定积分的概念

定积分与微积分定理
1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x
n
-∆=
），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,
,i i n ξ=，作和式：1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数
S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为
()b
a
f x dx ⎰
，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点
[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1
()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b
a
S f x dx =
⎰；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰
；
变力做功 ()b
a
W F r dr =⎰
2．定积分的几何意义
(
说明：一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰
的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线
,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负
号．（可以先不给学生讲）．
分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+
+∆
不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<
于是和式即为
()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+
+∆--∆+
+-∆
()b
a
f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1
a b dx b
a
-=⎰1
性质2
⎰⎰
=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
~
性质3
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰ （定积分的线性性质）
性质4
()()()()b c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
1212[()()()]()()()b
b b
b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±
±=±±
±⎰
⎰⎰⎰
②推广:
12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++
+⎰
⎰⎰⎰
③性质解释：
2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式
`
定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，
说明：
①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。

我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.
②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

思考并回答下列问题：
①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗如果不唯一，它们之间什么关系原函数的选择影响最后的计算结果吗
②计算定积分()b
a f x dx ⎰的关键是什么
AMNB AMPC CPNB
S S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形
③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么 ④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数
~
典例分析 例1．计算定积分
2
1
(1)x dx +⎰
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

—
即：
2
1
5(1)2
x dx +=
⎰
思考：若改为计算定积分
2
2
(1)x dx -+⎰
呢
改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢（后面解决的问题）
1. （2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数f(x)，()g x 满足
1
1
()g()d 0
f x x x -=⎰
，则称f(x)，
()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：
1 2
y
x
o
(1)()cos ,()f x x F x ==若则(2)()sin ,()f x x F x =-=
若则(3)(),()x f x e F x ==
若则1
(4)(),()f x F x x
==
若则(5)(),()n f x x F x ==
若则3(6)(),()f x x F x ==
若则21
(7)(),()f x F x x
=
=若则(8)(),()f x x F x ==
若则
①
11
()sin,()cos
22
f x x
g x x
==
；②
()1,g()1
f x x x x
=+=-；③2
(),g()
f x x x x
==
（
其中为区间
]1,1
[-的正交函数的组数是（）
【解题提示】考查微积分基本定理的运用
【解析】选C. 对①，11
1
1
11
1111
(sin cos)(sin)cos|0 2222
x x dx x dx x
-
--
⋅==-=
⎰⎰，则)(x f、)
(x
g为区间]1,1
[-上的正交函数；
对②，11231
1 11
14
(1)(1)(1)()|0
33
x x dx x dx x x
-
--
+-=-=-=-≠
⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1
[-上的正交函数；
对③，
1341
1
1
1
()|0
4
x dx x
-
-
==
⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.
所以满足条件的正交函数有2组.
2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线4
y x
=与曲线3
y x
=在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A、B、C、2 D、4
【解题指南】本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.
【解析】选D.由
⎩
⎨
⎧
=
=
3
4
x
y
x
y
，得交点为()()()8
,2
,
8,2
,
0,0-
-，
￥
所以()4
2
4
1
2
44
2
2
3=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
-
=⎰x
x
dx
x
x
S，故选D.
3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+e x
)dx 的值为 ( )
+2 +1
【解题指南】求出被积函数2x+e x
的原函数,然后根据定积分的定义解之.
【解析】选C.(2x+e x )dx=(x 2+e x
)=1+e-1=e.
4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.
【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。

【解析】x
y e =和ln y x =互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形， 则
1
2
221()()0
212
2
x x
ex e e e S p S e e e ∆
--'=
==
=
⎰
． !
【答案】
2
2e
5.已知f (x )为偶函数且
60
⎰
f (x )d x ＝8，则
66
-⎰
f (x )d x 等于
( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
解析：原式＝
06
-⎰
f (x )d x ＋
60
⎰
f (x )d x ，
∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D
6．设f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则
20
⎰
f (x )d x 等于
( )
D ．不存在 解析：数形结合，
）
20
⎰
f (x )dx =
10
⎰
x 2
dx +
2
1
⎰
(2-x )dx
=3212
11(2)3021
x x x +- =
3115(422)326
x +--+=. 答案：C
7．计算以下定积分：
(1)
2
1
⎰
(2x 2
－1x
)d x ；
(2)
3
2
⎰
(x ＋
1
x
)2
d x ；
(3)
30
π
⎰
(sin x －sin2x )d x ；
解：(1)
2
1
⎰
(2x 2
－1x )d x ＝(23x 3
－ln x )21
＝163－ln 2－23＝14
3
－ln 2. (2)32
⎰
(x ＋
1
x
)2
d x ＝
32
⎰
(x ＋1
x
＋2)d x
|
＝(12x 2
＋ln x ＋2x )32
＝(9
2＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln 32＋92
.
(3)
30
π
⎰
(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋1
2
cos2x )30
π
＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.
题组二
求曲多边形的面积
8．如图，函数y ＝－x 2
＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合
;
图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 D ．2
解析：函数y ＝－x 2
＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于
20
⎰
(－x 2
＋2x ＋1－1)d x ＝
20
⎰
(－x 2
＋2x )d x ＝43
.
答案：B
9．已知函数y ＝x 2
与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4
3
，则k ＝________.
解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k ]，
再由
k ⎰
(kx －x 2
)d x ＝(
kx 22
－x 33)0k
＝k 36＝4
3
求得k ＝2. 答案：2
10．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2
向点A (2,4)移动，
[
记直线OP 、曲线y ＝x 2
及直线x ＝2所围成的面积
分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )， 则
x ⎰
(kx －x 2
)d x ＝
2x
⎰
(x 2
－kx )d x ，
即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－12kx 2)2x ， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12
kx 2
)，
解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．
答案：(43，16
9)
11.一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2
－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时
间
[1,2]
内
的
位
移
为
( )
:
解析：s ＝
2
1
⎰
(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )|2
1＝176
.
答案：A
12．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ．1 J
解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝ m ，可解得k ＝100 N/m ，则F ＝100x ，所以W ＝
0.1
⎰
100x d x ＝50x
2
0.10＝ J.
答案：B
13．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．
解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下： v ＝v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3
2t ，0≤t ＜20，
50－t ，20≤t ＜40，
10，40≤t ≤60.
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
"
s ＝
60
()d v t t ⎰
＝20
3
d 2
t t ⎰
＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰
＝34t 2200＋(50t －12t 2)40
20＋10t 4020
＝900米． 答案：900
14.(2010·烟台模拟)若y ＝0
x ⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是
( )
A ．1
B ．2
C ．－7
2
D ．0
解析：y ＝
x ⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ＝
x ⎰
(sin t ＋1
2
sin2t )d t
＝(－cos t －14cos2t )0
x ＝－cos x －14cos2x ＋5
4
＝－cos x －14(2cos 2
x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32
＝－12
(cos x ＋1)2
＋2≤2.
*
答案：B
15．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10
⎰
f (x )d x ＝5，
10
⎰
xf (x )d x ＝176
，那
么
2
1
⎰
f (x )
x
d x 的值是________． 解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由
10
⎰
(ax ＋b )d x ＝5得(12
ax
2
＋bx )
10
＝
12
a ＋
b ＝
5
，
①
由
10
⎰
xf (x )d x ＝176
得
10
⎰
(ax 2
＋bx )d x ＝176
，即
(13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝17
6， ② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3，
于是
2
1
⎰
f (x )
x
d x ＝2
1
⎰
4x ＋3
x
d x ＝
2
1
⎰
(4＋3x
)d x
＝(4x ＋3ln x )
21
＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.
答案：4＋3ln2 16．设f (x )＝
10
⎰
|x 2－a 2
|d x .
(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )；
·
(2)当a ≥0时，求f (a )的最小值． 解：(1)0≤a ≤1时，
f (a )＝
10
⎰
|x 2－a 2
|d x
＝
a ⎰
(a 2－x 2
)d x ＋
1a
⎰
(x 2－a 2
)d x
＝(a 2
x －13x 3)0a ＋(x 33－a 2x )1
a
＝a 3
－13a 3－0＋0＋13－a 2－a 3
3
＋a 3
＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时，
f (a )＝
10
⎰
(a 2－x 2
)d x
＝(a 2
x －13x 3)10
＝a 2
－13
.
》
∴f (a )＝32
241(0),
33
1(>311).
a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
≤≤
(2)当a ＞1时，由于a 2
－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小
值是f (1)＝1－13＝2
3
.
当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2
－2a ＝2a (2a －1)， 由f ′(a )＞0知：a ＞1
2或a ＜0，
故在[0，12]上递减，在[1
2，1]上递增．
因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝1
4.
综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为1
4
.
课堂练习 计算下列定积分
^
1．
5
(24)x dx -⎰ 5
(24)945x dx -=-=⎰
2．1
1
x dx -⎰
1111
1111122
x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰
布置作业
1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分
⎰
b
a
dx x f )(的符号________
A.一定是正的
B.一定是负的
C.当b a <<0时是正的
D.以上都不对 2. ，
3.
与定积分
dx x ⎰
π230
sin 相等的是_________
A.
⎰π23
sin xdx B.⎰π230
sin xdx
⎰
π
sin xdx
⎰ππ2
3sin xdx D.⎰⎰+2
32
20
sin sin πππ
xdx xdx
4. 定积分的
⎰
b
a
dx x f )(的大小_________
A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.
B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关
C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关
D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 5. 下列等式成立的是________ A.
a b dx b
a
-=⨯⎰
0 B.2
1=
⎰b
a
xdx C.
dx x dx x ⎰⎰
=-10
1
1
2 D.⎰⎰=+b
a
b
a xdx dx x )1(
6. ~
7.
已知
⎰
b
a
dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f b
a
8. 已知
,
18)()(=+⎰dx x g x f b
a
⎰
=b
a
dx x g 10)(,则⎰b
a
dx x f )(=______________
9. 已知
,3)(2
=⎰
dx x f 则[]=+⎰dx x f 2
6)(___________
10. 计算dx x 2
1
031⎰
(
11. 计算dx x 31
6⎰
演练方阵
A 档（巩固专练）
1．5
(24)x dx -⎰= ( )
~
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 2．2
1
1
ln xdx x ⎰
= ( ) A ．21ln 22
B ．ln 2
C ．2ln 2
D ．ln2
3．若1
1(2)3ln 2a
x dx x
+=+⎰，且1a >，则a 的值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
4．已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为( )
A ．203gt
B ．2
0gt C ．202gt D ．206
gt
5．曲线2
x y =与直线2+=x y 所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ． 6．()0d x
F't t =⎰ ．
7．如图，求由两条曲线2
x y -=，2
4x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．
>
8．如图，抛物线C 1：y = -x 2与抛物线C 2：y =x 2
-2ax (a >0)交于O 、A 两点．若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为3
2
9a ，求直线l 的方程．
[
…
x
o
1 2
2
- -1
-1 A
B
`
D
2x y -=
24x y -=
第7图
第8图
A
<
9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m 的平行线段，沟宽AB 为2m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深，沟中水深1m ． （Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米
10．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ．[来源:学科网]
（1）求)(x f 的表达式．
（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，
求t 的值．
B 档（提升精练）
?
1．
2
1
1
dx x
⎰
=______________． 2．
3
2
1
1
(2)x dx x -
⎰
=___________． 3．求由曲线22y x x =-与x 轴所围的封闭区域的面积．
4．已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ．
、
5．由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为 ． 6．(cos 5sin 2)d a
a
x x x x --+⎰= ．
|
7．
3
21
(4)x x dx --=⎰
_________________．
8．
2
(sin )x x dx π
+=⎰_______________． 9．
dx x ⎰
-
2
2
2cos π
π
_____________．
10．已知A （-1，2）为抛物线C ：y =2x 2
上的点．直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ． （1）求直线l 1的方程；
（2）设∆ABD 的面积为S 1，求BD 及S 1的值；
（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．
C 档（跨越导练）
1．
1
()x x e e dx -+=⎰
( )
A ．e e 1+
B ．2e
C ．e
2
D ．e e 1-。

2．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积( )
A ．4
B ．2
C ．
2
5
D ．3 3．若20(345)a
x x dx +-⎰=3
2a -（1a >），则a = ．
4．4
x +⎰
= ．
5．求定积分：1
2
2
32
(9)x x dx -⎰．
(
6．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．
>
7．
2
30
(2cos 1)2
x
dx π
-⎰
= ( ) 8． A
．2-
B ．12-
C ．1
2
D
．2 8．3
20
|312|x dx -⎰= ( )
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24 9．下列命题：
①若f(x)是定义在R 上的奇函数，则0()x
f t dt ⎰为R 上的偶函数；
②若f(x)是周期为T （＞0）的周期函数，则0
()()a a T
T
f x dx f x dx +=⎰⎰
；
③0
(())()x
f t dt f x '''=⎰。

其中正确命题的个数为( )
'
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．如图，抛物线24y x =-与直线y ＝3x 的二交点为A 、B .点P 在抛物线的弧上从A 向B 运动。

（1）求使PAB ∆的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ；
（2）证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x ＝a 分为面积相等的两部分．
x y 02-4-2-4-6-8-12
-10
-24
24
B P A
定积分的几何意义及微积分的基本定理答案
典题探究
例1．C 例2．C 例3．C 例4．
2
14-π ！
演练方阵
A 档（巩固专练）
1．A 2．A 3．D 4．C 5．
2
9 6．F(x)-F(0)
7．由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．
~
由⎩
⎨⎧-=-=12y x y 得C （1，-1）．同理得D （2，-1）．
∴ 所求图形的面积
S =})]1(4
[)](4[{22122
1
02dx x dx x x ---+---⎰⎰ y
x
o
1 2
2
- -1
￥
A
B C D
第7图
)443(221
1
02122
⎰⎰⎰+-=dx dx x dx x
3
4)124
(
22121310
3
=+-=x x x ． 8．设过原点的直线方程为y =kx ，解方程组⎩⎨⎧-==ax
x y kx
y 22
，得x 1=0，x 2=k +2a ． >
当k +2a ≥0时，⎰
⎰
++-+=+-=
a
k a
k dx x x a k dx ax x kx S 20
20
22])2[()2(
6
)2()3122(3
2032a k x x a k a k +=
-+=+． 于是 (k +2a )3
=27a 3
，解得k =a ． 所以，直线l 的方程为y =ax ．
当k +2a <0时，⎰+-+=0
22
])2[(a k dx x x a k S 6
)2(3
a k +-=．
于是 - (k +2a )3=27a 3
，解得k = -5a ． 所以，直线l 的方程为y = -5ax ．
综上所述，所求直线l 的方程为y =ax 或y = -5ax ．
9． （Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy ，设抛物线方程为)0(,2
>=a ax y ．则由抛物线过点
)23
,1(B ，可得23=a ．于是抛物线方程为22
3x y =．当y =1时，36±=x ，由此知水面宽
为
3
6
2（m ）． （Ⅱ）柱体的底面积
⎰
-=3
60
2
)231(2dx x S ⎰=36
0(2dx )2336
2⎰-dx x
》
)(9
64)3123(2236
03360
m x x
=⋅-=．
∴柱体体积为)(964009641003m =⨯
，即水沟中有水3
9
6400m ． 10．（1）12)(2
++=x x x f ；（2）3
2
1
1-
=t ．
B 档（提升精练）
1．
22
3
2．ln 2 3．
43
4．如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F 与弹簧的伸长量（或压缩量）
x 成正比，即F = kx ．在上式中k 为比例系数．
根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx 得k =490．这样得到的变力函数为F = 490x ．于是所求的功为
2
0.10.10
490490(
) 2.45 2
x W xdx =
==⎰
（J ）． 5．
9
2
6．4a 7．
203
F
x
8．
2
18
π+
9．
2
π 10．（1）由y =2x 2
，得x y 4='．当x = -1时，4-='y ． ∴l 1的方程为y -2= -4(x +1)，即4x +y +2=0． （2）由y =2x 2
及x =a ，解得点B 的坐标为（a ,2a 2
）． 由4x +y +2=0及x =a ，解得点D 的坐标为（a ,-4a -2）．
又可求得点A 到直线BD 的距离为1+a ，BD =2a 2
+4a +2=2(a +1)2
．
∴S 1=3
1+a ．
（3）由题意，当a >-1时，⎰--++=++=
a
a x x x dx x x S 1
1232
2)223
2()242( 323)1(3
2
22322232+=+-+++=
a a a a ， 当a <-1时，⎰-++=122)242(a dx x x S 3
)1(3
2+-=a ，
∴S 1∶S 2=3∶2．即S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．
C 档（跨越导练）
1．D 2．D 3．2 4．
271
6 5．
529
O
x
y
F A
B
C D E G
图6
6．首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-
内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为 dx x x x A ⎰
-++--
=0
1
23)2(dx x x x ⎰
++-+
2
23)2(12
37=
7．D 8．C 9．D
10．（1）37
(,)24P -；（2）面积均为
125
12。