应用近世代数考试题
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二、(10分)设G是一个群，K 是G的子群，N 是G的正规子群。证明：KN 是G的 子群。 三、(15分)G是实数域R上全体n × n上三角可逆矩阵关于矩阵乘法构成 的群。设
a 11 . T = . . 0 ... ∗ . ∗ .. ∈ G | a ∈ Q , i = 1 , . . . , n . . ii . . . . ann
这里Q∗ 表示全体非零实有理数集合 (1)证明：T ≤ G； (2)判断T 是否是G的正规子群，并证明你的结论； (3)证明G含有一个子群H 同构于Q∗ 的乘法群。 四、(10分)设G是2n阶群，其中n是奇数。若G含有一个n阶循环子群H =< a > 证明：G ∼ = Z2n 或G ∼ = Dn (假定G存在一个2阶子群T =< b >)。 五 、(15分)给 定 正 整 数m和 奇 素 数P ， 令n = P m 。 用Σn表 示 图 形 图 形 正n边形。 (1)求出Σn的对称性群G； (2)求出G的全部正规子群。 六、(10分)设域E 是域F 的有限次扩张。证明：E 中的每个元都是F 的上 代数元。 七、(10分)设R是交换环，S 是R的理想。若S 作为R的加法子群满足[R : 1
考试科目：近世代数 考试时间：2006.1.1 任课教师：方新贵 本试题共8道大题，满分100分 1 2 3 4 5 6 7 8 ,τ = 3 4 5 6 7 8 1 1 (1)计算στ σ −1 ，并将其分解成为不相交的轮换之积； (2)计算o(στ σ −1 )。 一、(15分)在S8 中给定σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 1 5 6 2 7 8
S ] =素数。证明：商环R/S 是域。 八、(15分)设R = Z2 [x]表示Z2 上的一元多项式环。对于P (x) = x3 + x + 1 ∈ R (1)证明R/(P (x))是一个具有8个元素的域，并写出该域的全部元素； (2)对于x + 1 = x + 1 + (P (x)) ∈ R/(P (x)),求出x + 1的逆元素。
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二、(10分)设G是一个群，K 是G的子群，N 是G的正规子群。证明：KN 是G的 子群。 三、(15分)G是实数域R上全体n × n上三角可逆矩阵关于矩阵乘法构成 的群。设
a 11 . T = . . 0 ... ∗ . ∗ .. ∈ G | a ∈ Q , i = 1 , . . . , n . . ii . . . . ann
这里Q∗ 表示全体非零实有理数集合 (1)证明：T ≤ G； (2)判断T 是否是G的正规子群，并证明你的结论； (3)证明G含有一个子群H 同构于Q∗ 的乘法群。 四、(10分)设G是2n阶群，其中n是奇数。若G含有一个n阶循环子群H =< a > 证明：G ∼ = Z2n 或G ∼ = Dn (假定G存在一个2阶子群T =< b >)。 五 、(15分)给 定 正 整 数m和 奇 素 数P ， 令n = P m 。 用Σn表 示 图 形 图 形 正n边形。 (1)求出Σn的对称性群G； (2)求出G的全部正规子群。 六、(10分)设域E 是域F 的有限次扩张。证明：E 中的每个元都是F 的上 代数元。 七、(10分)设R是交换环，S 是R的理想。若S 作为R的加法子群满足[R : 1
考试科目：近世代数 考试时间：2006.1.1 任课教师：方新贵 本试题共8道大题，满分100分 1 2 3 4 5 6 7 8 ,τ = 3 4 5 6 7 8 1 1 (1)计算στ σ −1 ，并将其分解成为不相交的轮换之积； (2)计算o(στ σ −1 )。 一、(15分)在S8 中给定σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 1 5 6 2 7 8
S ] =素数。证明：商环R/S 是域。 八、(15分)设R = Z2 [x]表示Z2 上的一元多项式环。对于P (x) = x3 + x + 1 ∈ R (1)证明R/(P (x))是一个具有8个元素的域，并写出该域的全部元素； (2)对于x + 1 = x + 1 + (P (x)) ∈ R/(P (x)),求出x + 1的逆元素。
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