九年级数学月考试题
重庆市商务学校(重庆市第九十四初级中学校)2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
重庆市第94中学校2024-2025学年度（上）第一次定时作业九年级数学试题（全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．在实数中，无理数是（ ）A． B ．0 CD2．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形5的结果在（ ）A．7和8之间 B ．8和9之间 C ．9和10之间 D ．10和11之间6．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬图中共有n 个小三角形，这里的（ ）．①② ③ ④A ．110 B ．112C ．114D ．1167．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．如图，正方形中，E 为上一点，过B 作于点G ，延长至点F ，使得，13-13-233a a a +=222()a b a b +=+()3251a a ÷=22(2)4a a -=2n =2250x x --=2(1)6x +=2(1)6x -=2(2)9x +=2(2)9x -=ABCD BC BG AE ⊥BG AG GF =连接．若，则一定等于（ ）A ．αB ．C ．D ．9．如图，菱形的边长为2，，M ，N 分别是上的两个动点，则的最小值为（ ）A ．1 BCD ．210．有依次排列的两个整式，用后一个整式B 与前一个整式A 作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B 求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式;②整式;③整式、整式和整式相同：④．正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：_____．12．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____．13．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．,CF AF DAF α∠=DCF ∠602α︒-2α45α︒-ABCD 60DAB ∠=︒,AD AC DN MN +1,1A x B x =-=+1C 1C 2C 2C 1C 3C 3C 2C 4C 31C x =+53C x =+2C 5C 8C 20242021202320232C C C C =+2012)2-⎛⎫--= ⎪⎝⎭1980︒2(21)20ax a x a +++-=14．如图，在中，，以点C 为圆心，长为半径画弧，分别交于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．15．如图，长方形纸片，点E 在边上，将沿折叠，点A 恰巧落在边上的点F 处；点G 在上，将沿折叠，点C 恰好落在线段上的点H 处，那么的长度是_______．16．如图，在正方形中，绕点B 逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E ，则线段的长为____．17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多５个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为_________．18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____;若“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____．三、解答题（本大题共8小题，19小题8分，其余小题各10分，共78分）19．计算：Rt ABC △90,30,2C A BC ∠=∠=︒=︒CB ,AC AB ,5,3ABCD AB BC ==AD ABE △BE CD CD BCG △BG BF HF ABCD AD =BC 30︒BP AP CD PE 13122ax x x ++=--43(2)122y y y y a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩()F m (2136)F =()2411F m +（1） （2）20．某市开展茶文化论坛，为了解A 、B 两种绿茶的亩产量，工作人员从两种类型的绿茶产区中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10亩A 型绿茶的亩产量：50，54，55，5555，57，57，58，59，60．10亩B 型绿茶中“良好”等级包含的所有数据为:57，57，57，59抽取的A 、B 型绿茶亩产量统计表：型号A B 平均数5656中位数56众数a 57方差7.415.8“优秀”等级所占百分比10%20%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：________，________，_________;（2）根据以上数据，你认为哪款绿茶更好？请说明理由（写出一条理由即可）;（3）若该市今年种植B 型绿茶3000亩，估计今年B 型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？21．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点C 作的垂线，垂足为点D ，点P 在边上．（只保留作图痕迹，不写作法）2230x x --=2241244x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭5055x ≤<5560x ≤<60x ≥a =b =m =AB CD BC已知：如图，在中，于点E ，于点F ．求证：．证明：如图，连接．，．，∴①__________________，即．∵②________________，，∴③________________．再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④___________________．22．如图，在菱形中，对角线交于点O ，，动点P 从点A 出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达B 点停止运动，设点P 的运动时间为t 秒，的面积为y．ABC △,AB AC PE AB =⊥PF AC ⊥PE PF CD +=AP ,,PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥ 111,,222APB APC ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∴=⋅=⋅=⋅△△△APB APC ABC S S S += △△△12AB CD =⋅AB PE AC PF AB CD ⋅+⋅=⋅()AB PE PF AB CD ∴⋅+=⋅ABCD ,AC BD 6,4AC BD ==A O B →→PAD △（1）直接写出y 关于t 的函数表达式，并注明自变量t 的取值范围;（2）在直角坐标系中画出y 与t 的函数图象，并写出它的一条性质;（3）根据图象直接写出当时t 的取值范围．23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？24．金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B 在入口A 的正西方向，入口C 在入口B 的正北方向，入口D 在入口C 的北偏东方向处，入口D 在入口A 的北偏西方向处．)(1)求的长度；（结果精确到1米）(2)小明从入口D 处进入前往M 处赏花，点M 在上，距离入口B 的处．小明可以选择鹅卵石步道①,步行速度为,也可以选择人工步道②,步行速度为,请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到)25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x 轴、y 轴于点A 、点B ,点C 在x 轴正半轴且4y ≤ABCD 60︒400m 45︒1000m 1.73≈≈AB AB 500m D C B M ---50m /min D A M --60m/min 0.1min 6y x =+．图1图2 图3(1)求直线的解析式；(2)如图2，过点A 的直线交线段于点M ,且满足与的面积比为，点在线段上，点E 和点F 是x 轴上的两个动点（点E 在点F 左边）且满足,连接,求的最小值．(3)如图3，在(2)的条件下，将点M 沿着射线方向平移个单位得到点,若点P 是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点P 的坐标，并写出其中一个点P 的求解过程．26．在中，．(1)如图1，当时，取上一点D ,取上一点E ,连接．若平分,求的长；(2)如图2，当时，取上一点F ,取上一点G ,连接,延长至点H ,连接．已知，,求证：;(3)当，点P 在内部时，连接．当的值最小时，请直接写出的值．2OB OC =BC ABM △BC ACM △1:2()5,1N -AB 2EF =,NE MF NE EF MF ++AB M 'BC 45BM P '∠-︒ABC △AB AC =90A ∠=︒AC BC ,BD DE BD ,2ADE AD DE ∠==AC 60BAC ∠=︒AB BC ,FG AG BC AH 60GAH ∠=︒AH AG FG =+CH BF =60BAC ∠=︒ABC △,,AP BP CP 2AP BP ++BPC ABCS S △△。
陕西省西安市高新第一中学2024-2025学年度第一学期九年级月考数学试题
陕西省西安市高新第一中学2024-2025学年度第一学期九年级月考数学试题一、单选题1．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在下列条件中，能够判定ABCD Y 为矩形的是（ ）A ．AB AC = B ．AC BD ⊥ C ．AB AD = D ．AC BD = 3．如果两个相似三形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．1∶9 D ．1：81 4．如图，已知AB CD EF ∥∥，23AC CE =∶∶，3BD =，那么DF 的长为（ ）A ．4B ．92C ．5D ．1125．如图，DE 是ABC V 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（ ）A ．132B ．7C ．152D ．86．如图，在67⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A ，B ，C 都在格点上，则sin B 的值为（ ）A B C ．23 D 7．若()1,3A y -、()2,2B y -、()31,C y 三点都在函数1y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．213y y y >>D ．132y y y << 8．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,O BE AC ⊥于点E ．若36CE AE ==，则边AD 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6二、填空题9．若34a b =，则a b a -=．10．在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为米．12．如图，已知在ABO V 中，点C 在AB 上，2,BC AC CO CB ==，2AOC S =△，反比例函数k y x=的图像经过点C ，则k 的值为．13．如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，点E 在AD 的延长线上，且2DE =，过点E 作直线l 分别交边CD ，AB 于点M ，N ．若直线l 将平行四边形ABCD 的面积平分，则线段CM 的长为 ．三、解答题14．解方程：2420x x -+=．15．计算：222sin 454cos 30tan 60︒+︒-︒16．如图，已知四边形ABCD ，AD BC ∥，请用尺规作图法，在边AD 上求作一点E ，在边BC 上求作一点F ，使四边形BFDE 为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，已知AD •AC ＝AB •AE ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：△DAB ∽△EAC ．18．从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．(1)从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是；(2)小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A -，()3,3B -，()3,1C -.(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出11A BC V ，使11A BC V 与ABC V 位似，且相似比为2:1，点A ，C 的对应点分别为1A ，1C ；(2)直接写出点1A 和点1C 的坐标：1A （______，______），1C （______，______）.20．如图所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：四边形CEDF 是正方形．21．某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？(2)若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？22．关于x 的一元二次方程2610x x k -+-=．(1)如果方程有实数根，求k 的取值范围；(2)如果1x ，2x 是这个方程的两个根，且221212324x x x x ++=，求k 的值． 23．新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA ．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P 处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F 处，此时，量得小华的影长2m FG =，小华身高 1.6m EF =；然后，在旗杆影子上的点D 处，安装测倾器CD ，测得旗杆顶端A 的仰角为49︒，量得0.6m CD =，6m DF =，旗台高 1.2m BP =．已知在测量过程中，点、、、B D F G 在同一水平直线上，点A P B 、、在同一条直线上，AB CD EF 、、均垂直于BG ．求旗杆的高度PA ．（参考数据：sin 490.8,cos490.7,tan 49 1.2︒≈︒≈︒≈）24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数2y x =-+的图象与反比例函数k y x=在第二象限的图象交于点(,3)A n ，与x 轴交于点B ，连结AO 并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)求ABC V 的面积．(3)当直线．．AC 对应的函数值大于反比例函数k y x=的函数值时，直接写出x 的取值范围． 25．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =cm ，7BC =cm ，现有动点P 从点A 出发，沿线段AC 向终点C 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向终点B 运动，连接PQ ．如果点P 的速度是2cm /s ，点Q 的速度是1cm /s ．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为s t ．(1)当t 为多少时，PQ cm ？(2)当t 为多少时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？26．问题提出(1)如图1，AD 是等边ABC V 的中线，点P 在AD 的延长线上，且AP AC =，则APC ∠的度数为__________．问题探究(2)如图2，在ABC V 中，6,120CA CB C ==∠=︒．过点A 作AP BC ∥，且AP BC =，过点P 作直线l BC ⊥，分别交AB BC 、于点O 、E ，求四边形OECA 的面积．问题解决(3)如图3，现有一块ABC V 型板材，ACB ∠为钝角，45BAC ∠=︒．工人师傅想用这块板材裁出一个ABP V 型部件，并要求15,BAP AP AC ∠=︒=．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C 为圆心，以CA 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ；②作CD 的垂直平分线l ，与CD 于点E ；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP BP、，得ABPV．请问，若按上述作法，裁得的ABPV型部件是否符合要求？请证明你的结论．。
福建省漳州市2024-2025学年九年级上学期第一次数学月考试题
2024-2025学年上学期数学月考学校： 班级： 姓名： 座号：一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）A.0x >B.1x >C.1x ≥D.1x ≠ 2．下列根式是最简二次根式的是( )A.9B.3C.4．用配方法解方程2210x x +−=时，配方结果正确的是( ) A.2(2)2x +=B.2(1)2x +=C.2(2)3x +=D.2(1)3x +=5．下列关于x 的方程中,一定是一元二次方程的是( )A.10x −=B.33x x +=C.2350x x +−=D.6．函数2y =++，则y x 的值为( )A.0B.2C.4D.87．下列计算正确的是( )4=3=−8．关于x 的一元二次方程280x mx +−=的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小丽在2018年”元旦节”收到微信红包为300元，2020年为363元，若这两年小丽收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( ) A.2300(1)363x +=B.2300(1)363x +=C.363(12)300x +=D.2300363x +=10．已知m ,n 是一元二次方程220230x x +−=的两个实数根,则代数式20ax bx c ++=22m m n ++的值等于( )A.2019B.2020C.2021D.2022二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
） 11．比较大小:13．已知n 是整数，则n 的最小值是______ .14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x 步，则可列方程为_____________.15．已知a ,b 是一元二次方程2320x x −+=的两根,则22a b ab +=____________. 16．等腰三角形的边长都是方程2680x x −+=的根,则此三角形的周长为_____. 三、解答题（本题共9小题，共86分。
安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题(沪科版)
安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题（沪科版）一、单选题1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．25y x =+B ．21y x x =+C ．2321y x x =+-D ．2(1)y x x x =-+2．已知点P （a ，m ），Q （b ，n ）都在反比例函数y=2x-的图象上，且a ＜0＜b ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．m+n ＜0B ．m+n ＞0C ．m ＜nD ．m ＞n 3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋64．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知两点12A(5,y ),B(3,y )-均在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上，点00C(x ,y )是该抛物线的顶点，若120y y y >≥，则x 0的取值范围是（ ）A ．0x 5>-B ．0x 1>-C ．05x 1-<<-D ．02x 3-<<6．二次函数()220y ax ax c a =-+>的图象过1234()()3,,1,,2(),,)4,(A y B y C y D y --四个点，下列说法一定正确的是（ ）A ．若120y y >，则340y y >B ．若140y y >，则230y y >C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <7．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF △的面积为1，则k 的值为（ ）A ．125B ．32C ．2D ．39．已知二次函数222(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ）．A ．54b ≥B ．1b ≥或1b ≤-C ．2b ≥D ．12b ≤≤10．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB 运动，同时动点N 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD →DC →CB 运动，当点N 运动到点B 时，点M ，N 同时停止运动．设V AMN 的面积为y ，运动时间为x （s ），则下列图象能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．二次函数()()2()y x a x b a b =---<与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m n <，则a ，b ，m ，n 四个数的大小关系是（用<号连接）12．如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y =k x（x ＞0）的图象上，AC ∥x 轴，AC =2，若点A 的坐标为（2，2），则点B 的坐标为．13．如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），当AB=m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．14．如图，抛物线2286y x x =-+-与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作1C ，将1C 向右平移得2C ，2C 与x 轴交于点B ，D ，若直线y x m =+与1C ，2C 共有3个不同的交点，请你探究：（1）2C 对应的函数表达式为；（2）m 的取值范围是．三、解答题15．已知二次函数22y x x m =-+-（m 是常数）．（1）若该函数的图象与x 轴有两个不同的交点，求m 的取值范围．（2）若该二次函数的图象与x 轴的其中一个交点坐标为()1,0-，求一元二次方程220x x m -+-=的解．16．已知反比例函数k y x=的图象经过点M(2，1). （1）求该函数的表达式；（2）当2<x<4时，求y 的取值范围（直接写出结果）.17．把抛物线()2y a x h k =++先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线()21112y x =+-. （1）试确定,,a h k 的值；（2）作原抛物线关于x 轴对称的图形，求所得抛物线的函数表达式.18．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树． （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？19．已知顶点为()2,1A -的抛物线经过点B 0,3 ，与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)连接AB BD DA ，，，求ABD △的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A, C 的坐标分别为A(2,0),C(-1,2),反比例函数()k y=k 0x≠的图像经过点B ．（1）求k 的值．（2）将Y OABC 沿着x 轴翻折，点C 落在点C′处．判断点C′是否在反比例函数()k y=k 0x≠的图像上，请通过计算说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+经过(2,4)A --，(2,0)B .（1）求抛物线2y ax bx =+的解析式.（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM OM +的最小值.22．某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的函数关系），根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)此软件上市第几个月后开始盈利?(2)求累积利润S （万元）与销售时间t （月）间的函数表达式；(3)第几个月公司的月利润为2.5万元?23．如图，两条抛物线214y x =-+，2215y x bx c =-++相交于A ，B 两点，点A 在x 轴负半轴上，且为抛物线2y 的最高点．（1）求抛物线2y 的解析式和点B 的坐标；（2）点C 是抛物线1y 上A ，B 之间的一点，过点C 作x 轴的垂线交2y 于点D ，当线段CD 取最大值时，求BCD S △．。
2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题(9月)[含答案]
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九年级数学（考试时间：60分钟，满分：100分）一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）．1．已知O e 的半径为4，平面内有一点M ．若5OM =，则点M 与O e 的位置关系是（ ）．A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．不能确定2．已知x=2是关于x 的一元二次方程x 2+ax=0的一个根，则a 的值为( )A ．-2B ．2C ．12D ．12-3．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 AC 上的点．连接AC ，若20BAC =°∠，则D Ð的度数为（ ）．A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°4．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到160元．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为（ ）A ．200（1－x ）2＝160B ．200（1＋x ）2＝160C ．160（1＋x ）2＝200D ．160（1－x ）2＝2005．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AE CB ^交CB 的延长线于点E ，若BA 平分DBE Ð，6AD =，4CE =，则AE 的长为（ ）．A ．2B ．3C ．D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）6．方程230x x -=的根为 ．7．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为__________.8．写一个一元二次方程，使得它的两个根为1-，3，该方程为 ．9．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，AD 是直径，则∠CBD= °．10．如图，C 为O e 的劣弧AB 上一点，若124AOB Ð=o ，则ACB =∠ ．11．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则12122x x x x +-的值为 ．12．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.54A OC CD Ð=°=，，的长为 ．13．若关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，则方程()2(2)20a xb xc -+-+=的解为 ．14．已知O e 的半径1OA =，弦AB ，若在O e 上找一点C ，则BCA Ð= °．15．如图，线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，若142Ð=°，则AOC Ð= °．三、解答题（本大题共7小题，共60分）16．解下列方程(1)2316x x-=(2)2(21)63x x -=-．17．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．18．如图，AD 、BC 是O e 的弦，且AD BC =，AC 是直径，求证：四边形ABCD 是矩形．19．已知关于x 的方程20(,x px q p q ++=为常数）有两个实数根12,x x .(1)若2,8p q =-=-，则24p q -的值是 ，方程的解是 ；(2)若123,2x x ==-，求24p q -的值；(3)用含12,x x 的代数式表示24p q -，下列结论中正确的是（ ）A. 22124()p q x x -=+B. 22124()p q x x -=C. 22124()p q x x -=- D. 2212124()p q x x x x -=++20．某商店经销的某种商品，每件成本为40元．调查表明，这种商品的售价为50元时，可售出200件；售价每增加5元，其销售量将减少50件．为了实现2000元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元？21．如图，已知点A 、B 是平面内两点，线段a 长度一定，在平面内作O e 使得它过点A 、B 且半程长为a （尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）．22．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AC BD ^，OF AB ^，垂足分别是E 、F ．(1)直接写出OF 与CD 的数量关系__________，并证明你的结论；(2)若AB AC ==8BC =．求CD 的长．1．C【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r ，点P 到圆心的距离OP 为d ，当d r >时，则点P 在圆外；当d r =时，点P 在圆上；当d r <时，点P 在圆内，根据点P 与圆的位置关系的判定方法对点M 与O e 位置关系进行判断．【详解】解：∵O e 的半径为4，5OM =∴点M 到圆心的距离大于圆的半径，∴点M 在圆外．故选：C ．2．A【分析】把x=2代入x 2+ax=0，即可求解.【详解】∵x=2是关于x 的一元二次方程x 2+ax=0的一个根，∴2220a +=，解得：a=-2.故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义，理解方程的根的定义，是解题的关键.3．B【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，根据圆周角定理求出ADB Ð及BDC Ð的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．【详解】解：连接BD ，∵AB 是半圆的直径，∴90ADB Ð=°，∵20BAC =°∠，∴20BDC BAC Ð=Ð=°，∴9020110ADC ADB BDC Ð=Ð+Ð=°+°=°，故选：B ．4．A【分析】根据某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到160元，平均每次降价的百分率为x ，可以列出相应的方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，200（1-x ）2=160，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．5．D【分析】连接AC ，根据圆内接四边形对角互补得到ABE ADC Ð=Ð，根据 AD AD =得到ABD ACD Ð=Ð结合角平分线得到ABE ABD Ð=Ð，即可得到：ADC ACD Ð=Ð，从而得到AC AD =，结合勾股定理即可得到答案；【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 内接于O e ，∴180ADC ABC Ð+Ð=°，∵180ABE ABC Ð+Ð=°，∴ABE ADC Ð=Ð，∵ AD AD =，∴ABD ACD Ð=Ð，∵BA 平分DBE Ð，∴ABE ABD Ð=Ð，∴ADC ACD Ð=Ð，∴AC AD =，∵AE CB ^，6AD =，4CE =，∴6AC =∴AE ==故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键．6．120,3x x ==【详解】解：x （x －3）=0 ，解得：x 1=0，x 2=3．故答案为：x 1=0，x 2=3．7．()216x -=【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【详解】移项得：x 2﹣2x =5，配方得：x 2﹣2x +1=5+1，即（x ﹣1）2=6．故答案为（x ﹣1）2=6．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．2230x x --=（答案不唯一）【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得出122b x x a +=-=，123c x x a ×==-，令1a =，则2b =-，3c =-则可得出一个符合条件的一个一元二次方程．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为1-，3，∴122b x x a+=-=，123c x x a ×==-，令1a =，则2b =-，3c =-∴符合条件的一个一元二次方程为：2230x x --=，故答案为：2230x x --=．9．30°．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC =60°，根据圆周角定理得：∠D=∠C=60°，∵AD 为直径，∴∠ABD=90°，∴∠BAD=30°∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°∴∠CBD=∠CAD=30°．故答案为：30°10．118°【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角ADB Ð，根据圆周角定理求出D Ð的度数，根据圆内接四边形性质求出C Ð即可．【详解】解：如图作圆周角ADB Ð，使D 在优弧上，124AOB Ð=°Q ，1622D AOB \Ð=Ð=°，A Q 、D 、B 、C 四点共圆，180ACB D \Ð+Ð=°，118ACB \Ð=°，故答案为：118°．11．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得1212,x x x x +的值，代入代数式即可求解．【详解】解：解：∵1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，∴122x x +=-，121x x =-．∴12122x x x x +-()2210=--´-=，故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根，12b x x a +=-，12c x x a=．12．【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质和圆周角定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点，根据圆周角定理得245BOC A Ð=Ð=°，由于圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径定理得CE DE =，且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以CE ==然后利用2CD CE =进行计算．【详解】解：∵22.5A Ð=°，∴245BOC A Ð=Ð=°，∵圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE DE =，则OCE △为等腰直角三角形，∵OC∴CE ==∴2CD CE ==．故答案为：13．11x =，25x =【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，将第二个方程中的()2x -看成一个整体，则由第一个方程的解可知，21x -=-或3，从而可得出答案.【详解】解：∵关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，∴方程()2(2)20a x b x c -+-+=的解为21x -=-或3，解得：11x =，25x =，故答案为：11x =，25x =．14．45°或135°．【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出90AOB Ð=°，分别在优弧 AB 和劣弧 AB 取点1C 和2C ，连接1AC ，1BC ，2AC ，2BC ，则145BC A Ð=°，然后根据圆内接四边形的性质可求出2135BC A Ð=°，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵1OA OB ==，AB =，∴222OA OB AB +=，∴90AOB Ð=°，如图，分别在优弧 AB 和劣弧 AB 取点1C 和2C ，连接1AC ，1BC ，2AC ，2BC ，∴145BC A Ð=°，∵四边形12AC BC 是圆内接四边形，∴12180BC A BC A Ð+Ð=°，∴2135BC A Ð=°，故答案为：45°或135°．15．84【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接BO ，并延长BO 到P ，根据线段的垂直平分线的性质得AO OB OC ==，90BDO BEO Ð=Ð=°，根据四边形的内角和为360°得180DOE ABC +=°∠∠，根据外角的性质得AOP A ABO COP C OBC Ð=Ð+ÐÐ=Ð+Ð，，相加可得结论．【详解】解：连接BO ，并延长BO 到P ，∵线段AB 、BC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O ，∴AO OB OC ==，90BDO BEO Ð=Ð=°，∴180DOE ABC +=°∠∠，∵1180DOE +=°∠∠，∴142ABC Ð=Ð=°，∵AO OB OC ==，∴A ABO Ð=Ð，OBC C Ð=Ð，∵AOP A ABO Ð=Ð+Ð，COP C OBC Ð=Ð+Ð，∴24284AOC AOP COP A ABC C Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=´°=°；故答案为：84．16．(1)11x =21x =(2)112x =，22x =．【分析】本题考查了解一元二次方程．（1）根据配方法解一元二次方程；（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2316x x -=，2361x x -=，2123x x -=，24213x x -+=，()2413x -=，1x -=11x =21x =（2）解：2(21)63x x -=-，()()2213210x x ---=，()()212130x x ---=，∴210x -=或240x -=，∴112x =，22x =．17．（1）见解析；（2）它的另一个根为－1．【分析】（1）求判别式b 2－4ac ＝k 2＋8＞0即可证明；（2）利用根与系数的关系即可求解．【详解】(1) ∵a ＝1 ，b ＝k ，c ＝－2 ，∴b 2－4ac ＝k 2＋8 ，∵不论k 取何实数，k 2≥0 ，∴k 2＋8＞0即b 2－4ac ＞0 ，∴不论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵a ＝1 ，c ＝－2， x 1＝2，∴ x 1g x 2＝－2，2x 2＝－2，∴ x 2＝－1，∴另一个根为－1．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．18．见详解【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，矩形的判定，勾股定理，根据直径所对的圆周角等于90度，可得出90D B Ð=Ð=°，根据勾股定理可得出2222AB BC CD AD +=+，再由AD BC =即可得出AB CD =．进而可得出四边形ABCD 是平行四边形，结合90D Ð=°即可证明．【详解】证明：∵AC 为O e 的直径，∴90D B Ð=Ð=°，在Rt ABC △中，222AB BC AC +=，在Rt ADC V 中，222CD AD AC +=，∴2222AB BC CD AD +=+，由∵AD BC =，∴AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∴90D Ð=°，∴四边形ABCD 是矩形．19．(1)36，124,2x x ==-(2)25(3)C【分析】（1）先把2,8p q =-=-，代入24p q -，可得2436p q -=，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；（3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解．【详解】（1）解：∵2,8p q =-=-，∴()()22424836p q -=--´-=，∴方程为228=0x x --，∴()()420x x -+= ，解得：124,2x x ==-；（2）解：∵关于x 的方程20(,x px q p q ++=为常数）有两个实数根12,x x ，∴1212,x x p x x q +=-×=，∵123,2x x ==-，∴()()32,32p q -=+-=´- ，∴1,6p q ==- ，∴()22414625p q -=-´-=；（3）解：∵关于x 的方程20(,x px q p q ++=为常数）有两个实数根12,x x ，∴1212,x x p x x q +=-×=，∴()()()222222221212112212112212444242p q p q x x x x x x x x x x x x x x x x -=--=+-×=+×+-×=-×+=-．故选：C【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．这种商品的售价应定为50元或60元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．设这种商品的售价应定为x 元，利用销售总利润等于每件利润乘以销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设这种商品的售价应定为x 元，根据题意列方程得：50(40)2005020005x x éù-æö--=ç÷êúèøëû 整理得：2x 110x 30000-+=解得：150x =，260x =，答：这种商品的售价应定为50元或60元．21．见详解【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接AB ，作AB 的垂直平分线CD ，以点A 为圆心线段a 为半径画弧交CD 于点O ，再以点O 为圆心线段AO 为半径作圆即为所求．【详解】解：如下图：O e 即为所求：22．(1)12OF CD =，证明见详解(2)【分析】（1）连接AO 并延长交O e 于点G ，连接BG ，证明OF 是ABG V 的中位线，则有12OF BG =，再根据同弧所对的圆周角相等可得AGB ECB Ð=Ð，直径所对的圆周角是直角可得90ABG Ð=°，则有90BAG AGB Ð+Ð=°，根据AC BD ^，90ECB EBC Ð+Ð=°，从而可得BAG EBC Ð=Ð，BG CD =，继而可得12OF CD =；（2）先证明AG BC ^，由等腰三角形三线合一的性质得出142BH HC BC ===，再由勾股定理求出AH ，再证明AHC BHG ∽V V ，由相似三角形的判定以及性质即可得出答案．【详解】（1）解：12OF CD =，证明如下：连接AO 并延长交O e 于点G ，连接BG ，∵OF AB ^，∴AF BF =，∵AO GO =，∴OF 是ABG V 的中位线，∴12OF BG =，∵AG 是O e 的直径，∴90ABG Ð=°，∴90BAG AGB Ð+Ð=°，∵AC BD ^，∴90CEB Ð=°，∴90ECB EBC Ð+Ð=°，∵ AB AB =，∴AGB ECB Ð=Ð，∴BAG EBC Ð=Ð，∴BG CD =，∴12OF CD =；（2）∵AB AC =，∴ACB ABC Ð=Ð，∵ACB AGB Ð=Ð，∴ABC AGB Ð=Ð，∵90ABC CBG AGB GBC Ð+Ð=Ð+Ð=°∴AG BC ^，∵AB AC =，8BC =，∴142BH HC BC ===，∴8AH ===，∵ACB HGB Ð=Ð，AHC BHG Ð=Ð，∴AHC BHG ∽V V ，AH BH，84=，∴BG =∴CD BG ==．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等，三角形中位线的判定以及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识， 掌握这些性质以及判定是解题的关键．。
2023-2024学年上海市29校联考九年级上学期月考数学试题及解析
2023学年第一学期九年级数学学科素养测试（满分：150分 完成时间：100分钟）一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1. 如果ABC DEF ∽△△（其中顶点A 、B 、C 依次与顶点D 、E 、F 对应）那么下列等式中，不一定成立的是（ ） A. A D ∠=∠ B.A DB E∠∠=∠∠ C. AB DE =D.AB DEAC DF=【答案】C 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形对应角相等，对应边成比例解答即可． 【详解】解：ABC DEF △∽△，A ∴、A D ∠=∠正确，故本选项错误；B 、A DB E∠∠=∠∠正确，故本选项错误； C 、AB DE =不一定成立，故本选项正确； D 、AB DEAC DF=正确，故本选项错误． 故选：C ．2. 已知点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上，DE BC ∥，且:1:3ADE DBCE S S =△四边形，那么:AD DB 的值是（ ）．A.14B.13C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】由:1:3ADE DBCE S S =△四边形可得:1:4ADE ABC S S =△△ 再证ADE ABC △△∽可得12AD AB =，则AD BD =即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：如图：∵:1:3ADE DBCE S S =△四边形 ∴()::1:4ADE ABCADE ADE DBCE S SS S S =+=△△△四边形∵DE BC ∥， ∴ADE ABC △△∽，∴12AD AB == 即AD BD =， ∴:1AD DB =．故选D ．3. 如果抛物线2y ax bx c =++不经过第二象限，且在y 轴的左侧是上升的，那么下列对其顶点的描述中，正确的是（ ）．A. 其顶点一定不在第一、二象限B. 其顶点一定不在第二、三象限C. 其顶点一定不在第三、四象限D. 其顶点一定不在第四、一象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知a<0、对称轴bx 02a=−>，然后根据对称轴确定顶点的可能位置即可；根据题意确定对称轴的位置是解题的关键．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++不经过第二象限，且在y 轴的左侧是上升的， ∴a<0，对称轴bx 02a=−>， ∴顶点不可能在第二、三象限． 故选B ．4. 已知在四边形ABCD 中，记AB a =，BC b =，CD c =，DA d =．如果向量a 、b 、c 、d 都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（ ） A. 向量a 与b 方向相同，且向量c 与d 方向相同 B. 向量a 与c 方向相同，且向量b 与d 方向相同 C. 向量a 与b 方向相反，且向量c 与d 方向相反D. 向量a 与c 方向相反，且向量b 与d 方向相反 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图：∴向量a 与c 方向相反，且向量b 与d 方向相反，故选D ．5. 如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，已知90ACB ∠=︒，1AB =．下列线段中，其长为sin 2A 的是（ ）A. BCB. ACC. BDD. AD【答案】C 【解析】【分析】本题考查正弦的定义，掌握sin A A ∠=的对边斜边是解题的关键．【详解】解：∵CD 是边AB 上的高，已知90ACB ∠=︒， ∴90A ACD ACD DCB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴A DCB ∠=∠， 又∵sin BC A AB =，sin BDDCB BC∠=， ∴2sin sin sin =BC BDA A DCB BD AB BC=⋅∠⋅=， 故选C ．6. 已知抛物线M ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线N ：2y ax bx d =−++的顶点为Q ．命题1：如果点P 在抛物线N 上，那么点Q 也在抛物线M 上；命题2：如果点P 不在抛物线N 上，那么点Q 也不在抛物线M 上．下列说法中，正确的是（ ） A. 命题1是真命题，命题2也是真命题 B. 命题1是真命题，命题2是假命题 C. 命题1是假命题，命题2是真命题 D. 命题1是假命题，命题2也是假命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知抛物线M 、抛物线N 开口方向相反，对称轴互为相反数，据此判断即可；根据二次函数的性质的抛物线M 、抛物线N 的关系是解题的关键．【详解】解：∵抛物线M ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线N ：2y ax bx d =−++的顶点为Q ． ∴抛物线M 、抛物线N 开口方向相反，对称轴互为相反数；∴如果点P 在抛物线N 上，那么点Q 也在抛物线M 上；原说法是真命题； 如果点P 不在抛物线N 上，那么点Q 也不在抛物线M 上；即原说法是真命题． 故选A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知::1:3:6a b c =，30a b c ++=，那么−−=c b a ________． 【答案】6 【解析】【分析】设a n =，则3,6b n c n ==，然后代入30a b c ++=求得n ，进而求得a 、b 、c 的值，最后代入计算即可；掌握一元一次方程的应用是解题的关键．【详解】解：设a n =，则3,6b n c n ==，则3630n n n ++=，解得：3n =； ∴3,9,18a b c ===， ∴18936c b a −−=−−=． 故答案为6．8. 已知抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x =上，且开口向下，请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式：________．【答案】2y x =−（答案不唯一）【解析】【分析】先根据开口向下可知a<0，再根据顶点在y x =上，即2424b ac ba a−−=，整理得2240b b ac −−=，然后确定符合条件的值即可解答．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++开口向下， ∴a<0，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x =上，∴2424b ac b a a−−=，即2240b b ac −−=，如：当1a =−，0b c ==符合题意． 故答案为:2y x =−（答案不唯一）． 9. 已知点()11,A y 和()22,By 在二次函数()220y axax c a =++<图像上，则12y y −________0．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线=1x −，根据1x >−时，y 随x 的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：()220y ax ax c a =++<，∴图象的开口向下，对称轴是直线212ax a=−=−， ∴1x >−时，y 随x 的增大而减小， 112−<<，21y y ∴<， 120y y ∴−>，故答案为>．10. 已知平面直角坐标系中点()3,4A 和()0,B b ，满足1tan 2ABO ∠=（O 为原点），那么b 的值为________．【答案】2−或10##10或2− 【解析】【分析】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的应用，分当点B 在y 轴的正半轴上和负半轴上两种情况，分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可；清晰的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①如图：当点B 在y 轴的正半轴上时，则4BC b =−，∵1tan 2ABO ∠=， ∴12AC BC =，即3142b =−，解得：10b =；②如图：当点B 在y 轴的负半轴上时，则4BC b =−，∵1tan 2ABO ∠=，∴12AC BC =，即3142b =−+，解得：=2b −．故答案为2−或10．11. 平面直角坐标系中点()30A ，、()02B ，、()53C −，，设OA a =，OB b =，那么向量CO =________．（用向量a 、b 表示） 【答案】5332a b − 【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算：平面向量的加法法则，利用作平面直角坐标系更快速解题，掌握()CO OC =−是解题的关键【详解】解：依题意，如图所示：故()535353323232CO OC OA OB OA OB a b ⎛⎫=−=−−+=−=− ⎪⎝⎭ 故答案为：5332a b − 12. 如果轮船甲位于轮船乙的北偏东35︒方向，那么轮船乙位于轮船甲的________．（注明方向） 【答案】南偏西35︒ 【解析】【分析】根据方位角的相对性进行解答即可；理解相对性是解题的关键． 【详解】解：∵轮船甲位于轮船乙的北偏东35︒方向， ∴轮船乙位于轮船甲的南偏西35︒． 故答案为：南偏西35︒．13. 已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直，那么其顶角的正弦值为________． 【答案】35##0.6 【解析】【分析】如图：过B 作BE AC ⊥ 设2BC = 则1BG CG == 再根据直角三角形的性质可得112DG BC ==；根据三角形的重心是中线的三等分点可得3AG =；再运用等腰三角形的性质和勾股定理可得AB AC ==35BE CE ==，最后根据正弦的定义即可解答．【详解】解：如图：过B 作BE AC ⊥ 设2BC = 则1BG CG ==∵D 是重心，BD CD ⊥ ∴112DG BC ==∴BD CD === 22AD DG == 即3AG =∵AD 是中线 AB AC = ∴AG BC ⊥∴AB AC ====∵1tan 3BE AG ACB CE CF ∠=== ∴3BE CE =∵222BC CE BE =+∴()2223BC CE CE =+ 解得：5CE =∴3BE CE ==，∴3sin5BE BAC AB ∠===．故答案为35．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形重心的性质、正切、正弦的定义等知识点，掌握三角形的重心是中线的三等分点成为解题的关键．14. 已知菱形的周长为C ，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S ，那么S 关于C 的函数关系式是________．（不必写出定义域）【答案】2S =【解析】【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．正切等于对边比邻边，菱形的四边长度相等．根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出2DEAE=，再由勾股定理得出DE 的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解．【详解】解：如图，四边形ABCD 是菱形，DE 是AB 边上的高，∵菱形的周长为C ， ∴4C AB AD ==， ∵A ∠的正切值为2， ∴2DEAE=， ∴12AE DE =， 由勾股定理可得222AD AE DE =+，∴222142C DE DE ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：10DE =，菱形面积为241040C S AB DE C C =⋅=⋅=，2．15. 已知一张等腰直角纸片，其底边长为3cm ，将其沿过其重心且平行于底边的直线折叠，则折叠后重叠部分的面积为________2cm ． 【答案】34【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例及三角形中位线的性质、勾股定理，熟知相关性质是正确解决本题的关键．过AC 中点E 作EF AB ∥，交CD 于F ，利用平行线分线段成比例求出重叠部分的上底、下底、高，再利用梯形面积公式即可求出．【详解】解：如图所示，3AB =，CD BE 、是中线，M 是重心，PQ 过点M 且PQ AB ∥，将CPQ 沿直线PQ 折叠，重叠部分是梯形GHPQ ，EF AB ∥，12EF FM BD DM ∴==， 3AB =，32BD AD CD ∴===，2AC BC ==， 34EF CF ∴==， 1142FM ,DM ∴==，1CM QM ∴==，2PQ =，CQ =2AQ ∴=， 1AG ∴=，同理1BH =，1GH ∴=，()11312224GHPQ S ∴=⨯+⨯=梯形．故答案为：34．16. 已知在ABC 中，5AB =，4BC =，3CA =，G 是其重心，那么以GA 、GB 、GC 为三边的三角形的面积是________． 【答案】2 【解析】【分析】如图：延长AG 交BC 于D 再延长GD 使得DE DG = 根据题意可证四边形CGBE 是平行四边形，即CE BG =、BE CG =，最后根据三角形的重心将三角形三等分以及等底等高即可解答；掌握三角形的重心是三角形的中线的三等分点是解答本题的关键．【详解】解：如图：延长AG 交BC 于D 再延长GD 使得DE DG = ∵AD 是中线， ∴21,,33CD BD AG AD GD AD ===， AG GE = ∴四边形CGBE 是平行四边形， ∴CE BG =,BE CG = ∵AG GE =,∴那么以GA 、GB 、GC 为三边的三角形为BEG ∵111342333BCGABCSS ==⨯⨯⨯=, ∴平行四边形CGBE 的面积为24BCGS =，∴122BEGCGBE SS ==． 故答案为2．17. 如图，将矩形ABCD 分别沿AE 、DF 折叠，恰好使点B 、C 重合于形内点G 处，如果EFG 与ADG △的面积比为1:4，那么:AB AD =________．【答案】58【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，过点G 作MN AD ⊥交AD 于点N ，交BC 于点M ，证明EGM GAN ∽得出12EG EM MG AG NG AN ===，设,EM x MG y ==，分别表示出,MN AB ，得出43y x =，进而表示出,AB AD ，即可求解． 【详解】如图所示，过点G 作MN AD ⊥交AD 于点N ，交BC 于点M ，依题意，,AG AB DG DC ==， 又AB CD =， ∴AG GD =，∴GAD GDA ∠=∠，则BAG CDG ∠=∠， ∵折叠， ∴AGEB ∠=∠，DGFC ∠=∠，∴360180BAG BEG B AGE ∠+∠=︒−∠−∠=︒，又180BEG MEG ∠+∠=︒， ∴MEG BAG ∠=∠， ∵90EGA ∠=︒∴90EGM AGN ∠+∠=︒∴90GAN AGN EGM ∠=︒−∠=∠ ∴EGM GAN ∽ 同理可得MGF NDG ∽∵EFG 与ADG △的面积比为1:4， ∴12EG EM MG AG NG AN === 设,EM x MG y == ∴2,2NG x AN y ==，∴EG =AB AG ==∴222BC BE EM x =+= ∴2AB MN MG NG y x ==+=+∴2y x =+ 解得：43y x =∴410233AB x x x =+=，1623AD BC x x === ∴58AB AD = 故答案为：58．18. 如图，直线123l l l ∥∥，等边ABC 的三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，如果直线1l 、2l 间的距离与直线2l 、3l 的距离之比为1:2，那么AB 与直线1l 夹角的正切值是________．【答案】5【解析】【分析】本题考查旋转性质，等边三角形的性质，解直角三角形，过点C 作2CD l ⊥于点D ，然后把CDB 绕点C 顺时针旋转60︒得到CEA ，过点E 作3FG l ⊥于点F ，交1l 于点G ，过点B 作1BH l ⊥于点H ，设BH a =，得到12EF EC a ==，然后求出正切值即可． 【详解】解：过点C 作2CD l ⊥于点D ，然后把CDB 绕点C 顺时针旋转60︒得到CEA ，过点E 作3FG l ⊥于点F ，交1l 于点G ，过点B 作3BH l ⊥于点H ，设BH a =，则2CD a =，则2CE CD a ==，90FCD CDB FEC ∠=∠=∠=︒，60ECD ∠=︒，3FG a = ∴30ECF ∠=︒， ∴12EF EC a ==， ∴32EG FG EF a a a =−=−=，又∵90ECF FEC GEA FEC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴30GEA ∠=︒∴2cos cos303EG a EA a GEA ===∠︒，∴3AC a ===，又∵等边ABC ， ∴3AB AC a ==，∴3AH a ===，∴tan 5BH BAH AH∠===，故答案为：5． 的三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：()043tan 30tan 60cot 60cos701sin 60cos 45︒︒+︒+︒−−︒︒． 【答案】7 【解析】【分析】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键，将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可． 【详解】解：()043tan 30tan 60cot 60cos701sin 60cos 45︒︒+︒+︒−−︒︒431=+−⎝⎭114=−61=+− 7=．20. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4BC =，3AB =，BE CD ⊥，垂足为E ．（1）设AB a =，AD b =，求作向量EC 分别在AB 、AD 方向上的分向量； （2）求sin ABE ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）79【解析】【分析】（1）如图：作,AM BC DN BC ⊥⊥ 则四边形AMND 是矩形．可以得到2MN AD ==、1BM CN ==，再根据三角函数可得43CE =，进而可得49EC CD =，再根据向量的和差可得DC a b =+，即4499EC a b =+，据此作图即可； （2）如图：如图：设AM 与BE 交于点H ，由等腰梯形的性质可得1BF =，再根据勾股定理可得AM =BE =4HM =、BH =AH =；再根据三角函数可得HI =73AI =，进而得到23BI =，最后根据正弦的定义即可解答． 【小问1详解】解：如图：作,AM BC DN BC ⊥⊥ 则四边形AMND 是矩形．∴2MN AD == ∴1BM CN ==∴1cos 3CE NC C BC DC ∠=== 即143CE =，即43CE = ∴49CE CD = 即49EC CD = ∵AD BC ∥，2BC AD = ∴22BC AD b ==，∴2DC DA AB BC b a b a b =++=−++=+， ∴4499EC a b =+ ∴向量EC 在AB 、AD 的分向量分别为4499a b 、；作图见图：小问2详解】解：如图：设AM 与BE 交于点H ，∵等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4BC =， ∴1BF = ∴AM ==BE ==∵4tan 43HM CE EBC BM BE ∠====即14HM =，解得：4HM =;∴BH ==∴AH AM MH =−= 如图：作HIAB ⊥∴1sin 3HI BM BAM AH AB ∠=== 即173HI =，解得：HI = 同理可得：73AI =，∴72333BI =−=，∴712sin 39IH ABE BH ∠===．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角函数、向量等知识点，正确作出辅助线、灵活运用三角函数解直角三角形是解题的关键．【21. 已知函数2423y x x =++．（1）试着通过列表、描点、连线的方式，画出其图像的草图； （2）根据所画草图，请写出该函数的三条图像特征．【答案】（1）见解析 （2）①函数图像的对称轴为=1x −；②当1x >−，y 随x 的增大而减小；③函数图像无限靠近x 轴，但不会和x 轴相交（不唯一合理即可）． 【解析】【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图像即可；掌握作图步骤是解题的关键； （2）根据函数图像，总结归纳性质即可；掌握数形结合思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：①列表如下：②描点、连线如下：【小问2详解】解：由（1）所得图像可得如下性质：①函数图像的对称轴为=1x −；②当1x >−，y 随x 的增大而减小；③函数图像无限靠近x 轴，但不会和x 轴相交（不唯一合理即可）．22. 小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．【答案】31.5 【解析】【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B '和Rt MN B '中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan 4β=，进而得到()2104BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x = 则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+在Rt MM B '中，()1·tan 2103BM MM x α==+'； Rt MN B '中，·tan BM MN β'=， ∵sin 13β=，∴cos 3β=，∴tan 4β=，∴()2104BM x =+，∴())122021034x x +=+，解得：35x =+，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=+⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m +．23. 如图，正方形纸片ABCD ．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边AD 与BC 重合，得到折痕EF ；第二步，将BCF △折叠，得到折痕BF ；第三步，将ABP 折叠，使顶点A 落在折痕BF 上点Q 处．（1）求证：点P 恰为线段AD 的黄金分割点；（2）现有矩形纸片ABCD ，其中AB BC <，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个30︒的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明30︒角的位置，不需要证明．【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键．（1）先运用勾股定理得到2BF =，然后在Rt QPF 和Rt DGF 中，运用2222FQ PQ DF DP +=+解题计算即可证明；（2）先对折矩形，然后再折叠，使得点A 落在第一次的折痕上，即可得到30︒角． 【小问1详解】 证明：如图，连接PF ，设正方形ABCD 的边长为1，则12DF =．在Rt BCF 中，2BF ==，则12QF BF BQ =−=−． 设AP PQ x ==，则1PD x =−， 在Rt QPF 和Rt DGF 中，有2222FQ PQ DF DP +=+， 即()222211122x x ⎛⎫⎛⎫−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝， 解得512x √−=， 即点P 是AD 的黄金分割点(AG GD >)； 【小问2详解】方法如图所示:第一步：对折矩形纸片ABCD ,使 AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，落点为点N ，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时，得到线段BN .则30ABM MBN NBC ∠∠∠===︒．24. 如图，直线1l ：122y x =+与x 、y 轴的交点为A 、B ，点P 是该直线上位于第一象限内的一点，满足12PB BA =．（1）以B 为顶点的抛物线2y ax bx c =++与线段AB （不含点A 、B ）有交点，求a 的取值范围； （2）将直线1l 平移得到直线2l ，直线2l 与x 、y 轴的交点为C 、D ，且使BC CD ⊥，问：直线1l 平移到直线2l ，至少需要平移多少距离？（3）如果（1）中抛物线2y ax bx c =++与直线2l 在抛物线对称轴右侧的交点为Q ，当PQA △与PQB △相似时，求此时抛物线的表达式．【答案】（1）108a −<<（2 （3）2129y x =−+ 【解析】【分析】（1）根据题意可得：a<0、0b =、()()4,0,0,2A B −，然后求出抛物线过临界点时的a 的取值，进而完成解答；确定a 、b 的取值范围是解答本题的关键； （2）设平移后的直线2l 的解析式为：212y x t =+；BC 的解析式为3y kx b =+，根据垂直直线的关系可得2k =−，进而确定(),0,0,2b C D t ⎛⎫⎪⎝⎭；再根据点C 在2l 上可得4b t =−，则0,4b D ⎛⎫− ⎪⎝⎭；再运用勾股定理列方程可得2b =，然后确定()11,0,0,2C D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，最后根据两点间距离公式即可解答；明确各直线间的关系是解题的关键； （3）设1,22P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据题意和勾股定理可得()2,3P ；再根据PQA PQB ∽可得3PA PQ AQ PB BQ PQ ===；设Q 的坐标为11,22n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点间距离公式可得3=，解得：3n =或92n =（舍），即Q 的坐标为()3,1；再结合（1）、（2）即可解答；灵活运用相似三角形的性质和两点间距离公式是解题的关键． 【小问1详解】解：∵以B 为顶点的抛物线2y ax bx c =++与线段AB （不含点A 、B ）有交点， ∴抛物线的开口一定向下，即a<0；且对称轴为y 轴，则02ba−=、0b =， 当0x =时，1222y x =+=；当0y =时，4x =−， ()()4,0,0,2A B −；当2y ax bx c =++恰好过()0,2B 点时，则2c =，()220y ax a =+<；当2y ax bx c =++恰好过()()4,0,0,2A B −两点时，有0162a =+，即18a =−； 综上，a 的取值范围为108a −<<． 【小问2详解】解：设平移后的直线2l 的解析式为：212y x t =+；BC 的解析式为3y kx b =+， ∵BC CD ⊥， ∴112k =−，即2k =−， ∴32y x b =−+，∴(),0,0,2b C D t ⎛⎫⎪⎝⎭由点C 在2l 上，则1022b t ⨯+=，解得：4b t =−，即0,4b D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，在Rt BCD 中有222BC CD BD +=，即2222422244b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：2b =，∴()11,0,0,2C D ⎛⎫− ⎪⎝⎭21122y x =−∴平移距离BC ==【小问3详解】 解：设1,22P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵12PB BA =， ∴2BA PB =∴=，解得：2a =，即()2,3P ； ∵PQA PQB ∽∴3PA PQ AQPB BQ PQ=== 设Q 的坐标为11,22n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭3=，解得：3n =或92n =（舍）， ∴Q 的坐标为()3,1，（1）可得由22y ax =+，则192a =+，解得：19a =−． ∴抛物线表达式为：2129y x =−+；25. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，O 是边AC 的中点，点D 位于边AB 上，连接DO 并延长交BC 的延长线于点E ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ．（1）当DE AB ⊥时，求tan AED ∠的值； （2）当EA AB ⊥时，求证：2DF DA DB =⋅；（3）作射线OP ，使其平行于BC ，且在AC 的右侧．试问：在射线OP 上是否存在点Q ，使得OQD OQE ∠=∠如果存在，请求出OQ 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1241（2）见解析 （3）4 【解析】【分析】（1）由中点的性质可得32OA OC ==，再直角三角形可得65OD =、910AD =、158OE = 进而得到12340ED =；最后根据正切的定义即可解答； （2）如图：延长EA FD 、相交于G ，根据平行线等分线段定理可得,,OA EO CO EODG ED DF ED==再说明GD DF =，可得sin ADG DG ∠=；再说明sin DF B DB ∠= 则B G ∠=∠；然后可得AD DF DG BD =，再结合GD DF =即可证明结论；（3）如图：作AI BC ∥交BD 延长线于I ，过O 作射线OP 交AB 于G ，，连接CG 交DF 于H DF 与OG 交于J ，再证DJG HJG ≌可得,DJ JH DG HG ==，进而说明DQO EQO ∠=∠，即H 在EQ上；再根据平行线等分线段定理可得GQ HG DGCE CH AD==；然后再说明OG CQ =即可解答． 【小问1详解】解：∵O 是边AC 的中点，3AC = ∴32OA OC ==∵DE AB ⊥，∴346sin 255BC OD OA CAB OA AB =⋅∠=⋅=⨯= 339cos 2510AC AD OA CAB OA AB =⋅∠=⋅=⨯=631553cos cos 282OC OC OE COE AOD ===÷=∠∠∴1561238540ED =+= ∴912312tan 104041AD AED DE ∠==÷=． 【小问2详解】解：如图：延长EA FD 、相交于G ， ∵AC GF ∥∴,,OA EO CO EODG ED DF ED == ∴OA CODG DF=， ∵OA OC = ∴GD DF = ∵EA AB ⊥， ∴sin ADG DG∠=在Rt DFB △中，sin DFB DB∠= 则B G ∠=∠ ∴AD DFDG BD= ∵GD DF =， ∴AD DFDF BD= 即2DF DA DB =⋅． 【小问3详解】解：如图：假设Q 存，作AI BC ∥交BD 延长线于I ，过O 作射线OP 交AB 于G ，，连接CG 交DF于H DF 与OG 交于J ，∵OG AC ⊥ AG CG = OG BC ∥ ∴G 是AB 的中点，∴,AG CG BG AGO CGO ==∠= ∵DF OP ⊥ JG GJ = ∴DJG HJG ≌ ∴,DJ JH DG HG ==∴DQ HQ = DQO HQO ∠=∠ 又∵DQO EQO ∠=∠ ∴H 在EQ 上， ∵CE QG ∥ ∴GQ HG DGCE CH AD == ∵AI OG ∥ ∴OG DG AI AD= 则OG GQAI CE = ∵,AO CO AI CE =∥ ∴AI CE = ∴OG CQ = ∴12OG AO OB AC == 即12OG OB = ∴24OQ OG BC ===．【点睛】本题主要考查了中点的性质、解直角三角形、三角函数、平行线等分线段定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．,。
2024-2025学年人教版九年级数学上册第一次月考测试题
2024-2025学年人教版九年级数学上册第一次月考测试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2560x xy +-=B ．240x x -=C ．2310x -=D ． 220x +=2．下列函数解析式中，是二次函数的是（ ）A ．21y x =-B ．2221y x x =-+C ．2y ax bx c =++D ．21y x x=+ 3．若关于x 的方程()24102a a x x -++=-是一元二次方程，则a 的取值为（ ） A ．0 B ．4C ．4-D ．4± 4．一元二次方程()()2323x x -=-的根是（ ）A ．2B ．3C ．3或5D ．3或2 5．若关于x 的一元二次方程的两根为11x =、22x =，则这个方程是（ ） A ．2620x x +-=B ．2320x x -+=C ．2230x x -+=D ．2320x x ++=6．二次函数21y x =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若11,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,B y ，()32,C y 三点都在二次函数()21y x =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．123y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y << 8．定义运算：221m n m n m =--☆．例如：2424224123=⨯-⨯-=☆，则方程10x =☆的根的情况为A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或910．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将方程()25231x x x -=+化为一般式，其结果是12．将二次函数21y x =+图像向下平移5个单位长度，平移后的解析式为．13．当31x -≤≤时，二次函数221y x =-+中y 的取值范围是．14．已知a ，b 是实数，且满足()()22222340a b a b +++-=，22 a b +=． 15．已知抛物线()2y a x h =-与()223y x =-+的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是()1,0的抛物线解析式是．三、解答题16．解方程(1)()22316x +=；(2)2430x x --=．(3)2314x x -=．(4)()()2454x x +=+．17．小明同学解一元二次方程x 2﹣6x ﹣1＝0的过程如图所示．解：x 2﹣6x ＝1 …① x 2﹣6x +9＝1 …②（x ﹣3）2＝1 …③x ﹣3＝±1 …④x 1＝4，x 2＝2 …⑤（1）小明解方程的方法是 ．（A ）直接开平方法 （B ）因式分解法 （C ）配方法 （D ）公式法他的求解过程从第 步开始出现错误．（2）解这个方程．18．已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ，2x 两个实数根（1）若11x =，求2x 及m 的值；（2）若120x x -=，求m 的值，并求1x ，2x 的值．19．已知关于x 的一元二次方程()21230x k x k -++-=．(1)求证：无论k 为何值，该方程总有两个不等实根．(2)当Rt ABC △的斜边a b 和c 恰好是这个方程的两个根，求k 的值． 20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？21．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长37m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过4米（围栏宽忽略不计）．(1)每个生态园的面积为45平方米，求每个生态园的边长；(2)每个生态园的面积能否达到72平方米?请说明理由．22．ABC V 中，905cm 6cm B AB BC ∠=︒==，，，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/scm 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/s cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ = ________，PB = ________（用含t 的代数式表示）；(2)是否存在t 的值，使得PBQ V 的面积等于24cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，已知点()2,4A -在抛物线()20y ax a =≠上，过点A 且平行于x 轴的直线交抛物线于点B ．(1)求a 的值和点B 的坐标；(2)若点P 是抛物线上一点，当以点A ，B ，P 为顶点构成的ABP V 的面积为2时，求点P 的坐标．。
安徽省滁州市天长市多校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
安徽省滁州市天长市多校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．反比例函数6y x=-的图象一定经过的点是（ ）A ．()3,2--B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,4--3．下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm B ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm C ．3cm ，5cm ，9cm ，13cmD ．1cm ，2cm ，2cm ，3cm4．抛物线()223=---y x 的顶点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )A ．AD DEDB BC = B ．BF EFBC AD = C ．AE BFEC FC= D ．EF DEAB BC= 6．已知二次函数221y ax ax =-+（a 为常数，且0a <）的图象上有三点()12,A y -，()21,B y ，()33,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．213y y y <<D ．132y y y <<7．菱形的面积为2，其对角线分别为x 、y ，则y 与x 的图象大致（）．A ．B ．C ．D ．8．如图，用总长度为12m 的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与,AD AB 平行，则矩形框架ABCD 的最大面积为（ ）A ．24mB ．26mC ．28mD ．212m9．如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．10310．已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a <）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =-；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．如果在比例尺为1:1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是46厘米，那么A 、B 两地的实际距离是千米．12．已知二次函数269y mx x =--的图象和x 轴有交点，则m 的取值范围是．13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s （米）关于滑行的时间t （秒）的函数解析式是22603s t t =-，无人机着陆后滑行秒才能停下来．14．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以O 为原点的平面直角坐标系中，C ，A 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，正方形OABC 中有如图四个全等的Rt HAO △、Rt EBA △、Rt FCB △、Rt GOC △，若E 是AH 中点，连接OE 并延长交AB 于点D ，连接HF 并延长交AB 于M ，点D 是反比例函数k y x=（0x >）图象上一点．（1）若1k =，则点D 的坐标为． （2）若点M 的坐标为2,3m ⎛⎫⎪⎝⎭，则k =．三、解答题15．已知实数x ，y ，z 满足345x y z==，试求232x y z x y z +--+的值．16．如图，抛物线24y x =-+交x 轴于A ，B 两点，顶点为C ，求ABC V 的面积．17．元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h 时，行驶时间为1.5h ；设小汽车匀速行驶的速度为v km/h ，行驶的时间为t h ． (1)求v 关于t 的函数表达式；(2)若小汽车匀速行驶的速度为60km/h ，则从乙地返回甲地需要几小时？ 18．二次函数的图象顶点坐标为()22--，，且过()10，． (1)求该二次函数解析式；(2)当54x -≤<时，求函数值y 的取值范围．19．如图，点D 是ABC V 边BC 上一点，连接AD ，过AD 上点E 作EF BD ∥，交AB 于点F ，过点F 作FG AC ∥交BC 于点G ﹐已知32AE ED =，4BG =，求CG 的长．20．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少?21．已知线段2AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），(1)求线段AP 的长；(2)以AB 为三角形的一边作ABQ V ，使得BQ AP =，连接QP ，若QP 平分AQB ∠，求AQ 的长．22．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),1A m ，()2,3B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式kax b x+>的解集． (3)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括A ，C 两点），过点D 作DE y ∥轴交反比例函数图象于点E ，当CDE V的面积最大时，求点E 的坐标，并求出面积的最大值． 23．在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T ”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T ”形尺按图1摆放，水平宽AB 的中点为C ，图象的顶点为D ，测得AB 为m 厘米时，CD 为n 厘米．【猜想】（1）探究小组先对2y x =的图象进行多次测量，测得m 与n 的部分数据如表：描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：n 与m 的关系式是_______________； 【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n 与m 也存在类似的关系式，并针对二次函数()2y a x h k =-+（0a >）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程；如图3，平移二次函数图象，使得顶点D 移到原点O 的位置，则：A B AB m ''==，C O CD n '==，22A B mC B ''''==，所以点B '的坐标为________；将点B '的坐标代入2y ax =，得到n 与m 的关系式是_______________．如图4，顶点D 的横坐标加2m个单位，纵坐标加n 个单位得到点B 的坐标，所以点B 的坐标为________； 将点B 的坐标代入()2y a x h k =-+，得到n 与m的关系式是_______________．【应用】（3）已知AB x P 轴且4AB =，两个二次函数()22y x h k =-+和()2y a x h d =-+（0a >）的图象都经过A ，B 两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a 的值．。
安徽省阜阳市2024-2025学年九年级上学期月考数学试题
安徽省阜阳市2024-2025学年九年级上学期月考数学试题一、单选题1．下列函数一定是二次函数的是（ ） A ．2y ax bx c =++ B ．4y x =-- C ．232y x x=-D ．232v s s =+-2．方程2421x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．4、2-、1-B ．4、2、1-C ．4、2-、1D ．4、2、13．若二次函数2y ax =的图象经过点()3,6A -，则该图象必经过点（ ） A ．()3,6-B ．()3,6--C ．()6,3-D ．()6,3二、填空题4．关于x 的一元二次方程2210x bx +-=的根的情况是（ ） A ．实数根的个数由b 的值确定 B ．有两个不相等的实数根 C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根三、单选题5．下列关于二次函数231y x =-的图象说法中，错误的是（ ） A ．它的对称轴是直线0x = B ．它的图象有最低点 C ．它的顶点坐标是()0,1-D ．在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大 6．若m 、n 是关于x 的方程22410x x -+=的两个根，则11m n+的值为（ ） A ．4B ．4-C ．14D ．14-7．一抛物线的形状、开口方向与抛物线21432y x x =-+-相同，顶点为()3,2-，则此抛物线的解析式为（ ）A ．()21322y x =--+ B ．()21322y x =-++ C ．()21322y x =--- D ．()21322y x =-+- 8．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ） A ．24B ．30C ．32D ．369．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．不存在10．函数22y ax x =-+和()0y ax a a =--≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．四、填空题11．二次函数246y x x =++的顶点坐标是．12．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x ，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为．13．已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x --=+，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC V 的形状为． 14．抛物线22y mx m=+的图象交y 轴于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ． （1）点B 坐标为；（2）点22,1C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,0D ，且线段CD 与抛物线恰有一个公共点，则m 的取值范是．五、解答题15．解方程:230x x -=16．直线3y x =-+与抛物线2y ax =交于点()2,n ． (1)求a 和n 的值；(2)对于二次函数2y ax =，当y 随x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围． 17．已知关于x 的一元二次方程2223x ax a +=-． (1)判断方程根的情况；(2)设1x ，2x 是方程的两个根，求2122x x -⎛⎫⎪⎝⎭的值．18．如图，将一些小圆按规律摆放：(1)第5个图形有个小圆，第n 个图形有个小圆（用含n 的代数式表）；(2)能用114个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由．19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20cm AC BC ==，点M 从点A 开始沿AC 以3cm/s 的速度向点C 运动（到点C 时停止），过点M 作MN AB ∥，交BC 与点N ，并设点M 的运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，MCN △的面积为298cm ？ (2)若2125ABNM ABC S S =四边形△，求t 的值． 20．如图，抛物线23y x m =-+与y 轴交于点A ，过点A 作与x 轴平行的直线，交抛物线()2112y x =+相交于点B 、C （点B 在点C 的左面），若4BC =，求m 的值．21．已知二次函数()213423y x n n =-+-． (1)求证：不论n 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上．(2)若点()2,A b a +，()64,B n b a +-都在二次函数图象上，求证：53a ≥．22．某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶．该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶．(1)如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？ (2)同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元．为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价且不高于60元，则洗发水至少需打几折？23．如图，抛物线214y x mx n =-++与x 轴相交于B ，C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点A ，直线AC 的函数解析式为122y x =-+．(1)求点A，C的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．。
宁夏回族自治区吴忠市第四中学2024-2025学年九年级上学期数学10月月考试题
宁夏回族自治区吴忠市第四中学2024-2025学年九年级上学期数学10月月考试题一、单选题1．下列函数中，是关于x 的二次函数的是（）A ．1y x =-B ．2y ax bx c =++C ．21y x =D ．(3)y x x =-+2．若关于x 的一元二次方程2230x x k -+=的一个根为1，则k 的值为（）A ．0B ．1C ．3-D ．2-3．下列关于抛物线223y x x =--+的判断中，正确的是（）A ．形状与抛物线22y x =-相同B ．对称轴是直线1x =-C ．当2x >-时，y 随x 的增大而增大D ．该抛物线与x 轴没有交点4．一元二次方程2270x x --=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．如图，某小区计划在一块长为30m ，宽为21m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2560m ．设道路的宽为m x ，则所列方程正确的是（）A ．()()30213021560x x --=⨯-B ．302213021560x x +⨯=⨯-C ．2302212560x x x +⨯-=D ．()()30221560x x --=6．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点分别为()1,0A -和()2,0B ，当0y <时，x 的取值范围是（）A ．1x <-或2x <B ．1x <-或2x >C ．12x -<<D ．1x >-或2x >7．在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <；②方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，2=3x ；③20a b +=；④0abc >；⑤当0x <时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数是（）．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题9．若()2220mm x x ---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为．10．把抛物线()2213y x =-+的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单长度，则平移后抛物线的解析式是．11．已知a ，b 是一元二次方程2220250x x +-=的两个根，则23a a b ++=．12．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x 名学生，则列出的方程化为一般式为．13．已知二次函数()()210y a x k a =-+>的图象上有三点()12,A y ，()23,B y ，()34,C y -，则1y ，2y ，3y 的大小关系为．14．已知点()1,4A x ，()2,4B x 是函数23y x x =-图象上两点，则当12x x x =+时，函数值y =．15．二次函数222y x x -=+，当03x ≤≤时，y 的取值范围是．16．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）一元二次方程2680x x -+=（选填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若(3)()0x mx n --=是倍根方程，则2nm的值为．三、解答题17．解方程：(1)()22250x +-=；(2)2430x x --=．18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：()()231231x x -=-．解：方程两边同除以()31x -，得312x -=．…第一步移项，合并同类项，得33x =．…第二步系数化为1，得1x =．…第三步任务：(1)小明的解法从第______步开始出现错误；(2)请写出此题的正确解题过程．19．已知关于x 的方程250x ax a +--=．(1)若方程有一个根为2，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．20．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边A 长为x 米．(1)平行于墙的边BC 为____米，围成的矩形面积为____平方米．（用含x 的代数式表示）(2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米，若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．21．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)求二次函数的解析式；(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围；(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______．22．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度AB 为60m ，拱顶C 离地面高18m ，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．(1)以AB 的中点O 为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；(2)当水面宽度小于或等于30m 时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为4m ，是否需要采取紧急措施？并说明理由．23．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w （元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x 的值．24．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()()1030A B -，、，两点．与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若10,PAB S = 求出此时点P 的坐标．(3)在对称轴上是否存在点Q ，使AOC △周长最小，若存在，求出点Q 坐标和AQC 周长，若不存在，请说明理由．。
湖北荆州2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年10月学情监测试卷九年级数学（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 方程224135x x x +−=+化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A. 2和1B. 2和7C. 1和6−D. 1和4 【答案】A【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据()200ax bx c a ++=≠进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，2243150x x +−−−=，整理得，2260x x +−=，∴二次项系数和一次项系数分别为21，，故选：A ．2. 若方程220x kx −+=的一个根是2−，则k 的值是（ ）A. 1−B. 1C. 3−D. 3 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把2x =−代入计算即可求解．【详解】解：根据题意，把2x =−代入得，()()22220k −−−+=，解得，3k =−，故选：C ．3. 一元二次方程2530x x −+=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根【答案】B【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出0∆>，从而得出方程有两个不相等的两个实数根，掌握“当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．【详解】解：∵方程2530x x −+=，∴()2Δ5413130=−−××=>，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：B ．4. 对于二次函数()22y x =−−，下列说法错误的是（ ）A. 它的图象的开口向下B. 它的图象的对称轴是直线2x =C. 当2x =时，y 取最大值D. 当2x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据二次函数顶点式的解析式()2y a x h k =−+进行分析即可求解．【详解】解：已知二次函数顶点式()22y x =−−，10−<，图象开口向下，顶点坐标为()2,0，对称轴为xx =2， ∴A 、B 选项正确，不符合题意；当xx =2时，函数有最大值，最大值为0，故C 选项正确，不符合题意；当xx >2时，y 随x 的增大而减小，故D 选项错误，符合题意；故选：D ．5. 若抛物线()22110ya x a −−+经过原点，则a 的值是（ ） A. 1±B. 1C. 1−D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，将()0,0代入解析式求出a 的值，再根据二次项系数不能为0对a 的值进行取舍，即可得出答案．【详解】解： 抛物线()22110y a x a −−+经过原点()0,0，∴210a −+=，解得1a =±，当1a =时，二次项系数10a −=，不合题意，∴1a =−，故选C ．6. 用配方法解方程2640x x −+=时，变形结果正确的是（ ）A. ()2314x −=B. ()235x −=C. ()2640x −=D. ()2632x −= 【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．先移项化为264x x −=−，可得2695x x −+=，再进一步求解即可．【详解】解：∵2640x x −+=，∴264x x −=−，∴2695x x −+=，∴()235x −=，故选：B ．7. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x 人，则可列出的方程为（ ）A. 2111x =B. 21111x +=C. 21111x x ++=D. ()21111x += 【答案】C的【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．【详解】解：设参与该活动后规定“@”x 人，则可列出的方程为：21111x x ++=，故选：C ．8. 某抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为()232y x =−−，则原抛物线的解析式为（ ）A. ()211y x =−+B. ()251y x =−+C. yy =(xx −1)2−5D. ()255y x =−− 【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左键右键，上加下减”即可求解．【详解】解：A 、()()22121332y x x =−−+−=−−，符合题意； B 、()()22521372y x x =−−+−=−−，不符合题意；C 、()()22125338y x x =−−−−=−−，不符合题意； D 、()(22525378y x x −−−−−−，不符合题意； 故选：A ．9. 若a 是关于x 的方程22310x x −+=的一个根，则2202446a a −+的值是（ ）A. 2025B. 2026C. 2022D. 2023【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意，把x a =代入22310x x −+=，得2231a a −=−，再把2231a a −=−代入()222024462024223a a a a −+=−−中计算，即可作答． 【详解】解：∵a 是关于x 的方程22310x x −+=的一个根，∴把x a =代入22310x x −+=，得2231a a −=−，∴()()2220244620242232024212026a a a a −+=−−=−×−=， 故选：B ．10. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =−．下列结论：①0abc >；②0a b c −+>；③若点11,2M y − 、点25,2N y −是函数图象上的两点，则12y y >；④3255a −<<−；其中正确的结论是（ ）A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与x 轴交于点()1,0A ，对称轴为直线2x =−，可得另一个交点为()5,0−，4b a =，根据二次函数与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间（不包括这两点），可得23c <<，由此可得5c a =−，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解．【详解】解：二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A ，对称轴为直线2x =−， ∴另一个交点为()5,0−，22b x a=−=−， ∴4b a =，∴a b ，同号，即0ab >， ∵二次函数与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间（不包括这两点）， ∴23c <<，∴0abc >，故①正确；当xx =1时，0y a b c =++=，且4b a =，∴50a c +=，则5c a =−，∵23c <<，∴253a <−<，则3255a −<<−，即0a <， ∵4580abc a a a a −+=−−=−>，∴0a b c −+>，故②，④正确；∵对称轴为2x =−，0a <，∴当2x <−时，y 随x 的增大而增大；当2x >−时，y 随x 的增大而减小；即离对称轴越远，值越小，∵()5113222222 −−−=−−−= ，， ∴12y y <，故③错误；综上所述，正确的有①②④，故选：D ．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11. 抛物线2(2)1y x =+−的顶点坐标为________．【答案】(2,1)−−【解析】【分析】根据二次函数的解析式的顶点式即可得．【详解】抛物线2(2)1y x =+−的顶点坐标为(2,1)−−，故答案为：(2,1)−−．【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12. 已知方程2320x x −−=的两根分别为1x ，2x ，则1212x x x x ++的值为_________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则1212b c a x x x x a+=−=，． 利用根与系数的关系得到12x x +，21x x 的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵方程2320x x −−=的两个根分别为1x ，2x ，∴123x x +=，122x x =− ∴1212231x x x x =−++=+． 故答案为：1．13. 加工爆米花时，爆开且不糊颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =−+−，则最佳加工时间为________min ．【答案】3.75的【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式2b x a=−直接计算即可． 【详解】解：∵20.2 1.52y x x =−+−的对称轴为()1.5 3.75220.2b x a =−=−=×−（min ）， 故：最佳加工时间为3.75min ，故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 14. 如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为2516y x =-，当涵洞水面宽为12m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为_________m ．【答案】454【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据题意，()()6,06,0A B −，，代入计算即可求解．【详解】解：根据题意，12AB =，∴()()6,06,0A B −，，把xx =6代入得，25456164y =−×=−， ∴顶点O 至水面的距离为45m 4， 故答案为：454 ． 15. 已知关于x 的一元二次方程()()2530x x n −−−=的两个实数根为1x ，2x ，且213x x =，则n 的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先化为一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系可得128x x +=，21215x x n =−，结合已知条件得出122,6x x ==，进而根据21526n −=×，即可求解． 【详解】解：()()2530x x n −−−= ∴228150x x n −+−=∴128x x +=，21215x x n =− 又∵213x x =∴148x =，∴122,6x x == ∴21526n −=×解得：n =故答案为：．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 解下列方程：（1）2310x x −+=；（2）22150x x +−=．【答案】（1）1x =，2x =（2）15x =−，23x =【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，公式法和配方法是解题的关键． （1）运用公式法求解；（2）运用因式分解法求解．【小问1详解】解：∵1,3,1a b c ==−= ∴()2341150∆=−−××=>，∴x ，∴1x =2x = 【小问2详解】解：()()530x x +−=∴50x +=，30x −=， ∴15x =−，23x =.17. 已知关于x 的方程260x kx −+=有两个实数根α，β，其中3α=−，求另一个根β和k 的值．【答案】2β=−，5k =−【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根12x x ，，1212b c x x x x a a+=−=，即可求解． 详解】解：∵6αβ=，3α=−，∴2β=−，∵k αβ+=， ∴325k =−−=−．18. 已知函数231y x x =−−+．（1）该函数图象的开口方向是________；（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小?【答案】（1）向下 （2）对称轴是32x =−，顶点坐标是313,24 − （3）32x >−【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数开口方向，增减性，顶点坐标和对称轴是解题的关键．【（1）根据10a =−<，即可判定抛物线的开口方向； （2）根据1a =−，3b =−，1c =，结合顶点坐标公式进行求解即可； （3）根据0a <时，二次函数的增减性进行求解即可．【小问1详解】解：∵10a =−<，∴函数图象的开口方向是向下；小问2详解】解：∵1a =−，3b =−，1c =， ∴33222b a −−=−=−−， 244913444ac b a −−−==−， ∴函数图象的对称轴是32x =−，顶点坐标是313,24 − ； 【小问3详解】解：∵开口向下， ∴当32x >−时，y 随x 的增大而减小． 19. 已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k −−+−=有两个实数根1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得2212129x x x x +−=成立?若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）14k ≥−（2）存在，2k =【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系， （1）根据一元二次方程有两个实数根可得240b ac ∆=−≥，由此即可求解； （2）运用一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=−，12c x x a =，乘法公式的变形，代入求值即可． 【小问1详解】【解：根据题意得()()2221420k k k ∆=−−−−≥ ， 解得，14k ≥−； 【小问2详解】解：根据题意得1221x x k +=−，2122x x k k =−， ∵2212129x x x x +−=， ∴()212121229x x x x x x +−−=，即()2121239x x x x +−=， ∴()()2221329k k k −−−=，整理得2280k k +−=， ∴()()240k k −+=，且14k ≥− 解得，12k =，24k =−（不符合题意，舍去）， ∴2k =．20. 阅读下列材料：为解方程4260x x −−=，可将方程变形为()22260x x −−=，然后设2x t =，则()222x t =，原方程化为260t t −−=①，解①得12t =−，23t =．当12t =−时，22x =−无意义，舍去；当23t =时，23x =，解得x =1x =2x =；这种方法称为“换元法”，则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用换元法解方程()()2227180x xx x −+−−=． 【答案】12x =，21x =−【解析】【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设2x x t −=，于是原方程化为27180t t +−=，求解t ，再进一步求解即可．【详解】解：设2x x t −=，于是原方程化为27180t t +−=，∴()()290t t −+=， 解得12t =，29t =−；当2t =时，22x x −=，∴220x x −−=，∴()()210x x −+=， 解得12x =，21x =−；当9t =−时，29x x −=−，∴290x x −+=，此时2(1)4190=−−××<△，方程无解，故原方程的解为12x =，21x =−．21. 如图，抛物线2y x bx c =++与直线1y x =−交于点()1,A m −和(),2B n ．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象直接写出不等式21x bx c x ++>−的解集．【答案】（1）24y x x =−−（2）1x <−或3x >【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，函数与不等式的关系等知识．（1）先求出点A 、B 的坐标为()1,2−−，()3,2，再代入2y x bx c =++即可求解；（2）根据函数与不等式的关系结合图象即可求解．【小问1详解】解：把()1,A m −和(),2B n 代入1y x =−，得112m =−−=−，21n =−，∴3n =，∴()1,2A −−，()3,2B ，把()1,2A −−，()3,2B 代入2y x bx c =++，得12932b c b c −+=− ++=， 解得14b c =− =−， ∴抛物线的解析式为24y x x =−−；【小问2详解】解：求不等式21x bx c x ++>−的解集可以看作当抛物线24y x x =−−的图象位于直线1y x =−的上方时求自变量x 的取值范围，∴由图象得不等式21x bx c x ++>−的解集为1x <−或3x >．22. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+≠．某次发球时，羽毛球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：请根据上述数据，解决问题：（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系()()20y a x h k a =−+≠； （2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m ，当发球点距离球网5m 时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 【答案】（1）()225042727y x =−−+，50 m 27（2）能，理由见解析【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键；（1）先求解抛物线的对称轴与顶点坐标，再设设抛物线的关系式为()250427y a x =−+，再代入0x =，23y =即可得到答案； （2）把5x =代入()225042727y x =−−+可得169y =，再比较即可． 【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，当2x =时，149y =，当6x =时，149y =， ∴点142,9 与146,9关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线2642x +=，根据表格中的数据可知，当4x =时，5027y =， ∴抛物线的顶点坐标为504,27， 即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为50m 27；设抛物线的关系式为()250427y a x =−+，把0x =，23y =代入得：()225004327a =−+， 解得：227a =−， ∴抛物线的关系式为()225042727y x =−−+．【小问2详解】解：把5x =代入()225042727y x =−−+得：225016(54)27279y =−−+=， ∵161.559>，∴羽毛球能越过球网．23. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量y （件）与售价x （元）的相关信息如下： 售价x （元）100 110 120 130 …销售量y（件）180160 140 120 … （1）试用你学过函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是_______（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为______；（2）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到5600元? （3）若获利不得高于进价的60%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大? 【答案】（1）一次函数，2380y x =−+ （2）120元 （3）128元【解析】【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，一元二次方程的运用，（1）根据表格信息可得当售价x 增大时，销售量y 逐渐减小，可得这个函数是一次函数，运用待定系数即可求解；（2）根据题意得()()8023805600x x −−+=，解一元二次方程，结合题意取值即可； （3）设利润为w 元，则2(80)(2380)254030400w x x x x =−−+=−+−，根据获利不得高于进价的60%，即获利不得高于808060%128+×=（元），可得80128x ≤≤，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】解：根据表格信息，当售价x 增大10时，销售量y 减小20，∴这个函数是一次函数，设该一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，把100180x y =，，110160x y =，代入得， 100180110160k b k b += +=， 解得，2380k b =− =， ∴一次函数解析式为2380y x =−+， 的当120x =时，2120380120y =−×+=，符合题意， ∴该函数是一次函数，解析式为2380y x =−+； 【小问2详解】解：根据题意得()()8023805600x x −−+=， 解得1120x =，2150x =，∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，∴150x =不合题意舍去，答：当售价为120元时，月销售利润达到5600元；【小问3详解】解：设利润为w 元，则2(80)(2380)254030400w x x x x =−−+=−+−， ∴当54013524b x a =−=−=−时，w 取最大值， ∵获利不得高于进价的60%，即获利不得高于808060%128+×=（元）， ∴80128x ≤≤，∵20−<，∴当135x ≤时，w 随x∴当128x =时，w 最大，答：售价定为128元时，月销售利润达到最大．24. 如图1，抛物线22y ax x c =−+与x 轴交于点()30A −,和B ，与y 轴交于点()0,3C ．（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）如图2，若P 是线段OA 上一动点，过P 作y 轴的平行线交抛物线于点H ，交AC 于点N ，设点P 的横坐标为t ，ACH 的面积为S ．求S 关于t 的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值，求出S 的最大值；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作直线PQ BC ∥交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以B P Q C ，，，为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−−+，()1,4−； （2）23922S t t =−−，32t =−时，S 有最大值，最大值是278；（3）存在，P 点坐标为()1,0−或()2−−或()2−+．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （2）求出直线AC 的函数解析式，用含t 的式子表示出点N H 、的坐标，得出NH ，再根据12AHN CHN S S S HN OA =+=×× 求出S 关于t 的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （3）求出B 点坐标，得到OB 的长，再分CQ BP ∥、点P 在点A 的左侧，CP BQ ∥和当点P 点A 的右侧，CP BQ ∥三种情况，画出图形解答即可求解．【小问1详解】解：把()3,0A −，()0,3C 代入22y ax x c =−+得，9603a c c ++= =， 解得13a c =− = ， ∴该抛物线的解析式为223y x x =−−+， ∵()222314y x x x =−−+=−++，∴该抛物线的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】 解：设直线AC 的函数解析式为y kx b =+，把()3,0A −，()0,3C 代入得， 033k b b=−+ = ，解得13k b = =， ∴直线AC 的函数解析式为3y x ，把x t =代入3y x 得，3y t =+，∴(),3N t t +，∵点P 的横坐标为t ，∴PH y ∥轴，∴点H 的横坐标为t ，∴()2,23H t t t −−+， ∴()222333HN t t t t t =−−+−+=−−， ∴()22211393327332222228AHN CHNS S S HN OA t t t t t =+=××=×−−×=−−=−++ ， ∵302−<， ∴当32t =−时，S 有最大值，最大值为278； 【小问3详解】解：存在，理由如下：把0y =代入223y x x =−−+得，2023x x =−−+，解得13x =−，21x =，∴()1,0B ，∴1OB =，如图，当CQ BP ∥时，四边形BCQP 为平行四边形，∴CQ PB =，把3y =代入223y x x =−−+得，2233x x −−+=，解得10x =，22x =−，∴()2,3Q −，∴2CQ =，∴2BP =，∴211OP =−=，∴()1,0P −；如图，当点P 在点A 的左侧，CP BQ ∥时，四边形BCPQ 是平行四边形，过点Q 作QM x ⊥轴于M ，则90∠=∠=°QMP COB ， ∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴PQ BC =，PQ BC ∥，∴QPM CBO ∠=∠， ∴()AAS QPM CBO ≌，∴1MP OB ==，3MQOC ==， ∴点Q 的纵坐标为3−，把=3y −代入223y x x =−−+得，2323x x −=−−+，解得11x =−21x =−（不符合，舍去），∴点P 的横坐标为2−−∴()2P −；如图，当点P 在点A 的右侧，CP BQ ∥时，四边形BCPQ 是平行四边形，过点Q 作QN x ⊥轴于N ，则90QNP COB ∠=∠=°，同理可得()2P −+；综上，点P 的坐标为()1,0−或()2−或()2−．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．。
2024-2025学年初中九年级上学期第一次月考数学试题及答案(苏科版)
2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是（ ）A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x+= 2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为（ ）A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x += 4. 若关于x 一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上的三点，则123,,y y y 为的大小关系为（ ）A 123y y y >> B. 132y y y >> C. 321y y y >> D. 312y y y >> 7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为（ ） x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >的.二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根，则22101m m −−=______． 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0，则m 的值为________ 12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形．假设矩形的一边长是cm x ，则可列出方程_____________________13. 如图，已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________．14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ ．15. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 取值范围为__________16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−，则飞机着陆后滑行_________秒才停下来．17. 如图所示，,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点，且直线AB 垂直于y 轴，若2AB =，则点B 的纵坐标为________．18. 如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高163米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子的正方形的最大边长为______米．三、解答题19. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由． 20. 解方程：（1）2(2x 1)9+=；（2）2x 2﹣4x ＝1（配方法）；（3）22x 5x 10−+=；（4） ()2(x 3)4x 3x 0−−−= 21. 随着科技的发展，某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G 基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G 基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为多少？22. 如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．（1）当羊圈的边AB 的长为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．23. 已知函数()214y x =−−+．（1）当x =____________时，抛物线有最大值，____________．（2）当x ____________时，y 随x 的增大而增大．（3）该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到？（4）该抛物线与x 轴交于点____________，与y 轴交于点____________．（写坐标）（5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．24. 已知图象的顶点坐标是()2,1，且与x 轴的一个交点坐标是()3,0，求此二次函数的解析式． 25. 已知：二次函数()221y x m x m =−++−． （1）求证：该抛物线与x（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、（A 在原点左边，B 在原点右边），且3AB =，求此时抛物线的解析式．26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C −．（1）求二次函数解析式；（2）若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，连接PA ，PB ，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；是的2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是（ ）A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x += 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A 、当0a ≠时，20ax bx c ++=是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、22x x −=是一元二次方程，故本选项符合题意；C 、变形为22x =不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、11x x+=含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键．【详解】解：一元二次方程2310x x −−=， 3,1,1a b c ==−=−，()()21431∴∆−−××−112=+130=>，∴一元二次方程2310x x −−=的根的情况为有两个不相等的实数根，故选：D ．3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为（ ）A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x +=【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：2430x x −+=，∴243x x −=−，∴24434x x −+=−+，即()221x −=．故选：B4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根，∴()26490k ∆=−−×>，且0k ≠，解得：1k <且0k ≠，即k 的取值范围是1k <且0k ≠．故选：D5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案．【详解】解：将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度，得到22y x =+，再向右平移3个单位长度，得到()232y x =−+， 故选：B ．6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上三点，则123,,y y y 为的大小关系为（ ）A. 123y y y >>B. 132y y y >>C. 321y y y >>D. 312y y y >>【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．【详解】解：∵()221y x a =−+,∴抛物线的对称轴为直线1x =，开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵点()12,A y −离对称轴最远，点()21,B y 在对称轴上，∴132y y y >>．故选：B ．7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x 轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k 的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案．【详解】解：∵抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点， 的∴()()2Δ44200k k =−−×−⋅> ≠ ， ∴2k >−且0k ≠，故选：C ．8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为（ ） x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数的表达式，再根据与x 轴的交点即可求出0y <的x 的取值范围，解题的关键是求出二次函数2y ax bx c ++的表达式．【详解】解：由表格可知2y ax bx c ++经过()2,0−，()3,0，()0,6−，设解析式为()()23y a x x =+−∴()()02036a +−=−， 解得：1a =，∴抛物线解析式为()()2236y x x x x =+−=−−，∴抛物线图象开口向上，与x 轴的交点为()2,0−，()3,0，∴0y <时x 的取值范围是23x −<<，故选：C ．二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根，则22101m m −−=______． 【答案】3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m 代入2520x x −−=，求出252m m −=，即可求出22101m m −−的值．【详解】解：∵m 是方程2520x x −−=的一个根，∴252m m −=，∴()2221012512213,m m m m −−=−−=×−=故答案为：3． 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 【答案】1或3−【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．根据判别式的意义得到()2Δ1410k =+−×=，然后解关于k 的方程即可． 【详解】解：由题意得：()2Δ1410k =+−×=，即：()214k +=，解得：1k =或3−，故答案为：1或3−． 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0，则m 的值为________ 【答案】2−【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将0x =代入方程求出2m =±，再根据一元二次方程的定义求出2m ≠，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：将0x =代入()22240m x mx m −++−=，得240m −=， 解得2m =±，∵20m −≠，∴2m ≠，∴2m =−，故答案为2−．12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形．假设矩形的一边长是cm x ，则可列出方程_____________________ 【答案】22=302x x −【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S ab =来解题的方法．本题可根据长方形的周长可以用x 表示另一边长的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：一边长为 c m x ，则另一边长为22cm 2x −， 得22=302x x −． 故答案为：22=302x x −． 13. 如图，已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________．【答案】30x −≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x 的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】∵抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点， ∴由函数图象可得，不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是30x ≤≤﹣，故答案为：30x −≤≤．14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ ． 【答案】()3,2− 【解析】【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)性质，2()y a x h k =−+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(,)h k ，对称轴是直线x h =． 【详解】解：物线()232y x =−−−的顶点坐标是()3,2−．故答案为：()3,2−．15. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________ 【答案】35y −≤≤##53x ≥≥− 【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−， ∴当1x >−时，y 随x 增大而增大， ∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤， 故答案为：35y −≤≤．16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−，则飞机着陆后滑行_________秒才停下来． 【答案】20 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s 最大时对应的t 值，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】∵()2260 1.5 1.520600s t t t =−=−−+， ∴当20t =时，s 取得最大值600， ∴飞机着陆后滑行20秒才停下来．的的故答案：20．17. 如图所示，,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点，且直线AB 垂直于y 轴，若2AB =，则点B 的纵坐标为________．【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B 横坐标，再代入解析式即可解答． 【详解】解：∵()2221y x =−−， ∴抛物线对称轴为直线2x =， ∵2AB =，∴点B 横坐标为213+=，将3x =代入()2221y x =−−得1y =， ∴点B 的纵坐标为1． 故答案为：118. 如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高163米，现要水平放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为______米．【解析】为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先建立解析中坐标系，则()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，，利用待定系数法求出抛物线解析式为211633y x =−+，再把B 、C 坐标代入求解即可．【详解】解：建立如下平面直角坐标系，则点()4,0A ，设大小正方形的边长分别为2m ，n ，则点B 、C 的坐标分别为：()(),2,m m m n n +，、设抛物线的表达式为：()21603y ax a =+≠， 将点A 的坐标代入上式得：160163a =+，解得13a =−，∴抛物线的表达式为：213y x =− 将点B 、C 的坐标代入上式得：()2211623311633m m n m n =−+ =−++①②，由①得1228m m ==−，(舍去），解得：2m n = = 或2m n = =（舍去），米．． 三、解答题19. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．（1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？（3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）()40x −，2x（2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）不能，理由见解析 【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x 元，根据题意列出代数式即可；（2）设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，根据题意列出一元二次方程求解即可；（3）设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【小问1详解】解：设每套拖把降价x 元，则每天销售量增加2x 套，即每天销售()202x +套， 每套拖把盈利()1208040x x −−=−元．故答案为：()40x −，()202x +； 【小问2详解】解：设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x −元，平均每天的销售量为()202x +套，依题意得：()()402021242x x −+=， 整理得：2302210x x −+=，解得：121317x x ==，． 又∵需要尽快减少库存，∴17x =．答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； 【小问3详解】解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y −−元，平均每天的销售量为()202y +套，依题意得：()()120802021400y y −−+=， 整理得：2303000y y −+=． ∵()22Δ43041300300<0b ac =−=−−××=−， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 20. 解方程：（1）2(2x 1)9+=； （2）2x 2﹣4x ＝1（配方法）； （3）22x 5x 10−+=；（4） ()2(x 3)4x 3x 0−−−=【答案】（1）121,2x x ==−；（2）1211x x ；（3）12x x ；（4）1233,5x x == 【解析】【分析】（1）直接开平方法解方程即可；（2）先方程两边除以2，将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上1，配方开平方即可解答； （3）确定a 、b 、c ，求出△值，当判断方程有解时，带入公式求解即可； （4）整理方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）2(2x 1)9+= 开平方，得：2x 13+=±， 解得：121,2x x ==−； （2）22x 41x −=，二次项系数化为1，得：21x 22x −=， 配方，得：21x 2112x −+=+， 即23(x 1)2−=，开方，得：1x −=解得：1211x x （3）22x 5x 10−+= ∵a=2，b=﹣5，c=1,∴△=224(5)42117b ac −=−−××=﹥0,∴x =，解得：12x x =（4）()2(x 3)4x 3x 0−−−= ()2(x 3)4x 30x +−−=(3)(53)0x x −−=∴30x −=或530x −=，解得：1233,5x x ==． 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点，灵活选用解法是解答的关键．21. 随着科技的发展，某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G 基站数量约为1.5万座，计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G 基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为多少？ 【答案】（1）6万座 （2）70% 【解析】【分析】本题考查有理数乘法的应用，一元二次方程的实际应用：（1）根据计划到今年底，全省5G 基站数是目前的4倍，列出算式计算即可；（2）设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可 【小问1详解】解：由题意得：1.546×=（万座）； 答：计划在今年底，全省5G 基站数量是6万座． 【小问2详解】解：设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，由题意得：()26117.34x +=，解得：120.7, 2.7x x ==−（不符合题意，舍去）； 答：全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．22. 如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．（1）当羊圈的边AB 的长为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？（2）羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈 （2）羊圈的面积不能达到2650m ，理由见解析 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】解：设羊圈的边AB 的长为m x ，则边BC 的长为()722m x －，根据题意，得()722640x x −=，化简，得2363200x x −+=，解方程，得116x =，220x =，当116x =时，72240x −=， 当220x =时，72232x −=．答：当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时，能围成一个面积为2640m 的羊圈． 【小问2详解】不能，理由如下：根据题意，得()722650x x −=， 化简，得2363250x x −+=，()22436432540b ac −=−×=−−< ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到2650m 23. 已知函数()214y x =−−+．（1）当x =____________时，抛物线有最大值，是____________． （2）当x ____________时，y 随x 的增大而增大．（3）该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到？（4）该抛物线与x 轴交于点，与y 轴交于点____________．（写坐标） （5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．【答案】（1）1；4 （2）1<（3）见解析 （4）(1,0)−和(3,0)；(0,3) （5）见解析 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为1−得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；（3）找出函数2y x =−的顶点坐标，结合函数2(1)4y x =−−+的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令0y =可得出关于x 的一元二次方程，解方程求出x 值，由此得出抛物线与x 轴的交点坐标；令0x =求出y 值，由此即可得出抛物线与y 轴的交点坐标；（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【小问1详解】解： 函数解析式为2(1)4y x =−−+，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)． ∴当1x =时，抛物线有最大值，是4．故答案为：1；4； 【小问2详解】解： 抛物线的开口向下，对称轴为1x =，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大．故答案为：1<； 【小问3详解】解： 函数2y x =−的顶点坐标为(0,0)，∴将函数2y x =−的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数2(1)4y x =−−+的图象．【小问4详解】解：令0y =，则有2(1)40x −−+=， 解得：11x =−，23x =，∴该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)−和(3,0)．当0x =时，2(01)43y =−−+=， ∴该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(1,0)−和(3,0)；(0,3)． 【小问5详解】 解：列表：x 1−0 1 2 3 y343描点，连线，该抛物线的图象如图：．24. 已知图象的顶点坐标是()2,1，且与x 轴的一个交点坐标是()3,0，求此二次函数的解析式． 【答案】()221y x =−−+ 【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把解析式设顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数解析式为()()2210y a x a =−+≠，把()3,0代入()()2210y a x a =−+≠中得：()20321a =−+，解得1a =−，∴此二次函数解析式为()221y x =−−+． 25. 已知：二次函数()221y x m x m =−++−．（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、（A 在原点左边，B 在原点右边），且3AB =，求此时抛物线的解析式．【答案】（1）见解析 （2）2y x x 2−− 【解析】【分析】（1）根据()()22Δ2418m m m =+−−=+的符号，即可求解，为（2）由根与系数关系，列出()()2224A B A B A B AB x x x x x x =−=+−⋅，即可求解，本题考查了根的判别式，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握根的判别式，根据系数关系．【小问1详解】证明：()()22Δ2418m m m =+−−=+，20m ≥ ，2Δ880m ∴=+≥>，故抛物线与x 轴一定有两个交点，【小问2详解】解：令0y =，得()2210x m x m −++−=， 由（1）知Δ0>，2A B x x m ∴+=+，1A B x x m ⋅=−，()()()()22224241A B A B A B AB x x x x x x m m =−=+−⋅=+−−， ()()22419m m ∴+−−=，解得1m =±，A 在原点左边，B 在原点右边，10A B x x m ∴⋅=−<，1m ∴<，1m ∴=−，故抛物线的表达式为：2y x x 2−−．26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C −．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，连接PA ，PB ，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；【答案】（1）245y x x =−−（2）当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24 − 【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −，则25PQ x x =−+，然后根据ABPS PQ OB =⋅ 计算即可． 【小问1详解】解：当xx =0时，5y =−，∴点A 的坐标为()0,5−， 当0y =时，50x −=，解得5x =，∴点B 的坐标为()5,0，设抛物线的解析式为()()51y a x x =−+，代入()0,5−得：55a −=−，解得：1a =，∴二次函数的解析式为()()25145y x x x x =−+=−−； 【小问2详解】解：过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ，设点P 的坐标为()2,45x x x −−，则点Q 的坐标为(),5x x −， ∴225(45)5PQ x x x x x =−−−−=−+， ∴()2211551255522228ABP S PQ OB x x x =⋅=×−+×==−−+ ， 当52x =时，ABP S 最大，最大为1258，这时点P 的坐标为535,24 − ．。
河南省周口市郸城县多校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
河南省周口市郸城县多校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1x 的取值范围是( ) A ．x <1B ．x ≤1C ．x >1D ．x ≥12．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．210x +=B ．1x y +=C ．21x =-D ．1xy =3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D 4．将一元二次方程22342x x --=-化为一般形式，其中常数项是（ ） A ．2-B ．6-C ．2D ．65．下列计算正确的是（ ）A B 4C 2=-D =6．一元二次方程2230x x +-=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根7．若x =是某个一元二次方程的根，则这个方程是（ ）A ．2430x x +-=B ．2430x x --=C ．2430x x -+=D ．2430x x ++=8．新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商7月份至9月份统计，该品牌新能源汽车7月份销售1000辆，9月份销售1690辆．设月平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A ．()2169011000x -= B ．()2100011690x += C ．()1000121690x +=D ．()1000121690x x ++=9．已知实数m ，n ）A ．5m n -+B ．5m n ++C ．1m n ++D ．1m n -+10．若实数a 、b 分别满足2410a a -+=、2410b b -+=且a b ≠，则2253a a b ab -++的值为（ ）A ．3B ．13-C ．5-D ．11二、填空题111x +，则x 的取值范围是．12．若方程()210aa x x -+-=是关于x 的一元二次方程，则a 的值为．13．若2m ，则m n +的值为．14．如图，某市公园计划在一块长为18m ，宽为15m 的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为m x ，若剩余绿地的面积为2224m ，则可列方程：．15．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，AO 、BO （AO BO >）的长分别是一元二次方程2140x x m -+=的两个实数根，C 为直线l 上的动点，连接CO ，若点B 的坐标为()0,6，则m 的值为，CO 的最小值为．三、解答题16．（1（22． 17．用适当的方法解下列方程． (1)29160x -=．(2)()()()1323x x x +-=-．18．如图，将一张面积为2128cm 的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为28cm 的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号）(1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 19．阅读下面材料．小逸同学用配方法推导一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式时，对于240b ac ->的情况，他的推导过程如下：由于0a ≠，方程20ax bx c ++=变形为2b cx x a a+=-，…………第一步 22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………第二步222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭，……第三步2b x a +=…………………第四步x =．………………第五步 请根据上述材料回答下列问题：(1)小逸的解法从第_____步开始出现错误；事实上，当240b ac ->时，方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是____．(2)利用配方法解方程：22310x x--=．20．观察下列运算：11====-；====-2=====-······(1)=_______=_________（用含n的式子表示，n为正整数）．(2)L．21．已知关于x的一元二次方程()22110ax a x a-++-=有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围．(2)若该方程的两个实数根分别为1x，2x，且22128x x+=，求a的值．22．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元．(1)若每顶头盔降价10元，则每月可销售顶头盔，每月销售利润为元．(2)若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价．(3)若降价销售这批头盔，每月的利润能否达到9000元？请说明理由．23．已知ABCV的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程()2223320x k x k k-++++=的两个实数根．(1)若ABCV是等腰三角形．①求k的值；②ABCV的周长为_____．(2)若ABCV是以BC为斜边的直角三角形，求k的值．。
2024-2025学年清华大学附属中学九年级上学期9月月考数学试题及答案
2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（ ）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°3. 已知30m +< ） A. 33m m −<<−<B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A 1k <B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠5. 正六边形的外角和是（ ） A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A 35.2510×B. 45.2510×C. .41510×D. 41.0510×7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）..A. 1B.23C.32D. 28. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌． 给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二．填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 10. 因式分解：3269x x x ++=____________． 11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下： 稻穗长度 5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.5 6.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥稻穗个数5816147根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为________．15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号AB CD E修复时间（分钟） 15 8 29 710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D BE A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()112024π12−−−−+18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+−−<．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭，其中5x =．20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H ×完成分p ×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲运动员这次试跳完成分P 甲＝ ， 得分A 甲＝ ； （直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P 甲'，那么与（1）中所得的P 甲比较，判断P 甲' P 甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P 乙至少要达到多少分．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表的a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t 0 3 6m10 12 14 16 18 20 22 24 26 …T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()222y x m x m =−++的对称轴为直线x t =． （1）求t 值（用含m 的代数式表示）；（2）点()1,A t y −，()2,B t y ，()31,C t y +在该抛物线上．若抛物线与x 轴一个交点为()0,0x ，其中002x <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27. 在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．的的（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，给出如下定义：直线11:3l y x b =+经过线段a 的一个端点，直线22:4l y x b =−+经过线段a 的另一个端点，若直线1l 与2l 交于点P ，且点P 不在线段a 上，则称点P 为线段a 的“双线关联点”．（1）已知，线段a 的两个端点分别为()0,2−和()0,5，则在点()()123413,3,1,1,,2,1,222P P P P−−，中，线段a 的“双线关联点”是___________： （2）()()12,,3,A m y B m y +是直线23y x =上的两个动点． ①点P 是线段AB 的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P 的横坐标___________；②正方形CDEF 的四个顶点的坐标分别为()()()(),,,,3,,3,C t t D t t E t t F t t −−，其中0t >．若所有线段AB 的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF 的边上，直接写出t 的取值范围___________．2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D ．2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（ ）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．先由对顶角性质求得35AOC ∠=°，再根据角平分线的定义求出AOE ∠，再根据邻补角之和为180°计算，即可得到答案．【详解】解：∵35AOC BOD ∠=∠=°， 又∵OC 平分AOE ∠， 270AOE AOC ∴∠=∠=°， 180110BOE AOE ∴∠=°−∠=°，故选：C ．3. 已知30m +<，则下列结论正确是（ ） A. 33m m −<<−< B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵30m +<， ∴3m <−， ∴3m −>， ∴33m m <−<<−，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意； 故选：D4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 1k < B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，∴()2Δ64936360k k =−−××=−≥，0k ≠，解得：1k ≤，且0k ≠ 故选：D ．的5. 正六边形的外角和是（ ） A. 720° B. 540° C. 360° D. 180°【答案】C 【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：六边形的外角和是360°． 故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A. 35.2510× B. 45.2510× C. .41510× D. 41.0510×【答案】D 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510×==×． 故选：D ．7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）A. 1B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AFE DCE ∽ 是解题的关键．由菱形的性质得AB DC ∥，3AB DC ==，可证明AFE DCE ∽ ，则12AF AE DC ED ==，求得3122AF DC ==，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，3AB =，∴AB DC ∥，3AB DC ==，∵点F 在直线AB 上，∴AF DC ∥，∴AFE DCE ∽ ， ∴12AF AE DC ED ==， ∴1322AF DC ==． 故选：C ．8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌． 给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=°，求出90AED ∠=°，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解． 【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=° ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=°，()18090AED AEB CED ∴∠=°−∠+∠=°，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=°，AD ∴=，AE AD ∴， 90FCE B ∠=∠=° ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．二．填空题（本题共162分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】5x ≠【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可． 【详解】解：∵代数式15x −有意义， ∴50x −≠，解得：5x ≠，故答案为：5x ≠．10. 因式分解：3269x x x ++=____________．【答案】()23x x +【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3269x x x ++()269x x x =++()23x x +．故答案为：()23x x +．11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 【答案】3x =【解析】【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：1203x x −=+， 去分母得：320x x +−=，移项，合并同类项得：3x −=−，系数化为1得：3x =，检验：把3x =代入()()3333180x x +=×+=≠， ∴3x =是原方程的解，故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．【答案】2k >【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】解： 一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，且12y y <，∴一次函数()21y k x =−+的图像y 随x 的增大而增大，20k ∴−>，2k ∴>，故答案为：2k >．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k 的正负性与一次函数y kx b =+的增减性之间的关系是解题的关键．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下： 稻穗长度5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.56.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥ 稻穗个数 5 8 16 14 7根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．【答案】1.8【解析】【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在5.5 6.5x ≤<范围内的所占比，即可解题．【详解】解：由题知，16143 1.850+×=（万棵）， 故答案：1.8．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为________．【答案】73##123【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，BE AF CE DF=，从而可得答案． 【详解】解：∵AB EF CD ∥∥，5AO =，2OF =，3FD =，为52733BE AF CE DF +∴===， 故答案为：73． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）【答案】14【解析】【分析】根据题意可得ABC DBE ∽△△，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：∵DE CE ⊥，A C C E ⊥， ∴90C E ∠=∠=°，根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：ABC DBE ∠=∠，∴ABC DBE ∽△△， ∴DE BE AC BC =，即1.6 2.421AC =， 解得：14AC =，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．【答案】 ①. ① ②. 1010【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156×+×+×+×+=分钟，②总停产时间：574153292108210×+×+×+×+=分钟，③总停产时间：529415310287258×+×+×+×+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101×+×+×+×+=分钟，101101010×=（元）故答案为：1010．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()1012024π12− −−−+【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：()1012024π12− −−−+112=+−−+2−．18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+ −−<． 【答案】3x ≤<-2【解析】【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可．【详解】解：()21581252x x x x +≤+ −−<①②， 解①得：2x ≥−，解②得：3x <，∴3x ≤<-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =． 【答案】3x x −，52【解析】【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将5x =代入，即可求解，本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭ ()()2312111x x x x x x −− =−÷ −−−()()21313x x x x x −−×−− 3x x =−， 当5x =时，553532xx ==−−． 20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO=∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 【答案】（1）见解析 （2）DE =【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=°，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=°可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明： 四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=°， AD EO = ，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=° ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=°，120BCD ∠=°，∴18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∴ABC 等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，是∴122AO OC AC ===，∴BO ， ∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=°，∴DE =．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，由题意可得()1180244425101444120x x ++×=++×+． 解得6x =∴1272x =，答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b += −+= ，解得12k b = =， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+，的即24nx−<，又2x<，∴22 4n−≥，解得：10n≥，∴n的取值范围为10n≥．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5 打分7.5 8.54.0 9.0 8.0 8.5 7.0（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【解析】【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可；（2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案；（3）列方程求解即可．【小问1详解】解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，平均数=7.58.08.58.03++=，∴完成分P 甲＝8.0；得分A 甲＝3.58.0384××=， 故答案为：8.0，84； 【小问2详解】 P 甲'=7.58.5 4.09.08.08.57.07.57++++++=，∵7.5<8.0， ∴P 甲'<P 甲， 故答案为<； 【小问3详解】由题意得3.638413.1P ××+乙， 解得971108P =乙， ∴这一跳乙的完成分P 乙至少要达到9.0分．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）152OA = 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出OAB OBA ∠=∠，再根据余角和对顶角的性质可得DEB DBE ∠=∠，即可证明DB DE =．（2）连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，根据等腰三角形的性质可得90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°，根据E 是AB 的中点，12AB =，5BD =，得出6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==，勾股定理可得4DF =，即4sin 5DF DEF DE ∠==，再根据余角和对顶角可得DEF CEA AOE ∠=∠=∠，得4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==，即可求出152OA =． 【小问1详解】 证明：∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠， 又∵EC OA ⊥，BD OB ⊥，∴OAB CEA OBA DBE ∠+∠=∠+∠， ∴CEA DBE ∠=∠， 又∵CEA DEB ∠=∠， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =． 【小问2详解】解：连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，如图：∵OA OB =，E 是AB 的中点，DB DE =， ∴90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°， ∵E 是AB 的中点，12AB =，5BD =， ∴6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==， ∵5BD =，90DFB ∠=°，∴4DF ==，∴4sin 5DF DEF DE ∠==， ∵CEA DEB ∠=∠，90CEA OAE OAE AOE ∠+∠=∠+∠=°， ∴DEF CEA AOE ∠=∠=∠，∴4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==， ∵6AE =，∴645AO =， 解得：152OA =．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水． 【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能 【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5−=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴()10610080m −−， ∴8m =． 【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：。
安徽宣城六中2024年九年级上学期11月月考数学试题
２０２４—２０２５学年第一学期第三次限时练习九年级数学一、选择题：（共１０小题，每小题４分，共４０分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
）１ 已知ｙ＝（ｍ＋２）ｘ｜ｍ｜＋２是关于ｘ的二次函数，那么ｍ的值为（ ）Ａ －２Ｂ ２Ｃ ±２Ｄ ０２ 函数ｙ＝３（ｘ－２）２＋４的图象的顶点坐标是（ ）Ａ （３，４）Ｂ （－２，４）Ｃ （２，４）Ｄ （２，－４）３ 抛物线ｙ＝－３（ｘ＋１）２－２经过平移得到抛物线ｙ＝－３ｘ２，平移方法是（ ）Ａ 向左平移１个单位，再向下平移２个单位Ｂ 向左平移１个单位，再向上平移２个单位Ｃ 向右平移１个单位，再向下平移２个单位Ｄ 向右平移１个单位，再向上平移２个单位４ 下列线段ａ、ｂ、ｃ、ｄ是成比例线段的是（ ）Ａ ａ＝３，ｂ槡＝５，ｃ槡＝１５，ｄ槡＝２３Ｂ ａ＝４，ｂ＝６，ｃ＝５，ｄ＝１０Ｃ ａ＝１２，ｂ＝８，ｃ＝１５，ｄ＝１０Ｄ ａ槡＝２，ｂ＝３，ｃ＝２，ｄ槡＝３５ 如图所示，点Ｐ是△ＡＢＣ的边ＡＣ上一点，连接ＢＰ，以下条件中，不能判定△ＡＢＰ∽△ＡＣＢ 第５题图的是（ ）Ａ ＡＢＡＰ＝ＡＣＡＢＢ ＢＣＢＰ＝ＡＣＡＢＣ ∠ＡＢＰ＝∠ＣＤ ∠ＡＰＢ＝∠ＡＢＣ６ 如果点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）在反比例函数ｙ＝３－ｍｘ的图象上，且满足当ｘ１＞ｘ２＞０时ｙ１＜ｙ２，则ｍ的取值范围为（ ）Ａ ｍ＞３Ｂ ｍ＜３Ｃ ｍ＞－３Ｄ ｍ＜－３７ 在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｆ是ＢＣ的中点，ＡＦ与ＢＤ交于点Ｅ，则△ＡＢＥ与四边形ＥＦＣＤ 第７题图的面积之比（ ）Ａ １３ Ｂ３５Ｃ２３ Ｄ２５８ 如图，若二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象的对称轴为ｘ＝１，与ｙ轴交于点Ｃ，与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ（－１，０），则：①二次函数的最大值为ａ＋ｂ＋ｃ；②ａ－ｂ＋ｃ＝０；③ｂ２－４ａｃ＜０；④当ｙ＞０时，－１＜ｘ＜３ 其中错误的个数是（ ）Ａ １Ｂ ２Ｃ ３Ｄ ４ 第８题图 第９题图 第１０题图９ 如图，菱形四边形ＡＢＣＤ的四个顶点分别在反比例函数ｙ＝９ｘ，ｙ＝－４ｘ的图象上，若该菱形的面积为７８，则这个菱形的边长为（ ）Ａ 槡１３２４Ｂ 槡１３２２槡Ｃ １３Ｄ １３２１０ 如图，在平面直角坐标系中，Ｍ、Ｎ、Ｃ三点的坐标分别为（１２，１），（３，１），（３，０），点Ａ为线段ＭＮ上的一个动点，连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＢ⊥ＡＣ交ｙ轴于点Ｂ，当点Ａ从Ｍ运动到Ｎ时，点Ｂ随之运动．设点Ｂ的坐标为（０，ｂ），则ｂ的取值范围是（ ）Ａ －１４≤ｂ≤１Ｂ －５４≤ｂ≤１Ｃ －９４≤ｂ≤１２Ｄ －９４≤ｂ≤１ 第１１题图二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。
安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
安徽省亳州市蒙城县2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题一、单选题1．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．2y ax bx c =++B ．()1y x x =-C ．()21y x x x =--D ．1y x =-2．反比例函数1y x =-的图象位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3．二次函数y =（x ﹣5）2+7的最小值是（ ）A ．﹣7B ．7C ．﹣5D ．54．抛物线y ＝x 2﹣5x +6与x 轴的交点情况是（ ）A ．有两个交点B ．只有一个交点C ．没有交点D ．无法判断 5．若函数224m m y mx ++=+是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0或1-B ．0或1C ．1-D ．16．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =+和反比例函数c y x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y -都在反比例函数21m y x--=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．312y y y >>B ．132y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >> 8．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线x =1对称B ．函数y =ax 2+bx +c 的最小值是4-C ．当43x -≤≤时，0y ≥D ．当x <1时，y 随x 的增大而减小 9．如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（2030x ≤≤，且x 为整数）出售，可卖出()30x -件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A ．24元 B ．25元 C ．28元 D ．30元二、填空题11．将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y =．12．已知抛物线()211y a x =++的开口方向向下，则a 的取值范围为．13．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点为()1,0-，则它与x 轴的另一个交点的坐标是．14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．三、解答题15．已知某抛物线的顶点坐标为()1,3，且经过点()1,2-，求该抛物线的表达式． 16．反比例函数k y x=的图象经过点（-2，3），求该反比例函数的表达式． 17．若函数121(3)k y k x x -=++-是以x 为自变量的二次函数．(1)求k 的值；(2)当函数值7y =时，求自变量x 的值．18．学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为8m 的墙边围出一个面积为102m 的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为m y ，垂直于墙的长为m x ．求y 关于x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．19．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x(x>0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点． (1) 求一次函数的表达式； (2) 根据图象写出kx ＋b －6x<0的x 的取值范围．20．规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．(1)若点()212a a +-，是“完美点”，则a =_____； (2)已知某“完美函数”的顶点在直线2y x =-上，且与y 轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象与二次函数2y x bx =-+（b 为常数）的图象相交于O ，A 两点，点A 的坐标为()3,m ．(1)求m 的值以及二次函数的表达式；(2)若点P 为抛物线的顶点，过点P 作PC x ⊥轴，交OA 于点D ，求线段PD 的长． 22．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数2200400y x x =-+刻画；1.5时后(包括1.5时)y 与x 可近似地用反比例函数k y x=(k ＞0)刻画(如图所示)． （1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x ＝5时，y ＝45．求k 的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班?请说明理由．23．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x 元时，书店一天可获利润y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？。
2023-2024学年上海市曹杨第二中学附属学校九年级上学期9月月考数学试题及解析
PA = 5 −1 AB ， 2
线段 AB 长为 2cm ，
( ) PA = 5 −1 2cm = 5 −1 cm ， 2
( ) ( ) PB = AB − PA = 2 − 5 −1 = 3 − 5 cm ， ( ) 故答案为： 3 − 5 ．
C. BD：AB＝CE：AC
D. AB：AC＝AD：AE
【答案】B
【解析】
【分析】由 AD：DB＝AE：EC , DE：BC＝AD：AB 与 BD：AB＝CE：AC AB：AC＝AD：AE ,根据平行线分
线段成比例定理,均可判定 DE∥BC ,然后利用排除法即可求得答案.
【详解】
A、 AD：DB＝AE：EC , ∴DE∥BC，故本选项能判定 DE∥BC; B、由 DE：BC＝AD：AB, 不能判定 DE∥BC,故本选项不能判定 DE∥BC. C、 BD：AB＝CE：AC, ∴DE∥BC , 故本选项能判定 DE∥BC;
AC CD
5 + CD = 6 ， 6 CD
解得： CD = 4 或 CD = −9 （不符合题意，舍去），
CD = 4 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14. 如图，正方形 DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D 、 G 分别在边 AB 、 AC 上，已知 BC = 6 ，△ABC 的高 AH = 3 ，则正方形的 DEFG 边长为____.
，
2x + 2a = 3a − 2b ，
2x = a − 2b ，
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九年级数学第一次检测试题
题号一二三总分
得分
一．选择（每题3分，共30分）
1 下列方程是一元二次方程的是( )
A （x－1）x=x2
B ax2+bx+c=0
C 2x2+x
1
+1=0 D x2 =1
2、如图，这个几何体的主视图是（）
3. 如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）
A、SAS
B、ASA
C、AAS
D、SSS
4. 在方程2x2+3x=1中b2－4ac的值为( )
A 1
B -1
C 17
D -17
5. 顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
6. 如果点A(－1，1y)、B(1，2y)、C(2，3
y)是反比例函数x
y
1
-
=
图象上的三个点，则下列结论正确的是（）。
A、1y>3
y>
2
y B、3y>
2
y>
1
y C、
2
y>
1
y>3y D、3y>
1
y>
2
y
7.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
8.已知k> 0，则函数kx
y=
1与函数x
k
y=
2
的大致图象是图1中的（）。
(第7题图)
A D
O
9、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
10. 某厂一月份生产产品100台，计划二、三月份共生产250台，设二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意列出方程是( )
A 100(1+x )2
=250 B 100（1+x ）+100(1+x )2
=250 C 100(1-x )2
=250 D 100(1+x )2
二．填空（每题3分，共18分） 11. 三角形的两边长分别是2和3 ，第三边的长是方程3x （x-2）=3x-6的解，则这个三角形的周长为 。
12. 已知ABCD 的对角线相交于点O ，它的周长为10cm ， BCO ∆的周长比
ABO ∆的周长多2cm ，则AB= cm 。
13. 若反比例函数
x m
y =
的图象经过点（-3，-2），则m =
图象位于 象限，且在每个象限内y 随x 的增大而
14. 菱形的一条对角线长为6，另一条对角线为8，则此菱形的面积为 。
15 方程 3x 2+4x-7=0 的两个根为 x 1和x 2，则x 1+ x 2= ， x 1·x 2= 。
16. 已知△ABC 的周长为a ，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形（如图1），
以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形（如图2），如此这样下去第n 个图形的最小三角形的周长是 ____________.
三．（解答题：共52分）
A
17. 解方程（每题4分，共8分）
（1）x 2+12X+27=0 （必须用配方法） （2）x （5x+4）=5x+4
18.（6分） 已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，
AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B 求证：△ABC ≌△CDE
19．(6分)若反比列函数1
232
)12(---=k k
x k y 的图像经过二、四象限，求k 的值。
20(7分).如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ． 求证：FA AB =．
21.（7 分）如图AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥
AB 交AC 于F （第18题图）
B
C
E
A
D
A B C D
E F （第18题图）
求证：四边形AEDF 是菱形。
22.(8分) 新华商场销售某种冰箱，每台进货为 2500元。
市场调研表明： 当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降 低50元时，平均每天就能多售出4台。
商场要使这种冰箱的销 售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
23、（10 分）如图，已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与反比例函数x
m
y =的
图象交于A 、B 两点，且点A （-1，2），B(2，n)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB 的面积。