《随机变量及其分布总结》PPT课件
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第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
《随机变量及其分布总结》ppt课件
（2）概率计算：
若X ~ B(n, p)，
则P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1, 2,L
,n
（3）期望与方差：
若X ~ B(n, p)，则E( X ) np
若X ~ B(n, p)，则D( X ) np(1 p)
13
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P( A) C（32 0.4)2 (0.6) 36/125
2、求至少抽出两个2号球的概率
P(B) C（32 0.4)2 (0.6) C33(0.4)3(0.6)0 44 /125
17
变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
1
2
3
设A、B为两个事件 公式：
1、古典概型
P( A)
A事件包含的试验结果数 总试验结果数
2、几何概型
P( A)
A事件的区域长度（面积、体积） 试验全部结果的区域长度（面积、体积）
4
5
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
… xi
… xn
P
p1
p2
… pi
两个球. 1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）
C13C31 A120
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(B A) P(AB) 1 P( A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
第四章 随机变量及其分布.ppt
2
2Leabharlann P(X 2) 1 P(X 2) 1 P( X 2) P( X 2)
1 F(2) F(2 0) F(2 0)
2019-11-9
1 0.7 0.感5谢你的0阅.读8
24
例 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设击 中都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随 机变量X的分布函数。
第四章 随机变量及其分布
随机变量及分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
2019-11-9
感谢你的阅读
1
4.1 随机变量及分布函数
随机变量
概率论与数理统计是从数量的侧面来研 究随机现象的统计规律性的一门学科,为了全 面地研究随机试验的结果,揭示客观存在着的 统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对 应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念.
解: 若 x<0,则{X≤x}是不可能事件，于是 F(x)=P{X≤x}=0
若0≤x≤2，由题意，P{0≤X≤x}=kx2, k是某一 常数，为了确定k的值，取x=2，有
P{0≤X≤2}=22k，但已知P{0≤X≤2}=1，故得k=1/4 ，
即P{0≤X≤x}=x2/4，于是
F(x)=P{X≤x}=P{x<0}+P{0≤X≤x}=x2/4
0, x 1
F
(
x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P( X
随机变量及其分布PPT精选文档
F(x)
x f(t)dt
则称X为连续型随机变量，并称f(x) 为X的概率密度函数.
24
注：由高等数学知识可知：连续型随 机变量的分布函数一定是处处连续的， 且在f(x)的连续点处，有
F ( x)f( x) .
概率密度名称的由来：
25
2 概率密度函数的性质
(1)f(x)≥0;
(2) +f(x)dx 1 . -
泊松分布：设X去一切非负整数值， 其分布律为:
P ( X = k )k ke ! , 0 , k0 , 1 , L
则称X服从参数为λ的泊松分布，记为 X～P(λ). 稀有事件的发生适用于泊松分布. 泊松分布的概率值可以通过查表求得.
17
例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼 唤次数服从参数为4的泊松分布.求
注： X(ω)的取值具有随机性.
3
举例 例1：测试灯泡的寿命，样本空间为
Ω={t:t∈[0,+∞}, 用X表示灯泡的寿命，则X就是随机变量，
它随随机试验结果的不同而取不同的值： {X=20}表示灯泡的寿命是20单位时间， {X≤100}表示灯泡寿命不超过100. 例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面的
35
例2.(3σ原则)设随机变量X～N(μ,σ2), (1)求P(μ-σ<X< μ+σ); (2)求P(μ-2σ<X< μ+2σ); (3)求P(μ-3σ<X< μ+3σ);
例3.设轴的长度X ～N(10,0.01).若轴的 长度在（10-0.2,10+0.2）内算合格，求 4根轴中： （1）恰有3根合格的概率； （2）至少有3根合格的概率.
具有以上二性质的任一函数f(x)必是某 连续型随机变量的密度函数.
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
随机变量函数及其分布.pptx
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
( y)
FY'
(
y)
1 ,
2y
y0
0, 其他
第9页/共57页
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 /2
Px
(
x)
x3e x2 0, x
,x 0
0
求随机变量 Y X 2和Y 2x 3 的概率密度
解：先求随机变量 Y X 2 的分布函数
FY (y) PY y P x2 y P y x y F x( y) F x( y)
p p y
y
(x)dx (x)dx
- x
- x
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (1211) Φ (1011)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20
p 0.16 0.16 0.68
第18页/共57页
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例 设随机变量x的概率密度为 求随机变量Y=2X+8的概率密度
P
x
(
x)
x / 8,0 x 4 0, 其他情况
解：第一先求Y=2X+8的分布函数 FY (y)
F p (y) Y
pY y
p2x 8 y
第十三单元随机变量及其分布-PPT精品
（2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12.Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示 先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X=2表示（1，1）， X=3表示（1，2），（2，1）， X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）,
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量及其分布PPT课件
0
F
(
x)
Ax2
1
x0 0 x1 x 1
求常数A及其概率密度
函数 f (x)。
例2. 设连续型随机变量X的概率密度函数为
f (x) Cex2 x ,－∞ < x < +∞，
求常数C。
34
第34页/共67页
注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概 率密度函数可以有很多个，但它们只在有限个 点或可数个点上取值不同。
对于随机试验而言，仅仅知道可能出现的 随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的 可能性有多大。
对于随机变量X来说，就是X取什么值不 重要，重要的是X取这些值的概率有多大。
4
第4页/共67页
定义：设X是一个随机变量， x R 是一个实
数，函数 F(x) P(X x) 就称为随机变量X
的概率累积分布函数(cdf: cumulative
,n
求正数 a 的值。
例2. 设离散型随机变量X的分布列
P( X k) C pk , k 1, 2, k!
其中， 0 p 1 为已知，求常数C。
12
第12页/共67页
离散型随机变量X的分布函数为
F(x) P(X x) pk xk x
例3. 求随机变量X的分布函数。
X的分布列为 X 0 1 2 3
pap设随机变量x只可能取0和1两个数值它的分布律为第15页共67页162二项分布binomialdistribution若随机变量x的分布律为其中则称x服从参数为np的二项分布记为二项分布随机变量x对应n重贝努里试验中成功的次数
§2.1 随机变量
从概率的定义我们知道，概率是自变量为 集合的特殊函数；为了能用变量、函数及微积 分等工具来研究事件发生的概率，需要引入概 率论中的重要概念――随机变量。
高中数学《第二章随机变量及其分布小结》123PPT课件
1－P(2≤x≤4) 2
＝1－02.6826＝0.1587.
答案：B
(2)(2015 年山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服 从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)
内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ< ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
解：因为 X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20. P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6826. 所以，X＞130的概率为 12(1－0.6826)＝0.1587.
所以，X＞90 的概率为 0.6826＋0.1587＝0.8413. 所以及格的人数为 54×0.8413≈45(人)，130 分以上的人数 为 54×0.1587≈9(人)． 【规律方法】正态分布的特点可结合图象记忆，并可根据μ 和σ的不同取值得到不同的图象，特别地，当μ＝0 时，图象关 于 y 轴对称．
【互动探究】 1．在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从正态分布，即 X～
N(100,100)，已知满分为 150 分．若这次考试共有 2000 名考生 参加，试估计这次考试不及格(小于 90 分)的人数．
解：由 X～N(100,100)知μ＝100，σ＝10. P(90<X≤110)＝P(100－10<X≤100＋10)＝0.6826， ∴P(X<90)＝ 1(1－0.6826)＝0.1587.
(3)当 μ＝0，σ＝1 时的正态分布叫做标准正态分布，记作 X～ N(0,1).
2.正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交. (2)曲线是单峰的，关于直线____x＝__μ____对称.
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
第二章 随机变量及其分布PPT课件
§2.2 随机变量的数学期望
分赌本问题(17世纪)
甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.
当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本?
两种分法
1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4
分布列的基本性质
(1) pi 0，
(非负性)
(正则性)
(2)
pi 1.
i
注
对离散随机变量的分布函数应注意：
(1) F(x)是递增的阶梯函数;
(2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
例2.1.1 已知 X 的分布列如下：
2.2.1 数学期望的概念
若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：
X P 0 1/4 100 3/4
甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.
2.2.2 数学期望的定义
定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn) = pn, n = 1, 2, ...
2),
2),
Y
,
x 则 F ( x)
若 X ~ N(, 2),
则
a a P(X<a) = ， P(X>a) = 1
例2.5.3 设 X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X10|<2).
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可类比：分步计数原理记忆
.
5
二、离散型随机变量的均值与方差
.
6
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1
x2
… xi
… xn
P p1
p2
… pi
… pn
n
则称 E (X )x1p 1x2p 2 xip i xnp nxip i i 1
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
P (A ) C （ 3 20 .4 )2 (0 .6 ) 3 6 / 1 2 5
2、求至少抽出两个2号球的概率
P ( B ) C （ 3 2 0 . 4 ) 2 ( 0 . 6 ) C 3 3 ( 0 . 4 ) 3 ( 0 . 6 ) 0 4 4 / 1 2 5
.
17
变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P(X 2)CC421C3061 0.3
何 分
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P (X 2 ） P (X 2 ) P (X 3 ) C C 4 2 1 C 3 06 1 C C 1 3 4 3 0 1 3
.
16
变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率
.
7
7、方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称
D ( X ) ( x 1 E ( X ) 2 p 1 ) ( x i E ( X ) 2 p i ) ( x n E ( X ) 2 p n )
n
(xi E(X))2pi 为随机变量X的方差。
EX0.4
.
19
正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
.
4
3、涉及互斥事件 概率加法公式：
若 A 与 B 互 斥 ， 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
可类比：分类计数原理记忆
4、条件概率
P(BA)n(AB)P(AB) n(A) P(A)
P(A) 0
5、涉及独立事件 概率乘法公式：
若 A 与 B 相 互 独 立 ， 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
（在抽取物件时，要有放回抽取）
（2）概率计算：
若X~B(n, p)，
则 P ( X k ) C n k p k ( 1 p ) n k , k 0 , 1 , 2 , L , n
（3）期望与方差：
若 X ~ B (n ,p )， E (X 则 ) np
若 X ~ B ( n ,p ) ， D ( X ) 则 n ( 1 p p )
X0
1…
P
C
0 M
C
n N
M
C
n N
C C 1 n 1 M N M
C
n N
…
k
C Ck n k M N M
C
n N
…n
…Cn MC源自0 NMC
n N
（2）期望与方差： 无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)
.
12
3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）
称
i1
(X)
D(X) 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度
的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均
程度越小，即越集中于均值。
.
8
8、期望与方差的性质
E (a X b ) a E (X ) b E ( a X b) Y a(X E ) b( Y E )
D (a X b )a2D X
随机变量及其分布 总复习
.
1
一、概率计算公式 二、离散型随机变量的均值与方差 三、随机变量的分布 四、课堂练习
.
2
一、概率计算公式
.
3
设A、B为两个事件 公式： 1、古典概型 P(A)A事 件 总 包 试 含 验 的 结 试 果 验 数 结 果 数
2、几何概型
P (A ) 试 验 A 全 事 部 件 结 的 果 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 、 积 体 、 积 体 ） 积 ）
.
9
三、随机变量的分布
.
10
1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X01 P 1-p p
（2）期望与方差：
若X服从两点分布E， (X)则 p
若X服从两点分D布 (X)， p(则 1p)
.
11
2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
1两、个求球第. 一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）CA131C2031
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(BA)P(AB) 1 P(A) 3
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6 P 1 /15 4 /15 1 / 3 4 /15 1 /15
EX 4 D X 1 6
15
.
18
变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
X
0
1
2
P 2 / 3 4 /15 1 /15
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__;
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_97_3____.
（注意：面积等同于概率）.
14
四、课堂练习
.
15
应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
.
13
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P (a x b ) ap (x )d x F (b ) F (a )
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,2) 。（EX= m ， DX= 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___;