定积分的概念

定积分与微积分定理

1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a

x

n

-∆=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,

,i i n ξ=，作和式：1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数

S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx =

⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分

()b

a

f x dx ⎰

是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为

()b

a

f x dx ⎰

，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点

[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1

()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b

a

S f x dx =

⎰；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =⎰

；

变力做功 ()b

a

W F r dr =⎰

2．定积分的几何意义

(

说明：一般情况下，定积分

()b

a

f x dx ⎰

的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线

,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负

号．（可以先不给学生讲）．

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+

+∆

不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<

于是和式即为

()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+

+∆--∆+

+-∆

()b

a

f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

a b dx b

a

-=⎰1

性质2

⎰⎰

=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

~

性质3

1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰

⎰⎰ （定积分的线性性质）

性质4

()()()()b c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广：

1212[()()()]()()()b

b b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±

±=±±

±⎰

⎰⎰⎰

②推广:

12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+⎰

⎰⎰⎰

③性质解释：

2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式

`

定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则

()()|()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，

说明：

①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.

②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。 思考并回答下列问题：

①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗如果不唯一，它们之间什么关系原函数的选择影响最后的计算结果吗

②计算定积分()b

a f x dx ⎰的关键是什么

AMNB AMPC CPNB

S S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形