初三数学-平行四边形经典例题

初三数学
平行四边形经典例题【练习】
一、选择题
1. 下列命题正确的是( )
(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)、对角
线相等的四边形一定是矩形
(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D) 、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2. 已知平行四边形ABC的周长32, 5AB=3BC,则AC勺取值范围为()
A. 6<AC<10;
B. 6<AC<16 ;
C. 10<AC<16 ;
D. 4<AC<16
3. 两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是( )
(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4
4. 延长平形四边形ABCD勺一边AB到E,使BE^ BD连结DE交BC于F,若/ DAB= 120° , / CFE= 135°, A吐1,则AC 的长为( )(A) 1 (B)
1.2 (C) ^2 (D) 1.5
5 .若菱形ABC中, AE垂直平分BC于E, AE= 1cm 则BD勺长是( )
(A) 1cm ( B) 2cm (C) 3cm (D) 4cm
6. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )
(A)互相垂直(B)相等(C)互相平分(D)互相垂直且相等
7. 如图，等腰△ ABC中, D是BC边上的一点，DE// AC, DF// AB AB=5那么四
边
形AFDE勺周长是( )
(A) 5
(B) 10 (C)
15
(D) 20
（第7题） （第8题）
（第10题）
8. 如图，将边长为8cm fi 勺正方形纸片ABCD
边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN 贝懺段CN 勺长是（ ）
(A ) 3cm
(B ) 4cm
(C ) 5cm
(D ) 6cm
9. 如图，在直角梯形ABCD 中, AD// BC ，/ B=90°，AC 将梯形分成两个三角形， 其中△ ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是（）.
（A ）9 cm （B ）12cm
（c ） 9 cm （D ）18 cm
2
10. 如图，在周长为20cm 的^□ ABCI 中, A 盼AD ，AC BD 相交于点O, OELBD 交AD
于巳则厶ABE 勺周长为（
）
(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
11. 如图2,四边形ABCD 为矩形纸片•把纸片 ABC 晰叠，使点B 恰好落在CD
(A ) 4、3
(B ) 33
12. 如图，已知四边形ABCI 中, R 、P 分别是BC CDh 的点,分别是
B
F C
AP 、RP 勺中点，当点P 在CDk 从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是
（）
A 、线段EF 的长逐渐增大
B 、线段EF 的长逐渐减小
C 、线段EF 的长不变 D
、线段EF 的长与点P
13.
在梯形 ABCD 中, AD//BC ，对角线 AC L BD,且
AC 5cm , BD=12c m 则梯 形中位线的长等于（ ）
A. 7.5cm
B. 7 cm
C. 6.5cm
14. 国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏•某广场上 一个形状是
平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜 色的花.
边的中点E 处，折痕为AF 若C — 6,则AF 等于
h ro?
第12题图
D. 6cm
（第 9题）
折叠，使点D 落在BC
A
D
E
'F
橙
绿红H A 紫
F C 第14题
如果有AB // EF // DC , BC // GH // AD，那么下列说法中错误的是（
3. 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为 4cm,5cm 两部分，则这个矩形周长是
4. 已知：平行四边形ABC 的周长是30cm 对角线AC BD 相交于点0, △ A0的周长 比厶B0C 勺周长长5cm ,则这个平行四边形的各边长为 _______ 。

5. 已知：平行四边形 ABCD 中, AE 丄BC 交CB 的延长线于点E , AF 丄CD 交CD 的
3
延长线于点 F , AB+ BC^ CM DA= 32cm BO- AB ,/ EAF= 2/ C,贝 U BE 长
5 为 _____ ，则/ C _____ .
6. 在平面直角坐标系中，点 A 、B 、C 的坐标分别是A( — 2, 5) , B( — 3,— 1), C(1,— 1)，在第一象限内找一点D,使四边形ABCD1平行四边形，那么点D 的 坐标是 __________________ .
8. 如图9( 1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图 10(2)
所示的一个菱形•对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰 与底边长度之间关系的一个正确结论： ________________ .
9. 如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E , F 分别是AB , CD 的 中点，AD BC , PEF 18o ，贝U PFE 的度数是 _________________ .
A.红花、绿花种植面积一定相等 C •红花、蓝花种植面积一定相等 二、填空题
1. 如果四边形四个内角之比1: 2: 3: 形的对角线长为2错误!未找到引用源。

B •紫花、橙花种植面积一定相等 D
•蓝花、黄花种植面积一定相等
4,则这四边形为 _______ 形。

2.若正方 cm 则正方形的面积为 ______ 。

7.已知：如图8,正方形ABCI 中, 对角线AC 和B ［相交于点0,
上的点，若AE = 4cm DF = 3cm 且OEL OF ,
C D
(1)
图9
E 、
F 分别是边AB BC
A
10•如图，菱形ABCD 勺两条对角线分别长6和8,点P 是对角线AC 上的一个动 点，点M N 分别是边AB BC 的中点，贝U PM+PN 的最小值是 _____________ :
BDF=15，则/ CCF=
13.如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点0，过点0的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，AB 2, BC 3，则图中阴影部分的面积为 _________________ . 14、如图，矩形A 1B 1CP 1的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形 A 2B 2CP 2， 再顺次连结四边形A 2B 2CD 2四边中点得到四边形 A 3B 3CD 3，依此类推，求四边 形ABC n D n 的面积是
16、 在平行四边形 ABCD 中，/ C =Z B+Z DJ 则/A= ____ ，/ D =
17、 一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为
18、已知菱形的一条对角线长为 12cm ,面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对 角线长为 ______________ cm
11.如图，在四边形 ABCD 中，E 、F 、G H 分别是 AB BD CD AC
的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形 （14题）
（12题）
（13题）
12、如图所示，C 为矩形ABCI 的对角线交点, DF 平分/ AD （交AC 于 E, BCF F
，Z 15、如图⑴已知 O 是口 ABCD 的对角线交点，AO24, BD = 38, AD = 14，那么 △ OBC 的周长等于
个条件是
A
D
B F
D,
A x
Di
ABCD 还应满足的
一
Bi
Ci
和题图
C
D
⑷
19、 ___________________________________________________________________ 菱形ABCD 中，/ A = 60°,对角线BD 长为7cm ,则此菱形周长 ___________________ cm 。

20、 如果一个正方形的对角线长为 近，那么它的面积 ___________ 。

21、 如图2矩形ABCD 的两条对角线相交于 O,/ AOB= 60°,AB = 8,则矩形对角线 的长 _____ 。

22、 如图 3,等腰梯形 ABCD 中，AD// BC, AB// DE, BC = 8, AB = 6, AD = 5 则厶 CDE 周长 ____ 。

21、 正方形的对称轴有 ___ 条
22、 如图4, BD 是口ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平 行四边形，还需增加的一个条件是 ___________
23、 要从一张长为40cm ,宽为20cm 的矩形纸片中，剪出长为18cm ,宽为12cm 的矩形纸片，最多能剪出 __________ 张。

三、解答题
1.如图，在四边形 ABCD 中,/ A=60° , / B=/ D=90 ,BC=2,CD=3，求 AB 的长
2. 如图，在等腰梯形 ABCD 中, AD// BC,AB=CD=2/ BAD=120 ,对角线AC 平分/
3. 将平行四边形纸片ABC 敢如图方式折叠, 折痕为
EF.
BCD 求等腰梯形ABCD 勺周长。

(1) 求证：△ ABE^A AD F;
B E C
(2) 连接CF,判断四边形AEC是什么特殊四边形？证明你的结论
4. 已知：如图，在梯形ABCD中, AD// BC AB=CD对角线AC BD相交于点E,
/ ADB=60 , BD=10 BE： ED=4： 1，求梯形ABCD勺腰长.
5. 如图，菱形ABCD E, F分别是BC, CD上的点，/ B=Z EAF= 60
/ BAE= 18°求/ CEF的度数
6. 已知：如图，在厶ABC中, ABAC, ADLBC,垂足为点D,人“是厶ABC外角/ CAM 的平分线，CEL AN垂足为点E,
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当厶ABC满足什么条件时,四边形
ADCE1 一个正方形？并给出证明.
(第6题)
9.
B C
7. 如图，四边形 ABCD 中，一组对边 AB=DC=4另一组对边 A[>BC,对角线BD 与边DC 互相垂直，M N 、H 分别是AD BC BD 的中点，且/ ABD=30求：（1） MH 勺长（2）MN 的长。

8. 如图所示，在厶 ABC 中, / BAC=90 ,AD 丄B,BE 平分/ ABC,EF// BC,那么 AE=CF
吗？证明你的结论
如图，ABCD1 正方形，CE// BD, BE= BD ，BE 交 DC 于点A F , 求证：(1)Z BEO 30°
(2) Dm DF
D
E
10. 如图，在正方形ABCD中, P为对角线BD上一点,
PE L BC,垂足为E, PF丄CD垂足为F,
求证：EF= AP
11. 如图，四边形ABCD勺对角线AC BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。

若PE=PF且AP+AE=CP+CF
(1) 求证:PA=PC;
(2) 若AD=12,AB=15,Z DAB=60 ,求四边形ABCD勺面积.
10•如图所示，已知在□ ABCD中E, F分别是AD,
11.已知：如图，E为口ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE= DC连结AE
分别交BC BD于点F、G 连结AC交BD于O,连结OF求证：A吐2OF
12. 如图，在矩形ABC 中，AD=8cm AB=6cm 点A 处有一动点E 以1cm/ s 的速度由 点A 向点B 运动，同时点C 处也有一动点F 以2cm/ s 的速度由点C 向点D 运动，设运动 的时间为x ( s )，四边形EBFD 的面积为y (cm i )，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

21, 如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形,
于F ,/ ADC 的平分线DG 交边AB 于G
(1)线段AF 与GB 相等吗?
(2) 请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使
得△ EFG 为等腰直角三角
E 图 18 B
22, 如图17,已知口 ABCD 中, E 为AD 的中点,
于点E.
(1) 试说明线段CD 与FA 相等的理由；
(2) 若使/ F =Z BCF , □ ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？请你
补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).
图16
CE 的延长线交BA 的延长线 / BCD 的平分线CF 交边AB
23, (08上海市)如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线AC , BD 交于点0 , E 是BD 延长线上的点，且 △ ACE 是等边三角形.
(1) 求证：四边形ABCD 是菱形；
(2) 若 AED 2 EAD ，求证：四边形 ABCD 是正方形.
24，已知：如图19,四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE = BF.请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连 成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线 段相等即可).
(1) 连结 ___________ ; (2) 猜想： _______ = ____ ; (3) 证明：
25,如图20，已知正方形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O, E 是AC 上一 点，连结EB,过点A 作AM 丄BE,垂足为M , AM 交BD 于点F.
(1) 试说明0E = OF ;
如果不成
A
C
(2) 如图21，若点E 在AC 的延长线上，AM 丄BE 于点M ，交DB 的延长线于 点
| | ：丿、，/ F 【* ~7~ A trT f f L-、人 “ _tX 、. i-tTT » I I I ._tX 、.
* 尢人 、、上 由
B
图20 图19 F 图21
13. 如图在直角梯形 ABCD 中, AD// BC, / B=90° AD=24cm,AB=8cm,BC=26c 动点
P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 开始沿CB 向B 以 3cm/s 的速度运动，P,Q 分别从点A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一 点也随之停止运动,设运动的时间t,t 分别为何值时,四边形PQC 助平行四 边形,等腰梯形？
14 已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，/ B = 90o ,AD / BC, AD = 24cm , BC =26cm ,动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/秒的速度运动，动点Q 从C 点 开始沿CB 边向B 以3cm/秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其一 点到端点时，另•
『占也随之停止运动，设运动时间为 边形PQCD 是平行四边形?等腰梯形？
.在厶ABC 中，借助作图工具可以作出中位线 EF,沿着中位线EF 一刀剪切后，用 得到的△ AEF 和四边形EBCF 可以拼接成平行四边形EBCP 接切线与拼图过程如 图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。

(1)在厶ABC 中，增加条件 ____________ ，沿着 _________ 一刀剪切后可以拼成 矩形。

t 秒，t 分别为何值时，四
（2）在厶ABC中,增加条件_________ ，沿着 ________
刀剪切后可以拼成菱形。

（3）在厶ABC中,增加条件_________ ，沿着 ________
刀剪切后可以拼成正方形。

（4）在厶ABC（ A盼AQ中，一刀剪切后也可以拼接成等
腰梯形，画出切线与拼图示意图
15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）；
将余下的部分分成4个全等的图形（图已）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。

（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）；
（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；
（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。

16. 如图是王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王
大爷设计一条引水渠的方案，画出图形，并简要写出作图的主要步骤
解:作图步骤:
B
17. ⑴如图25-1，在四边形ABCD中，A吐AD, / B=Z D= 90°, E、F分别是边BC CD上的点，且/ EAF』/ BAD求证:EF = BE^ FD;
2
(2) 如图25-2 在四边形ABCD中, AB= AD / B+Z D= 180°, E、F 分别是边BC CD上的点，且Z EAF)Z BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.
2
(3) 如图25-3在四边形ABCD中, A吐AD,
1
Z B+Z ADG 180°, E、F分别是边BC CD延长线上的点，且Z EAF=^ Z BAD, (1)
2
中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明•
18•将边长OA=8 OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点, 顶点C、A分别在x轴和y轴上•在OA、OC边上选取适当的点E、F,连接EF,将厶EOF
沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处.
图①图②图③(1)____________________________________________ 如图①，当点F与点C 重合时，0E的长度为__________________________________ ;
(2)如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG/ y轴交EF于点T ,交0C 于点G.
求证：EO=DT
(3)在(2)的条件下，设T(x y)，写出y与x之间的函数关系式为 ___________ ，
自变量x的取值范围是______ ；
(4)如图③，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10 0C
边上的高等于8,点F与点C不重合，过点D作DG// y轴交EF于点T，交OC 于点G，求出这时T(x, y)的坐标y与x之间的函数关系式(不求自变
量x的取值范围).
19. (1)如图10—1所示，BD, CE分别是△ ABC的外角平分线，过点A作AF丄BD, AGLCE,垂足分别为F，G连结FG延长AF, AG，与直线BC分别交于点M N, 那么线段卩6与厶ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= (AB+ BC+AC .(直接写出结果即可).
(2)如图10—2,若BD CE分别是△ ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与
△ ABCE边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.
(3)如图10—3,若BD*^ABC的内角平分线，CE*^ABC的外角平分线，其他条件
不变，线段卩6与4 ABCE边又有怎样的数量关系？
20. 已知正方形ABC和等腰Rt VBEF,EF BE, BEF 90°,按图1放置，使点F在BC 上，取DF勺中点G,连EG、CG.⑴探索EG CG勺数量关系，并说明理由；（2）将图1中VBEF绕B点顺时针旋转45°得图2,连结DF, 取DF的中点6问（1）
中的结论是否成立，并说明理由；
（3）将图1中VBEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90°之间）得图3,连结DF,取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；
F
C
F
图
3。