第六七讲 单自由度系统自由振动分析

y e 2 C1 cos
2
x C2 sin
2
x
无阻尼自由振动特点
1、固有频率
x Asin(nt ) 此为简谐运动，周期运动
xt xt T
n t T nt 2
2
得
T
n
n
2
T
2
f
1 T
f
，为
1 秒内振动的次数，单位为
Hz， n
为2
秒内振动的次数，
对于该振动模型
n2
k m
st1
mg k1
, st 2
mg k2
st st1 st 2
mg mg
11
mg( )
k1 k2
k1 k2
st
mg keq
mg( 1 k1
1) k2
keq
k1k2 k1 k2
n
keq m
k1k2 m(k1 k2 )
计算固有频率能量法（机械能守恒角度）
物块运动规律为：
x Asin(nt )
2、临界阻尼情形
x 2nx n2x 0
r n n2 n2 当n n时，特征方程有两个相同实根
r1 r2 n
x ent (C1 C2t)
微分方程 特征方程为
y py qy 0 r2 pr qy 0
p p2 4q r
2
（1） 当r1, r2 为两个不等实根
（2） 当r1, r2 为两个相等实根
y C1er1x C2er2x
y C1 C2xer1x
（3） 当r1, r2 为两个不等共轭复根
px
4q p2
4q p2
dt q q
n2 0
其中 n
g l
V mgl cos
弹簧的串联与并联
1、弹簧并联
设平衡时弹簧的静变形为 st
mg (k1 k2 )st
st
mg k1 k2
keq k1 k2
n
keq m
k1 k2 m
keq 为等效弹簧系数
2、弹簧串联
两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块 的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为：
k m
令该微分方程解为： x ert
得
r2ert n2ert 0
特征方程为 r2 n2 0 r ni
按数学理论，此微分方程的解为
x C1cosnt C2 sinnt
其中 C1 、C2 是积分常数，由运动的起始条件确定。 Nhomakorabea令
A=
C12 C22 , tan
C1 C2
则
x Asin(nt )
mg
0
/
m
g
0
n
g
0
通过静变形0可以看出n大小，0越大，n越小，2 秒
内振动次数越少。
2、振幅
t 0时，物块的坐标x x0，速度v v0。将上式两端对t 求 一阶导数，得物块速度
v
dx dt
An
cos(nt
)
将初始条件代入得x0 Asin ,v0 An cos
由上述两式，得
A
x02
v02
方程解有 3 类
1、小阻尼情形
当n n时，特征方程有两个共轭复根
r1 n i n2 n2 ; r2 n i n2 n2
根据欧拉公式
x Aent sin( n2 n2t ) x Aent sin(dt )
其中d 02 2 ，表示有阻尼自由振动的圆频率。
利用初始条件 t 0时, x x0, v v0
Vmax
1 2
mn2
A2
1 kA2 2
n
k m
&6-2 单自由度系统有阻尼自由振动
自由振动在振动过程中能量无损失，振动永 远进行下去，在实际中，由于阻力存在，振 幅逐渐减小，直至为零。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 产生阻尼的原因： 1、介质中振动的介质阻尼 2、材料变形产生的内阻尼 3、接触面摩擦产生的干摩擦阻尼 当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度成正比，这种阻尼称为粘性阻尼：
mg k st x mx
mx kx 0
令
n2
k m
则 x n2x 0
3、单摆 质量为 m 的单摆，在重力作用下做微振动
x l cos
y
l
sin
x l sin
y l cos
T 1 ml2 2
2
L T V 1 ml2 2 mgl cos
2 拉格朗日方程
d (L) L ml2 mgl sin 0
n2
, tan
n x0
v0
几种典型的单自由度振动系统 1、扭振系统
圆盘刚性固连于杆的一端，对
中心轴转动惯量为 J0，杆的另
一端固定，圆盘相对于杆可扭
转，扭转刚度为k ，
JO k
令
n2
k J0
得 n2 0
2、无重梁 中部放一个质量为 m 的物体， 求振动方程。 平衡位置时：
mg kst
振动过程中：
x
dx dt
An
cos(nt
)
物块的动能为：
T
1 2
mx2
1 2
mn2 A2
cos2 (nt
)
取静平衡位置为重力势能零势能点，同时也是弹性势能零势能 点，有：
V
1 k[(x 2
st
)
2
2 st
]
mgx
在静平衡位置处，有
kst mg
V
1 kx2 2
1 2
kA2
sin
2
(0t
)
系统运动过程中
Tmax
可得
A
x02
(v0 nx0 )2
n2 n2
;
tan x0 n2 n2
v0 nx0
由振动方程：
x Aent sin(dt )
知：振幅 Aent 随时间不断减小，直至为 0，振动至平衡位置，此振动
称为衰减振动。 衰减振动为非周期振动，但仍具振动特点（围绕平衡位置往复运动）， 将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置的时间称为衰减周
Fc cv
这种阻尼在实际中较多，以此为研究对象。
含阻尼振动系统：
弹性恢复力Fk kx
粘性阻尼力Fc cx
以平衡位置为参考点，振动方程不再计入重力作用。
mx kx cx
x 2nx n2x 0
其中
n2
k m
,
n c 2m
设其解为
x ert
特征方程
r2 2nr n2 0
r n n2 n2
期，记为Td 。
Td
2 d
2
2
2
n2 n2
2
n
1
n
n
n 1 2
称为阻尼比：
n c n 2 mk
Td
T
1 2
fd f 1 2
d n 1 2
由于阻尼比 的存在，相对于无阻尼自由振动，随着Td 的增
大 fd减小，
相邻周期的振幅比为
Aent AenttTd
enTd
振幅比为一常数。
第六讲 单自由度系统振动
&6-1 单自由度系统无阻尼自由振动
1、振动微分方程
弹簧原长为l0，刚度系数为k ，沿铅重方 向振动，以物块静止位置为平衡位置，此 时质心为原点，竖直向下建立坐标系，静
δ0
止时
mg k0
运动过程中，有
mg k(x 0 ) mx
mx kx 0
x n2x 0
n2