第六七讲 单自由度系统自由振动分析
振动力学 单自由度系统自由振动
3
m h
0
l/2
静平衡位置
m gl 由材料力学 ： 48EJ
自由振动频率为 ： 0
2016年4月26日 《振动力学》
x
g
48EJ m l3
16
单自由度系统自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0
m h
0 2gh x
则自由振动振幅为 ：
x 0 A x0 0
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
k 0 I 2 0
0
扭振固有频率
0 k / I
18
2016年4月26日 《振动力学》
单自由度系统自由振动 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则 弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧 质量系统是广义的
初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能
2016年4月26日 《振动力学》
x0
0
A
0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t ) x0 cos(0t )
0
0 x
sin( 0t ) A sin( 0t )
在静平衡位置： 则有：
k 0 m
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
m g k
k
x
k g 0 m
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该 式计算是较为方便的
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
振动单自由度系统的振动 PPT课件
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
单自由度系统自由振动
取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴顺弹簧 变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置 时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微 分方程为
mx mg k ( st x)
mx kx
k 固有圆频率 令 ： 0 m 无阻尼自由振动微分方程 2018年9 月4日
周期 T 2
0
; 则
1 0 2 2f T
f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz
0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2秒内振动
2018年9月4日 《振动力学》
的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
8
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。
2018年9月4日 《振动力学》
3
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
2018年9月4日 《振动力学》
c1 A sin ,
c2 A cos
x t A sin 0 t
2018年9月4日 《振动力学》
无阻尼自由振动是简谐振动.
7
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
1.2 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 ( t T ) 0t 2
振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由
《单自由度系的振动》课件
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
单自由度无阻尼自由振动的系统分析
单自由度无阻尼自由振动的系统分析在结构动力学之中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但单自由度体系的频率计算在结构动力学计算中有着十分重要的意义，因为从中我们能得到关于振动理论的一些最基本的概念和分析方法同时也为更复杂的多质点多自由度体系振动问题奠定基础，同时现实工程中也有许多振动问题可以简化为单自由度问题近似的利用单自由度振动理论去分析解决。
在单层厂房、水塔等建筑物中得到有效的利用结构的自由振动是指结构受到扰动离开平衡位置后，不再受到任何外力影响的振动过程，此处动力系统是否有阻尼项，会直接影响到动力系统的反应。
在此，我们把自由振动分为无阻尼自由振动与有阻尼的自由振动。
一、无阻尼自由系统的振动分析目前，以弹簧-质量系统为力学模型，研究单自由度系统的振动具有非常普遍的实际意义，因为工程中许多问题简化后，用单自由度体系的振动理论就能得到很好的解决。
而对多自由度系统和连续振动，在特殊坐标的考察时，也会显示出与单自由度系统类似的振动。
进行无阻尼自由振动分析的主要目的是为了获得系统固有振动的特性，只有充分地了解系统的自身振动特性才能有效的计算系统的动力响应，目前在单质点单自由度无阻尼自由振动体系中我们的运动方程为：0)()(..=+t ku t um （1） 或 0u(t))(=+ωt u （2）其中的ω是振动圆频率，是反应系统动力的重要参数，其计算公式为：m k m ==δω12 (3)由上式可以看出，ω只和系统的刚度及质量有关，而与系统所受到的初始受力状态无关。
ω的量纲与角速度相同为rad/s ，它反映了系统自由振动的快慢。
自由振动系统的这一特性，我们在日常生活中司空见惯。
比如，键盘类乐器标定后，按动某一个琴键，不管你按动的轻重如何，琴键所发出的声音的频率是一定的，按得轻或按得重仅影响声音的强弱。
（2）式经过三角函数的转换可表示为：)sin()(νω+=t A t u （4）其通解为t A t A t u ωωsin cos )(21+= 常数A 1与A 2与初始条件有关，01χ=A ωχ/02 =A式（4）是标准的简谐方程其中A 是其振幅，则ν是其初相角，他们的计算公式2020)(ωx x A += ，00arctan x x v ω=对于质点振动系统，质量越大，则系统的固有频率越低；刚度越大，则系统的固有频率越高。
结构动力学-单自由度系统的振动
Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
单自由度系统的自由振动
固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动PPT课件
v0 pn
xx0copsntvp0nsinpnt
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
xAsin pnt()
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x
2 0
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
第1章单自由度系统的自由振动
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念 典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁 的质量，则相当于一根无重弹簧，系统 简化成弹簧-质量系统
自由振动。
arctg
( pnx0 ) v0
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
系统振动的周期 T 2π 2π m
pn
k
系统振动的频率 f 1 pn 2π k
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动 引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广 义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的－动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的－拉格朗日方程。
第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动
tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示
单自由度系统阻尼自由振动
x A1e
nt
A2te
nt
代入初始条件可得：
A1 x0 ,
A2 x0 n x0
临界阻尼系统的运动特点
可见，临界阻尼下的系统的运动也不是振 动，但在相同的条件下，临界阻尼的系统 的自由运动最先停止，因此，仪表都将系 统的阻尼设置为临界阻尼。
作业
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动 的固有频率为 n ，从平衡位置拉开 x0 后释 放，初速度为零，求 1.25 和 1 时的 系统运动情况。
小阻尼系统的运动特点
当 1 ，特征方程的根
s1,2 n j 1 2 n
令：
d 1 2 n
解的三角形式
方程可以写成：
x ent C1 cos d t C2 sin d t Aent cos(d t )
单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动振动特性?无阻尼简谐运动?弱阻尼振幅按指数衰减的准周期振动?临界阻尼衰减运动在初始扰动下回零时间最短?过阻尼习惯上将函数的周期称为衰减振动的周期故衰减振动的周期和频率分别为
单自由度系统阻尼自由振动
机械工程学院
引言
惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。
xe
n t
s1,2 2 1 n ，
均为实数，方程的通解为：
Ae
1
2 1nt
A2e
2 1n t
A1 , A2 与初始条件 x0 , x0 有关，
单自由度系统自由振动课件-精
m h
0
l/2
x
静平衡位置
11
无阻尼自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律： I k 0 02 0
扭振固有频率
0 k / I
12
无阻尼自由振动
• 特征方程：
2 02 0 i0
• 方程有两个复数解 ：
ei0t cos0tisin0t
ei0t cos0tisin0t
• 通解：
x(t) c1cos(0t)c2 sin(0t)
Asin(0t )
A c12 c22
tan 1 c1
c2
ω0称为固有圆频率，固有频率 f= ω0 /2π ， A称为振幅，φ称为 相位。
x
k
0 k( x)dx
（重力势能）
（弹性势能）
V
mgx
13
无阻尼自由振动
▪ 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹 性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质 量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大
5
无阻尼自由振动
设 t 的位移和速度为：
x( ) x
x( ) x
带入通解式可以得到 ：
x Asin(0 ),x A0 cos(0 )
求解可得 ：
A
x
2
单自由度振动系统的运动方程及其解析解
单自由度振动系统的运动方程及其解析解单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，其运动方程可以用一个二阶常微分方程表示。
在这篇文章中，我们将讨论单自由度振动系统的运动方程及其解析解。
1. 引言振动是自然界中一种常见的现象，也是物体在受到扰动后产生的周期性运动。
单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型，它可以用来描述弹簧振子、摆锤等物理系统的振动。
2. 运动方程的建立对于单自由度振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导而来。
假设系统的质量为m，位移为x，系统受到的外力为F，弹性系数为k，则可以得到如下的运动方程：m*x'' + k*x = F3. 简谐振动的解析解当外力为零时，即F=0，单自由度振动系统的运动方程简化为：m*x'' + k*x = 0这是一个常系数线性齐次二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法求解。
假设解为x(t) = A*cos(ωt + φ)，代入方程中可以得到：-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) + k*A*cos(ωt + φ) = 0整理得到：(ω^2*m - k)*A*cos(ωt + φ) = 0由于A*cos(ωt + φ)不为零，所以可以得到特征方程：ω^2*m - k = 0解特征方程可以得到系统的固有频率：ω = sqrt(k/m)因此，单自由度振动系统的解析解为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中A和φ为待定常数，分别表示振幅和相位。
4. 非简谐振动的解析解当外力不为零时，即F≠0，单自由度振动系统的运动方程为：m*x'' + k*x = F这是一个非齐次线性二阶常微分方程，可以通过特解和通解的方法求解。
首先求解齐次方程，得到通解：x_h(t) = A*cos(ωt + φ)然后求解非齐次方程的特解，可以通过待定系数法或者复数法得到特解。
最后将通解和特解相加，得到系统的解析解：x(t) = x_h(t) + x_p(t)其中x_h(t)为齐次方程的通解，x_p(t)为非齐次方程的特解。
单自由度系统的振动
Ic Mc
（a）
其中，IC为绕点 C的转动惯量， MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，
设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对
于给定的θ，对C点的恢复力矩MC 有如下
形式：
Mc
R sindw
2
2
gR2
sin
d
gR2 cos
2
2
2 gR2 sin
（b）
2.1 单自由度系统的自由振动
（c）
2.1 单自由度系统的自由振动
Ic Mc
（a）
当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式
sinθ≈θ，cosθ≈1 ， 并将（b）、（c）两式代入（a）中，
得到:
2R3 2 2gR2
（d）
整理可得:
R
g
2
0
（e）
（e）式表明，当 θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其
自然频率为:
2.1 单自由度系统的自由振动
小阻尼（ 0 ＜ζ ＜ 1）
0 ＜ζ ＜ 1时，解（2-22）可改写成如下形式：
x(t)
A1
exp
i
1 2nt
A2 exp i
1 2nt
ent
A1eidt A2eidt ent
由于Fs (t) kx(t) Fd (t) cx，(t)
方程（2-7）变为:
mx(t) cx(t) kx(t) F(t)
（2 -7） （2-8）
（2-8）式是一个二阶常系数常微分方程。常数 m ，c， k
是描述系统的系统参数。方程（2-8）的求解在振动理论中是 十分重要的。
2.1 单自由度系统的自由振动
系统的自由度定义为能完全描述系统运动 所必须的独立的坐标个数。
单自由度系统的自由振动
思考与练习
应用matlab或excel软件绘制自由振动曲线
xt e
nt
0 n x0 x 2 2 x cos 1 t sin 1 t 0 n n 2 1 n
10 已知 n 100, 0.01, x0 0, x
运动微分方程的解
周期 T
2 m 2 n k
1 1 T 2 k m
频率 f
振动系统质量越大，弹簧刚度越小，则系统固有频率越 低，周期越长。反之结论亦成立。在连续系统中，刚度、质 量体现在材料方面。
运动微分方程的解
单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，统称 为谐波函数表示，故称为简谐振动，这种系统又被称为谐振 子。 自由振动的角频率即系统的自然频率，仅由系统本身的参数 所确定，而与外界激励、初始条件等均无关。这说明自由振 动显示了系统内在的特性。 无阻尼自由振动的周期即线性系统自由振动的周期也仅由其 本身的参数决定，而与初始条件及振幅的大小无关。这种现 象称为谐振子振动的“等时性”。 自由振动的幅值和初相角由初始条件所确定。 单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统 一旦受到初始激励就将按振幅始终振动下去，这显然是一种 理想情况。
能量守恒原理
T
d T U 0 dt
1 2 mx 2
U
1 2 kx 2
kx 0 m x
铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程
W mg k st
k x st W m x
kx 0 m x
当质量块在竖直方向上运动时，如果以静平衡位置为坐标 原点，在列质量块的运动微分方程时就不用考虑重力。
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y e 2 C1 cos
2
x C2 sin
2
x
无阻尼自由振动特点
1、固有频率
x Asin(nt ) 此为简谐运动，周期运动
xt xt T
n t T nt 2
2
得
T
n
n
2
T
2
f
1 T
f
，为
1 秒内振动的次数，单位为
Hz， n
为2
秒内振动的次数，
对于该振动模型
n2
k m
st1
mg k1
, st 2
mg k2
st st1 st 2
mg mg
11
mg( )
k1 k2
k1 k2
st
mg keq
mg( 1 k1
1) k2
keq
k1k2 k1 k2
n
keq m
k1k2 m(k1 k2 )
计算固有频率能量法（机械能守恒角度）
物块运动规律为：
x Asin(nt )
2、临界阻尼情形
x 2nx n2x 0
r n n2 n2 当n n时，特征方程有两个相同实根
r1 r2 n
x ent (C1 C2t)
微分方程 特征方程为
y py qy 0 r2 pr qy 0
p p2 4q r
2
（1） 当r1, r2 为两个不等实根
（2） 当r1, r2 为两个相等实根
y C1er1x C2er2x
y C1 C2xer1x
（3） 当r1, r2 为两个不等共轭复根
px
4q p2
4q p2
dt q q
n2 0
其中 n
g l
V mgl cos
弹簧的串联与并联
1、弹簧并联
设平衡时弹簧的静变形为 st
mg (k1 k2 )st
st
mg k1 k2
keq k1 k2
n
keq m
k1 k2 m
keq 为等效弹簧系数
2、弹簧串联
两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块 的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为：
k m
令该微分方程解为： x ert
得
r2ert n2ert 0
特征方程为 r2 n2 0 r ni
按数学理论，此微分方程的解为
x C1cosnt C2 sinnt
其中 C1 、C2 是积分常数，由运动的起始条件确定。 Nhomakorabea令
A=
C12 C22 , tan
C1 C2
则
x Asin(nt )
mg
0
/
m
g
0
n
g
0
通过静变形0可以看出n大小，0越大，n越小，2 秒
内振动次数越少。
2、振幅
t 0时，物块的坐标x x0，速度v v0。将上式两端对t 求 一阶导数，得物块速度
v
dx dt
An
cos(nt
)
将初始条件代入得x0 Asin ,v0 An cos
由上述两式，得
A
x02
v02
方程解有 3 类
1、小阻尼情形
当n n时，特征方程有两个共轭复根
r1 n i n2 n2 ; r2 n i n2 n2
根据欧拉公式
x Aent sin( n2 n2t ) x Aent sin(dt )
其中d 02 2 ，表示有阻尼自由振动的圆频率。
利用初始条件 t 0时, x x0, v v0
Vmax
1 2
mn2
A2
1 kA2 2
n
k m
&6-2 单自由度系统有阻尼自由振动
自由振动在振动过程中能量无损失，振动永 远进行下去，在实际中，由于阻力存在，振 幅逐渐减小，直至为零。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 产生阻尼的原因： 1、介质中振动的介质阻尼 2、材料变形产生的内阻尼 3、接触面摩擦产生的干摩擦阻尼 当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度成正比，这种阻尼称为粘性阻尼：
mg k st x mx
mx kx 0
令
n2
k m
则 x n2x 0
3、单摆 质量为 m 的单摆，在重力作用下做微振动
x l cos
y
l
sin
x l sin
y l cos
T 1 ml2 2
2
L T V 1 ml2 2 mgl cos
2 拉格朗日方程
d (L) L ml2 mgl sin 0
n2
, tan
n x0
v0
几种典型的单自由度振动系统 1、扭振系统
圆盘刚性固连于杆的一端，对
中心轴转动惯量为 J0，杆的另
一端固定，圆盘相对于杆可扭
转，扭转刚度为k ，
JO k
令
n2
k J0
得 n2 0
2、无重梁 中部放一个质量为 m 的物体， 求振动方程。 平衡位置时：
mg kst
振动过程中：
x
dx dt
An
cos(nt
)
物块的动能为：
T
1 2
mx2
1 2
mn2 A2
cos2 (nt
)
取静平衡位置为重力势能零势能点，同时也是弹性势能零势能 点，有：
V
1 k[(x 2
st
)
2
2 st
]
mgx
在静平衡位置处，有
kst mg
V
1 kx2 2
1 2
kA2
sin
2
(0t
)
系统运动过程中
Tmax
可得
A
x02
(v0 nx0 )2
n2 n2
;
tan x0 n2 n2
v0 nx0
由振动方程：
x Aent sin(dt )
知：振幅 Aent 随时间不断减小，直至为 0，振动至平衡位置，此振动
称为衰减振动。 衰减振动为非周期振动，但仍具振动特点（围绕平衡位置往复运动）， 将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置的时间称为衰减周
Fc cv
这种阻尼在实际中较多，以此为研究对象。
含阻尼振动系统：
弹性恢复力Fk kx
粘性阻尼力Fc cx
以平衡位置为参考点，振动方程不再计入重力作用。
mx kx cx
x 2nx n2x 0
其中
n2
k m
,
n c 2m
设其解为
x ert
特征方程
r2 2nr n2 0
r n n2 n2
期，记为Td 。
Td
2 d
2
2
2
n2 n2
2
n
1
n
n
n 1 2
称为阻尼比：
n c n 2 mk
Td
T
1 2
fd f 1 2
d n 1 2
由于阻尼比 的存在，相对于无阻尼自由振动，随着Td 的增
大 fd减小，
相邻周期的振幅比为
Aent AenttTd
enTd
振幅比为一常数。
第六讲 单自由度系统振动
&6-1 单自由度系统无阻尼自由振动
1、振动微分方程
弹簧原长为l0，刚度系数为k ，沿铅重方 向振动，以物块静止位置为平衡位置，此 时质心为原点，竖直向下建立坐标系，静
δ0
止时
mg k0
运动过程中，有
mg k(x 0 ) mx
mx kx 0
x n2x 0
n2