线性代数课件(高教版)1-3
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§3 分块矩阵及矩阵的分块运算
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个 小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。
1 0 0 3
例如
A 000
1 0 0
0 1 0
011
E3 O
A1 A2
1 0 0 3
其中
E3
0 0
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
13 .
1 1 3 1
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
AB B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21 1 1
1 0
10
A1
01
O(0
0
0)
A2(1)
注：分块方法有很多，最常用的是按行分块或按列分块。
矩阵的分块运算
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
解 把A, B分块成
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
A
A 101111011012
0 00 1 00 211 100
0000 1010
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0
0
A2 B2 2b
0 1
.
0 0 2 2b
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
0 b
0 1
,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
解 将 A, B分块
a 1 0 0
A
0 0
0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
A2
其中
a
A1
0
b
A2
1
1 , a 1 ; b
若A与B相乘,需A的列的划分与B的行的划分相一致
(4) 转置
A
A11
A1r
A1T1 AT
AsT1
As1 Asr
A1Tr
AsTr
a2 0 0
2a2 1 a3 a
0 0
0
0 b3 2b
3b2
0
0 2b2 1 b3 2b
.
小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
B2
b 1
0 , a 0 ; b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0 ,
0
A2 B2
A1
B1
a 0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A1B1 A1
0 ,
0
A2B2 A2
A1B1 A1
a
3 a2
a
2a2 1 a3 a
,
A2 B2
A2
b3 2b 3b2
2b2 1 b3 2b
,
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
那末
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个 小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。
1 0 0 3
例如
A 000
1 0 0
0 1 0
011
E3 O
A1 A2
1 0 0 3
其中
E3
0 0
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
13 .
1 1 3 1
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
AB B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21 1 1
1 0
10
A1
01
O(0
0
0)
A2(1)
注：分块方法有很多，最常用的是按行分块或按列分块。
矩阵的分块运算
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
解 把A, B分块成
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
A
A 101111011012
0 00 1 00 211 100
0000 1010
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0
0
A2 B2 2b
0 1
.
0 0 2 2b
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
0 b
0 1
,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
解 将 A, B分块
a 1 0 0
A
0 0
0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
A2
其中
a
A1
0
b
A2
1
1 , a 1 ; b
若A与B相乘,需A的列的划分与B的行的划分相一致
(4) 转置
A
A11
A1r
A1T1 AT
AsT1
As1 Asr
A1Tr
AsTr
a2 0 0
2a2 1 a3 a
0 0
0
0 b3 2b
3b2
0
0 2b2 1 b3 2b
.
小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
B2
b 1
0 , a 0 ; b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0 ,
0
A2 B2
A1
B1
a 0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A1B1 A1
0 ,
0
A2B2 A2
A1B1 A1
a
3 a2
a
2a2 1 a3 a
,
A2 B2
A2
b3 2b 3b2
2b2 1 b3 2b
,
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
那末
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..