信息进行压缩，因此图像数据压缩技术和解压缩技术成了多媒体技术的关键技术之一。

近年来，由于“海量”多媒体信息的出现，经典图像压缩算法已不能满足实际应用的需要，迫切需要有更高压缩效率和适用于各种需要的新压缩算法。

经典压缩算法一般是在时域或者频域进行分析和操作，因而经典图像压缩算法只是利用了图像的部分特征，研究人员希望同时利用两个域的特征，兼容时域和频域分析的优越性。

另外经典压缩算法一般使用的DCT和傅立叶变换是用余弦曲线和正弦曲线作为它们的正交函数基，但这些函数都不是紧支集。

而我们在实际应用中处理的大部分是瞬态信号。

特别地，在图像处理中许多重要特征也是空间位置高度局部化的，如果使用一般的变换，这些瞬态和局部化成分的信息就很难得到最佳表示。

实际上，DCT和傅立叶变换能用余弦和正弦函数表示任何分析函数，甚至是一个瞬态信号，但这种表示在函数频谱上会呈现相当混乱的构成。

为了克服这种缺陷，研究人员已经发现若干种使用优先宽度的基函数，我们称之为小波。

使用这些基函数的变换被称之为小波变换。

利用小波变换对图像进行压缩是当前一个研究热点。

小波包分析是近些年在小波分析的基础上发展起来的,将图像在小波包最优基下展开,利用小波包最优基极好的空间、尺度定位性,使得图像的小波包变换系数在小波变换域尽可能的集中,从而使在不降低压缩图像的质量情况下,进一步地提高图像压缩比成为可能。

2.小波包分析短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。

多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分(具有等Q 结构)。

小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。

关于小波包分析的理解，这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图2.1。

图2-1 小波包分解树图2-1中，A 表示低频，D 表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树(也即尺度数)。

分解具有关系：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。

2.1 小波包的定义在多分辨分析中，j zj W R L ∈⊕=)(2 ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert 空间)(2R L 分解为所有子空间)(Z j W j ∈的正交和的。

其中， j W 为小波函数)(t ψ的闭包(小波子空间)。

现在，对小波子空间j W 按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。

一种自然的做法是将尺度空间j V 和小波子空间j W 用一个新的子空间n j U 统一起来表征，若令jj j j WU V U ⎪⎩⎪⎨⎧==10Z j ∈则Hilbert 空间的正交分解j j j W V V ⊕=+1即可用n j U 的分解统一为1001j j j U U U⊕=+ Z j ∈ (2.22)定义子空间n j U 是函数是函数)(t U n 的闭包空间，而)(t U n 是函数)(2t U n 的闭包空间，并令)(t U n 满足下面的双尺度方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∑∑∈+∈Z k n n Zk n n k t u k g t u k t u k h t u )2()(2)()2()(2)(122 (2.23) 式中，)1()1()(k h k g k --=，即两系数也具有正交关系。

当n=0时，以上两式直接给出⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∑∑∈∈Z k k Zk k k t u g t u k t u h t u )2()()2()(0100 (2.24) 与在多分辨分析中，)()(t t ψφ和满足双尺度方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∑∑∈∈Z k k Zk k k t g t k t h t )2()()2()(φψφφ {}{}22l g l h Z k k Z k k ∈∈∈∈ (2.25) 相比较，)(0t u 和)(1t u 分别退化为尺度函数)(t φ和小波基函数)(t ψ。

式(2.24)是式(2.22)的等价表示。

把这种等价表示推广到+∈Z n (非负整数)的情况，即得到(2.23)的等价表示为121++⊕=n j nj nj UU UZ j ∈；+∈Z n (2.26)定义(小波包) 由式(2.23)构造的序列{})(t u n (其中+∈Z n )称为由基函数)(0t u =)(t φ确定的正交小波包。

当n=0时，即为(2.24)式的情况。

由于)(t φ由k h 唯一确定，所以又称{}Z n n t u ∈)(为关于序列{}k h 的正交小波包。

2.2 小波包的性质定理1 设非负整数n 的二进制表示为∑∞=-=112i i in ε,i ε=0或1。

则小波包)(w u n ∧的傅立叶变换由下式给出：∏∞=∧=1)2/()(i jn w m w u iε(2.27)式中∑+∞-∞=-==k jkwek h w H w m )(21)()(0∑∞-∞=-==k jkwek g w G w m )(21)()(1定理 2 设{}Z n n t u ∈)(是正交尺度函数)(t φ的正交小波包，则kln n l t u k t u δ>=--<)(),(，即{}Z n n t u ∈)(构成)(2R L 的规范正交基。

2.3 小波包的空间分解令{}Z n n t u ∈)(是关于k h 的小波包族，考虑用下列方式生成子空间族。

现在令n=1，2，…；j=1，2，…，并对(2.22)式作迭代分解，则有72625252422131211,--------⊕=⊕=⊕==j j j j j j j j jj UUU U U UUUU W因此，我们很容易得到小波子空间j W 的各种分解如下：726252423121------⊕⊕⊕=⊕=j j j j j j j j UUUUW U U W…⊕⊕=+--122kkkj kj j UUW (1)122-+--⊕⊕k k k j kj U U …⊕⊕=+12020jjU U W j …⊕1201-+j UjW空间分解的子空间序列可写作mj lU+-21，m=0，1，…，l 2-1；l=1，2，…。

子空间序列mj lU +-21的标准正交基为{}Z k k t u l j m j l∈--+--:)2(222/)1(。

容易看出，当l=0和m=0时，子空间序列m j lU +-21简化为1j U =j W ，相应的正交基简化为)2(2)2(22/12/k t k t u jj jj -=-----ψ，它恰好是标准正交小波族{})(,t kj ψ。

若n 是一个倍频程细划的参数，即令n=l 2+m ，则我们有小波包的简略记号=)(,,t nk j ψ)2(22/k t jn j ---ψ，其中，)2(2)(22/t u t lm l n l +=ψ。

我们把)(,,t nk j ψ称为既有尺度指标j 、位置指标k 和频率指标n 的小波包。

将它与前面的小波)(,,t k j ψ作一比较知，小波只有离散尺度j 和离散平移k 两个参数，而小波包除了这两个离散参数外，还增加了一个频率参数n=l 2+m 。

正是这个频率新参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率低的缺陷，于是，参数n 表示)2(2)(22/t u t lm l n l +=ψ函数的零交叉数目，也就是其波形的震荡次数。

定义(小波库) 由)(t n ψ生成的函数族)(,,t nk j ψ(其中+∈Z n ；j ，Zk ∈)称为由尺度函数)(t ψ构造的小波库。

推论1.1 对于每个j=0，1，2，…j Zj W R L ∈⊕=)(2=…⊕⊕⊕⊕⊕-302001U U W W … (2.28)这时，族{)(,,k t u u n k j -|j=…，-1，0；n=2，3，…且Z k ∈} (2.29) 是)(2R L 的一个正交基。